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Ableitungen – Beispiele

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Ø 3.7 / 3 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Ableitungen – Beispiele
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitungen – Beispiele

Herzlich Willkommen zum Video „ Ableitungen - einfache Beispiele 4 “. Im vorliegenden Lehrfilm wird die Funktion f ( x ) = -2x - 1.5tx abgeleitet. Zunächst werden dir die Summenregel, die Potenzregel sowie die Faktorregel noch einmal vorgestellt. Wie leitet man nun die Funktion f ( x ) ab? Was machen wir mit dem „ t “? Versuche die Ableitung zunächst selbständig zu bilden. Nur so kannst du überprüfen, ob du die verschiedenen Ableitungsregeln richtig anwenden kannst. Halte hierzu das Video an. Im Anschluss kannst du mithilfe des vorliegenden Lehrvideos dein Ergebnis prüfen. Viel Erfolg beim Ableiten!

Transkript Ableitungen – Beispiele

Hallo! Hier sind 3 Ableitungsregeln, die Ableitungsregeln, die du brauchst, um ganzrationale Funktionen abzuleiten. Ich möchte eine klitzekleine Funktion zeigen, hier in der Reihe der einfachen Beispiele, es ist die Funktion: f(x)=, was habe ich mir da ausgedacht, -2x-1,5t×x. So sieht die Funktion aus bzw. der Funktionsterm. Wie ist die abzuleiten? Hier ist ein t, das hast du richtig gehört und gelesen, das nennt man Parameter, braucht man für Funktionenscharen, du kannst dich jetzt schon mal dran gewöhnen. Du brauchst keine Angst vor dem t zu haben, das ist eine ganz normale Variable. Ja, gemeint ist natürlich, dass man jetzt hier für x etwas einsetzt und dann Funktionswerte ausrechnet - und nicht für das t. Übrigens, das mit der Angst ist gar nicht so unbegründet, ja, es gibt viele Leute, die haben Angst vor Variablen. Ich glaube, das ist noch viel schlimmer, als Angst vor Spinnen zu haben oder so was. Vielleicht könnte das ein neues Forschungsgebiet der Psychologie sein, die Angst vor Variablen oder auch vor dem Distributivgesetz, übrigens, da haben viele Angst vor. Vielleicht lassen sich da noch einige Doktorarbeiten schreiben. Nur mal so ein kleiner Vorschlag von mir. Wir wollen ableiten. Und zwar stellen wir fest: Es handelt sich hier um eine Summe, der Funktionsterm ist eine Summe. Wir haben -2x, das ist der eine Summand, und -1,5×t×x ist der andere Summand. Wir dürfen hier nach der Regel 2 dann eben summandenweise ableiten. Ja, wenn der Funktionsterm sich aus 2 Summanden zusammensetzt, so soll das hier gelesen werden, und das Ganze abgeleitet wird, dann darf man den einen Summanden ableiten und den anderen Summanden ableiten und dann beide addieren. So, das werde ich jetzt machen. Ich werde den Summanden -2x ableiten und da brauche ich die Regel Nummer 1. Vor dem x hier steht ja eine konstante Zahl, k hier wie konstant, wenn also der Funktionsterm so aufgebaut ist: eine Zahl × etwas mit x, hier also das x alleine, dann darf man die Zahl einfach hinschreiben und den Restterm mit dem x ableiten. Also schreibe ich die Zahl hin, sie ist -2. Und jetzt muss ich noch x ableiten. X kann ich nach Potenzregel ableiten, wenn ich nämlich hier für n 1 einsetze, x ist ja gleich x1. Also setze ich hier für n 1 ein und erhalte: 1×x1-1. So, damit ist der erste Summand hier erledigt. Wir haben den zweiten Summanden, -1,5t×x. Und da wiederholt sich das gleiche Spielchen wie gerade eben schon. Ich wende die Regel 1 an. Der Faktor k, dieser konstante Faktor, das ist -1,5×t, das steht vor dem Ausdruck hier mit dem x und deshalb darf ich das einfach da hinschreiben, Minuszeichen nicht vergessen, also -1,5×t oder einfach -1,5t. Das kann ich schon mal hinschreiben, hier nach Regel Nummer 1, da, der konstante Faktor steht davor. Und jetzt muss ich mich noch um das x kümmern. Das x abgeleitet ist hier genauso 1×x1-1. Aufräumen muss man auch noch. Wir haben: -2×1, das bleibt gleich, x1-1=x0, x0=1, -2×1×1=-2. Ich kümmere mich um den zweiten Summanden hier, -1,5t×1×x1-1. Das wissen wir schon, das Ganze ist 1, 1×x1-1, es bleibt übrig 1,5t. So, und das ist der Term der Ableitungsfunktion. Übrigens, nebenbei bemerkt, man hätte hier oben auch direkt das Distributivgesetz anwenden können, dann hätte man ein bisschen Arbeit gespart, wollte ich nur eben mal erwähnen. Ja, da kann ich auch noch eine 1 hinschreiben, sieht schöner aus. Wir können nämlich hier das x ausklammern aus dem ganzen Zeugs, dann steht hier: (-2-1,5×t)×x. Und dann kann man auf diesen Funktionsterm einfach die Regel Nummer 1 anwenden. Das soll mal eben abgeteilt werden. Wir wissen, der Faktor hier vorne bleibt stehen. Ja, dieser Faktor bleibt stehen, da ist er wieder. Also schreiben wir einfach -2-1,5t, oder ×t, das ist ja egal. Die Ableitung von x ist 1, ×1 brauchen wir nicht dahinterschreiben. Die Klammer habe ich von vornherein weggelassen, weil ich ja wusste, was rauskommt. So hätte man das auch machen können, wäre man schneller fertig gewesen, trotzdem exakte Anwendung der Rechenregeln. Du siehst also, auch vor dem Distributivgesetz braucht man keine Angst haben. In diesem Sinne, viel Spaß. Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sehe ich da etwa eine fehlende Kerze im Regal (die Zahlenkerzen)?

