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Ableitungen – Beispiele (3)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Ableitungen – Beispiele (3)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitungen – Beispiele (3)

Herzlich Willkommen zum Video „ Ableitungen - einfache Beispiele 3 “. Im vorliegenden Lehrfilm wird die Funktion f ( x ) = -3.5x + 11 abgeleitet. Zunächst werden dir die Summenregel, die Potenzregel sowie die Faktorregel noch einmal vorgestellt. Wie leitet man nun die Funktion f ( x ) ab? Versuche die Ableitung zunächst selbständig zu bilden. Nur so kannst du überprüfen, ob du die verschiedenen Ableitungsregeln richtig anwenden kannst. Halte hierzu das Video an. Im Anschluss kannst du mithilfe des vorliegenden Lehrvideos dein Ergebnis prüfen. Viel Erfolg beim Ableiten!

Transkript Ableitungen – Beispiele (3)

Hallo, hier hab ich noch mal die 3 interessanten Ableitungsregeln aufgeschrieben. Hier interessant für unsere Funktionen, für unsere ganz rationalen Funktionen. Und ein Beispiel möchte ich hier zeigen: f(x)=-3,5 X x X kann man auch schreiben, meist lässt man das Malzeichen weg, +11. -3,5 X+11, das ist der Funktionsterm. Auch hier wieder der Hinweis, das f und x hier, das ist eine bestimmte Funktion. Dieses f von x steht für irgendeine Funktion. Natürlich nicht exakt für diese hier. Das sollte Dich nicht durcheinander bringen. Ich könnte jetzt natürlich andere Symbole verwenden, aber das ist die Sache, mit der Du Dich normalerweise auch im Alltag herumschlagen musst. Und so ganz, wie soll ich sagen, ist das auch nicht vermeidbar, dass man das immer ein bisschen unterscheiden muss, was jetzt hier jeweils gemeint ist. So, dieser Funktionsterm hier, das ist eine Summe, da steht ein + Zeichen, wir haben einen Summand und noch einen Summand. Du darfst Regel Nummer 2 anwenden, es ist die Summenregel. Und hier kannst Du dann die Summanden einzeln ableiten. So, ich kümmere mich jetzt um den Summanden -3,5X oder -3,5 x X. Der kann abgeleitet werden und zwar nach Regel Nummer 1. Wir haben eine konstante Zahl, ein k, nämlich -3,5 und ein Funktionsterm, der danach folgt, der jetzt hier nur aus dem klitzekleinen X besteht. Das ist also ein weiterer Funktionsterm hier. Wenn ich also diese Regel verwenden möchte hier für diese Ableitung hier  f ' von X dann überleg ich mir folgendes: das k muss ich einfach nur abschreiben, diese konstante Zahl vor dem X. Und jetzt muss ich noch X ableiten. X kann ich nach der Potenzregel ableiten, denn X bedeutet nichts anderes als X hoch 1. Dann greift also die Potenzregel. Für n kann ich 1 einsetzen. Dann steht hier 1xn-X hoch 1-1. Damit ist hier die Ableitung fertig, ich kann das natürlich noch ein bisschen umformen, bischen einfacher machen. Zweiter Summand die 11. Die 11 enthält kein X, bzw. man kann auch schreiben X hoch 0. 11 x X hoch 0 ist das Gleiche wie 11. Und da kannst Du nach Potenzregel ableiten. Wenn Du das nicht so kompliziert haben möchtest, weißt Du einfach, die Ableitung einer konstanten Funktion ist 0. Bitte, da ist die 0. Und jetzt muss man hier noch ein bisschen aufräumen. -3,5, da kann man nichts aufräumen, das bleibt da stehen. Wir gucken hier auf das X hoch 1-1. Wir wissen, 1-1=0, X hoch 0=1. Das heißt, da steht jetzt quasi eine große 1. Die wird multipliziert mit 1. Die 1 wird multipliziert mit -3,5. Was übrig bleibt ist -3,5. Dann kommt noch +0 dazu, das ändert aber auch nichts. Also ist die Ableitung schlicht und ergreifend =-3,5. Es ist ein bisschen viel Aufwand für eine Zahl, die jetzt hier gemacht wurde, aber gewöhn Dich dran, dass Du die Regeln anwendest. Zunächst sieht das etwas kompliziert aus, für relativ einfache Funktionen, aber diese Regeln entfalten ihre Wirkung so richtig, wenn die Funktionen komplizierter werden und dann ist man froh, dass man sie hat. Hier hätte man das vielleicht auch gleich sehen können, in einer so einfachen Funktion. Aber es geht ja hier darum, die Regeln zu lernen. Und deshalb zeig ich das eben auch so. Viel Spaß damit, tschüss        

Ableitungen – Beispiele (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungen – Beispiele (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, welche Ableitungsregeln verwendet werden, um die Funktion abzuleiten.

    Tipps

    Die verwendeten Ableitungsregeln sind

    • die Faktorregel,
    • die Summenregel sowie
    • die Potenzregel.

    Die Faktorregel lautet:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Die Summenregel lautet:

    $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

    Die Potenzregel lautet:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Lösung

    Da bei der obigen Funktion $f(x)=-3,5x+11$ zwei Terme addiert werden, verwendet man die Summenregel $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

    Man betrachtet also jeden einzelnen Summanden und leitet diesen ab:

    • zur Ableitung von $-3,5x$ verwendet man die Faktor-, $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$, sowie die Potenzregel, $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
    • Zur Ableitung von $11$ verwendet man ebenfalls die Faktor- sowie die Potenzregel.
    • Man könnte bei der Ableitung von $11$ auch verwenden, dass eine Konstante abgeleitet gerade $0$ ergibt.

  • Bestimme die Ableitung der gegebenen Funktion.

