Faktor- und Summenregel für Integrale

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Faktor- und Summenregel für Integrale Übung
-
Vervollständige die Faktor- und die Summenregel für Integrale.
TippsHier siehst du ein Beispiel für die Faktorregel:
$\displaystyle \int 3x^5 =3 \displaystyle \int x^5 ~\text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{6}x^6 + c= \frac{1}{2}x^6+c \quad (c \in \mathbb{R})$
Die Summenregel besagt, dass das Integral aus einer Summe zweier Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen ist.
LösungDie Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion integrieren möchten:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Potenzfunktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so können wir die Faktorregel anwenden: Sie besagt, dass dieser Faktor einfach stehen bleibt:
$\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = \color{#99CC00}{k} \color{black}{~\cdot \int f(x) ~\text{d}x}$Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so können wir die Summenregel anwenden. Sie besagt, dass das Integral aus einer Summe zweier Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen ist:
$\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int \color{#99CC00}{f(x)}\color{black}{~\text{d}x}\color{#99CC00}{~+}\color{black}{\int g(x) ~\text{d}x}$ -
Bestimme die Integrale durch Anwendung der Faktor- und Summenregel.
TippsVersuche, die Integrale zu zerlegen. Wende dabei die Faktor- und Summenregel an:
- $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
- $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
Du kannst die Probe machen, indem du die erhaltene Funktion ableitest.
LösungUm komplexere Integrale zu bestimmen, können wir die Faktor- und die Summenregel anwenden:
Faktorregel:
$\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Funktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so bleibt dieser Faktor bei der Integration erhalten.Summenregel:
$\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so ist das Integral aus der Summe der beiden Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen.Wir wenden die Regeln auf die gegebenen Beispiele an:
Beispiel 1: $\displaystyle \int 8 \cdot x^3 ~\text{d}x $
Wir ziehen den konstanten Faktor vor das Integral:
$8 \cdot \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x$
Um das Integral zu berechnen, wenden wir die Potenzregel an:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
Damit ergibt sich: $8 \cdot \dfrac{1}{4} x^4 + c = 2x^4 + c$
Wir können die Probe machen, indem wir die erhaltene Funktion ableiten:
$(2x^4)' = 2 \cdot 4 \cdot x^3 = 8x^3$
Da wir die zu integrierende Funktion erhalten, haben wir richtig gerechnet.Beispiel 2: $\displaystyle \int x^7 - \frac{1}{3}x + 3 \cdot \cos x ~\text{d}x $
Wir zerlegen das Integral in drei Teilintegrale:
$\displaystyle \int x^7 ~\text{d}x + \displaystyle \int - \frac{1}{3}x ~\text{d}x + \displaystyle \int 3 \cdot \cos x ~\text{d}x $
Um die ersten beiden Integrale zu berechnen, wenden wir die Potenzregel an. Für das dritte Integral müssen wir wissen, dass das Integral der Kosinusfunktion gleich der Sinusfunktion ist. Zudem können wir wie im ersten Beispiel die konstanten Faktoren beim Integrieren einfach stehen lassen:
$\displaystyle \int x^7 ~\text{d}x + \displaystyle \int - \frac{1}{3}x ~\text{d}x + \displaystyle \int 3 \cdot \cos x ~\text{d}x = \frac{1}{8}x^8 - \frac{1}{6}x^2 + 3 \sin x +c$
Wir können wieder die Probe machen, indem wir die erhaltene Funktion ableiten:
$\left(\dfrac{1}{8}x^8 - \dfrac{1}{6}x^2 + 3 \sin x\right)^{\!\prime} = \dfrac{1}{8}\cdot 8 \cdot x^7 - \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot x^1 + 3 \cos x = x^7 - \dfrac{1}{3}x + 3 \cdot \cos x $
Da wir die zu integrierende Funktion erhalten, haben wir richtig gerechnet. -
Berechne die Integrale mit der Faktor- und Summenregel.
TippsEs gilt:
$\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.