    Von Dertutor, vor mehr als 9 Jahren

Ableitungen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Regeln zur Ableitung der angegebenen Funktion verwendet werden.

    Tipps

    Die Faktorregel lautet: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Die Summenregel lautet, verallgemeinert auch für Differenzen:

    $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

    Die Potenzregel wird verwendet zum Ableiten von Potenzen.

    Beachte, dass $x=x^1$ ebenfalls eine Potenz ist.

    Lösung

    Die abzuleitende Funktion lautet:

    $f(x)=-2x-1,5\cdot t \cdot x$.

    Dies ist eine Differenz, welche mit der Summenregel abgeleitet werden kann. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Summenregel auch verallgemeinert angegeben werden kann: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

    Das bedeutet, dass jeder der beiden Terme $-2x$ sowie $-1,5\cdot t\cdot x$ für sich abgeleitet wird.

    Hierfür wird jeweils die Faktorregel sowie die Potenzregel verwendet.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=-2\cdot x-1,5\cdot t \cdot x$.

    Tipps

    $-2x$ und auch $-1,5\cdot t\cdot x$ ist ein Produkt:

    • Der eine Faktor $-2$ oder $-1,5\cdot t$ ist konstant und
    • der andere ist eine Potenz $x=x^1$.

    Verwende die Potenzregel:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Verwende die Faktorregel:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Lösung

    Um die Funktion $f(x)=-2x-1,5\cdot t \cdot x$ abzuleiten, betrachtet man den Minuenden und den Subtrahenden jeweils für sich und leitet diese ab. Die entsprechenden Ableitungen werden dann subtrahiert. Dies ist die Summenregel.

    Zur Ableitung der beiden Summanden wird jeweils die Faktor- sowie die Potenzregel verwendet. Hierfür schreibt man $f(x)$ etwas ausführlicher als

    $f(x)=-2x^1-1,5\cdot t \cdot x^1$.

    $f'(x)=-2\cdot 1\cdot x^{1-1}-1,5\cdot t \cdot 1\cdot x^{1-1}$.

    Nun kann weiter vereinfacht werden zu

    $f'(x)=-2-1,5\cdot t$.

    Die Ableitung muss nicht unbedingt in dieser Ausführlichkeit berechnet werden. Um Ableitungen zu üben, ist es jedoch sinnvoll, die einzelnen Schritte wirklich gut verstanden zu haben.

  • Leite die Funktion einmal nach $x$ ab.

    Tipps

    Verwende die folgende Ableitungsregel:

    $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

    Verwende die erste binomische Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Beachte, dass bezüglich der Variablen $x$ abgeleitet wird.

    Lösung

    Wenn man die Variable $x$ ausklammern kann, wie zum Beispiel bei

    $f(x)=-2x-15\cdot t\cdot x=(-2-1,5\cdot t)x$,

    kann das Ableiten gegebenenfalls einfacher werden.