    Tipps

    $-3,5x$ ist ein Produkt:

    • Der eine Faktor $-3,5$ ist konstant und
    • der andere ist eine Potenz $x=x^1$.

    Schreibe $11=11x^0$.

    Die Potenzregel lautet:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Die Faktorregel lautet:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Lösung

    Um die Funktion $f(x)=-3,5x+11$ abzuleiten, betrachtet man jeden Summanden für sich und leitet diesen ab. Die entsprechenden Ableitungen werden dann addiert. Dies ist die Summenregel.

    Zur Ableitung der beiden Summanden wird jeweils die Faktor- sowie die Potenzregel verwendet. Hierfür schreibt man $f(x)$ etwas ausführlicher als

    $f(x)=-3,5x^1+11x^0$.

    $f'(x)=-3,5\cdot 1\cdot x^{1-1}+11\cdot 0\cdot x^{0-1}$.

    Nun kann weiter vereinfacht werden zu

    $f'(x)=-3,5+0=-3,5$.

    Natürlich muss man das nicht immer so ausführlich machen. Es ist jedoch sehr wichtig, diese Schritte wirklich gut verstanden zu haben.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Leite mit der Potenz- sowie der Faktorregel einige Konstanten ab. Was fällt dir auf?

    Zum Beispiel:

    $(7)'=(7x^0)'=7\cdot 0\cdot x^{0-1}=?$.

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet:

    $f(x)=mx+b$, wobei

    • $m$, der Faktor vor dem $x$, die Steigung ist und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Es ist zum Beispiel:

    $(123x)'=123$.

    Lösung

    Um nicht jedes Mal einen Term der Form $3x$ mit der Faktor- sowie Potenzregel abzuleiten

    $(3x)'=(3x^1)'=3\cdot 1\cdot x^{1-1}=3$,

    kann man sich auch merken, dass $(k\cdot x)'=k$ ist.

    Ebenso ist die Ableitung einer Konstanten

    $(4)'=(4x^0)'=4\cdot 0\cdot x^{0-1}=0$

    zu vereinfachen zu der Konstantenregel

    $(c)'=0$.

    Mit diesen beiden Erkenntnissen kann man feststellen, dass die Ableitung einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ immer eine Konstante ist, nämlich die Steigung, also der Faktor vor dem $x$.

  • Ordne jeder der gegebenen Funktionen die zugehörige Ableitung zu.

    Tipps

    Beachte, dass die Ableitung einer Konstanten $0$ ist.

    Verwende die Potenzregel:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Ist dir aufgefallen, dass die Ableitung einer kubischen Funktion, höchste Potenz $3$, eine quadratische Funktion ist?

    ... und dass die Ableitung einer quadratischen Funktion eine lineare Funktion ist?

    Lösung

    Zur Bestimmung der Ableitung von Funktionen kann man die folgenden Ableitungsregeln verwenden:

    • die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
    • die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$,
    • die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
    • die Konstantenregel: $(c)'=0$.
    1. $f(x)=2x^3-3x^2$, dann ist $f'(x)=2\cdot 3x^2-3\cdot 2x^1=6x^2-6x$.
    2. $f(x)=6x^2-6x$, dann ist $f'(x)=6\cdot 2x^1-6=12x-1$.
    3. $f(x)=12x-1$, dann ist $f'(x)=12-0=12$.
    4. $f(x)=12$, dann ist $f'(x)=0$.

  • Gib an, welche Ableitungsregeln verwendet werden dürfen.

    Tipps

    Die Ableitung von $x^4$ ist zum Beispiel $4x^3$.

    Es ist $2x^2=x^2+x^2$. Die Ableitung davon ist $2x+2x=2\cdot 2x$.

    Hier kannst du bereits zwei Regeln erkennen.

    Beim Berechnen der Ableitung von der Funktion $f(x)=3x^2-4x+2$ wird jede der korrekten Regeln verwendet. Die Ableitung von $f$ lautet:

    $f'(x)=6x-4$

    Lösung

    Um Funktionen abzuleiten, muss man einige Ableitungsregeln kennen:

    Die Faktorregel: Diese besagt, dass man das Vielfache einer Funktion ableitet, indem man die Funktion ableitet und mit dem entsprechenden Faktor multipliziert:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Die Summenregel: Diese besagt, dass die Ableitung der Summe zweier (oder auch mehrerer) Funktionen die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist:

    $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

    Übrigens: Diese Regel kann man so auch mit dem Minuszeichen formulieren.

    Die Potenzregel: Diese beschreibt, wie man eine Potenz in $x$ ableitet:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

  • Leite die Funktion dreimal ab.

    Tipps

    Die zweite Ableitung $f''(x)$ ist die Ableitung der ersten Ableitung $f'(x)$.

    Beachte, dass beim Ableiten einer Potenz der Exponent immer um eins verringert wird.

    Die erste Ableitung hat den Grad $3$, die zweite $2$ und die dritte $1$.

    Lösung

    Ableitungen sind sehr zentral in der Mathematik. Man benötigt diese, um zum Beispiel eine Funktion auf lokale Extrema zu untersuchen oder auf Wendepunkte. Hierfür benötigt man noch höhere Ableitungen: die zweite und die dritte Ableitung. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung und die dritte die der zweiten.

    Die verwendeten Regeln sind die Potenzregel, die Faktorregel sowie die Summenregel.

    $\begin{align*} f(x)=&~7x^4-3x^2\\ f'(x)=&~7\cdot 4x^3-3\cdot 2x\\ =&~28x^3-6x\\ f''(x)=&~28\cdot 3x^2-6\\ =&~84x^2-6\\ f'''(x)=&~84\cdot 2x=168x. \end{align*}$

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