    Liegt die Funktion jedoch in der obigen Form

    $f(x)=(ax+b)^2$

    vor, dann sind die bekannten Ableitungsregeln, die Faktor-, die Summen- und die Potenzregel, so nicht anwendbar.

    Die Funktion muss zunächst mit der ersten binomischen Formel ausmultipliziert werden zu

    $f(x)=a^2x^2+2abx+b^2$.

    Nun können die einzelnen Summanden abgeleitet werden:

    • $(a^2x^2)'=2a^2x$
    • $(2abx)'=2ab$
    • $(b^2)'=0$
    Insgesamt ist, mit der Summenregel, die Ableitung gegeben durch

    $f'(x)=2a^2x+2ab$.

  • Bestimme die korrekten Ableitungen nach $x$.

    Tipps

    Beachte, dass bezüglich der Variablen $x$ abgeleitet wird. $a$, $b$ und $c$ kannst du als Konstanten annehmen.

    Wenn man zum Beispiel den Funktionsterm

    $x^2\cdot y$

    • bezüglich $x$ ableitet, erhält man $2xy$ und
    • bezüglich $y$ bekommt man $x^2$.

    Du kannst einen Paramater behandeln wie eine Konstante. Zum Beispiel ist

    • $(a)'=0$ und
    • $(ax)'=a$.

    Lösung

    In dieser Übung soll das Ableiten von Funktion geübt werden, in welchen neben der Variablen noch ein Parameter vorkommt.

    Im Gegensatz zu einer Variablen ist ein Parameter fest, kann also als Konstante betrachtet werden. Ansonsten werden die bekannten Ableitungsregeln

    • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
    • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    verwendet. Damit bekommen wir:

    1. $(ax^2+bx+c)=a\cdot 2x^{2-1}+b=2ax+b$
    2. $(ax^5-2b)'=a\cdot 5x^{5-1}-0=5ax^4$
    3. $(ax^4-2bx^2+c)'=a\cdot 4x^{4-1}-2b\cdot 2x^{2-1}+0=4ax^3-4bx$
  • Wende das Distributivgesetz an, um die Ableitung nach $x$ einfacher zu bestimmen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $ac+bc=(a+b)\cdot c$.

    Es gilt: $(k\cdot x)'=k$.

    Der Faktor $x$ kommt sowohl in $-2\cdot x$ als auch in $-1,5\cdot t\cdot x$ vor.

    Lösung

    Man kann die Funktion

    $f(x)=-2\cdot x-1,5\cdot t\cdot x$

    auch ableiten, indem man zunächst das Distributivgesetz anwendet - es kann der Faktor $x$ ausgeklammert werden:

    $f(x)=-2\cdot x-1,5\cdot t\cdot x=(-2-1,5\cdot t)\cdot x$.

    Da die Ableitung eines Faktors mal $x$ immer der Faktor ist, $(k\cdot x)'=k$, gilt somit:

    $f'(x)=-2-1,5\cdot t$.

  • Entscheide, wie $a$ gewählt werden muss, damit die Ableitung der Funktion an der Stelle $x=0,5$ gerade $6$ ist.

    Tipps

    Verwende zur Ableitung die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Die Unbekannte $a$ wird wie ein Faktor verwendet.

    Es ist zum Beispiel:

    $(ax^3)'=3ax^2$.

    Wenn du $x=0,5$ in der ersten Ableitung einsetzt, erhältst du einen Term in Abhängigkei von dem Parameter $a$. Dies führt zu einer Gleichung.

    Lösung

    Die Funktion

    $f(x)=ax^2+2ax$

    hat noch einen Parameter; man nennt dies eine Funktionenschar. In dieser Aufgabe geht es darum eine bestimmte Funktion der Funktionenschar zu finden.

    Man benötigt von der obigen Funktion zunächst die Ableitung

    $f'(x)=2ax+2a$.

    Um die Ableitung an einer Stelle zu berechnen, setzt man diese, also $x=0,5$, in der Ableitung ein. Man erhält einen Term, welcher von dem Parameter $a$ abhängt:

    $f'(0,5)=2a\cdot 0,5+2a=3a$.

    Es muss also gelten, dass $3a=6$ ist. Indem man durch $3$ dividiert, erhält man das gesuchte $a=2$.

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