Die Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion integrieren möchten:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$LösungDie Integrale der wichtigsten Funktionen sind:
- $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
- $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c \quad (c \in \mathbb{R})$
- $\displaystyle \int \sin x~\text{d}x =- \cos x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
- $\displaystyle \int \cos x~\text{d}x =\sin x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
$\quad$
Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Potenzregel, der Faktor- und der Summenregel bedienen:
- $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
- $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
- $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
Wir wenden die Regeln auf die gegebenen Integrale an:
- Erstes Integral:
Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
$\displaystyle \int 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2} ~\text{d}x = 3 \displaystyle \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2}\displaystyle \int \cos x ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale.
$ 3 \displaystyle \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2}\displaystyle \int \cos x ~\text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2} \cdot \sin x +c$
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$3 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2} \cdot \sin x +c = \color{#99CC00}{x^3 - \dfrac{1}{2} \sin x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
Probe:
Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
$ \left(x^3 - \dfrac{1}{2} \sin x +c\right)' = 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2}$- Zweites Integral:
Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
$\displaystyle \int x^3 + 4 \sin x ~\text{d}x = \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale.
$ \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x = \frac{1}{4}x^4 + 4 \cdot (- \cos x) +c $
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$ \dfrac{1}{4}x^4 + 4 \cdot (- \cos x) +c = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{4}x^4 - 4 \cdot \cos x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
Probe:
Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
$ \left( \dfrac{1}{4}x^4 - 4 \cdot \cos x +c\right)' = x^3 + 4 \sin x $- Drittes Integral:
Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
$\displaystyle \int - \sin x + \frac{4}{x} ~\text{d}x = - \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale.
$ - \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x = - (-\cos x) + 4 \ln |x| +c $
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$ - (-\cos x) + 4 \ln |x| +c = \cos x + 4 \ln |x| +c = \color{#99CC00}{4 \ln |x| + \cos x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
Probe:
Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
$ ( \cos x + 4 \ln |x| +c )' = - \sin x + \dfrac{4}{x} $- Viertes Integral:
Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
$\displaystyle \int 5 - \frac{\sin x}{4} ~\text{d}x = \displaystyle \int 5 ~\text{d}x - \frac{1}{4}\displaystyle \int \sin x ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale.
$ \displaystyle \int 5 ~\text{d}x - \frac{1}{4}\displaystyle \int \sin x ~\text{d}x = 5x - \frac{1}{4} \cdot (-\cos x) +c $
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$5x + \dfrac{1}{4} \cdot \cos x +c = \color{#99CC00}{5x + \dfrac{\cos x}{4} +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
Probe:
Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
$ \left(5x + \dfrac{\cos x}{4} +c\right)' = 5 - \dfrac{\sin x}{4}$ -
Entscheide, welche Regel bei der Berechnung des Integrals zur Anwendung kommt.
TippsDie Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Integrieren einfach stehen bleibt.
Beispiel:
$\displaystyle \int x^2 + 3\sin(x) ~\text{d}x$
$~\displaystyle = \int x^2~\text{d}x + \int 3\sin(x)~\text{d}x$
$~\displaystyle = \int x^2 ~\text{d}x + 3 \int \sin(x)~\text{d}x$
Hier wurde zunächst die Summenregel angewendet. Da im hinteren Integral der konstante Faktor $3$ vor $\sin(x)$ steht, müssen wir hier noch die Faktorregel anwenden.
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c $
LösungUm komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Faktor- und der Summenregel bedienen:
Faktorregel:
$\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Funktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so bleibt dieser Faktor bei der Integration erhalten.Summenregel:
$\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so ist das Integral aus der Summe der beiden Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen.Handelt es sich um eine Summe, bei der einer oder beide Summanden einen konstanten Faktor enthalten, so müssen wir beide Regeln anwenden.
Wir untersuchen dahingehend die gegebenen Funktionen und ordnen zu:
Anwendung der Faktorregel:
- $\displaystyle \int 5 e^x ~\text{d}x $
- $\displaystyle \int \frac{4}{x^2} ~\text{d}x $
- $\displaystyle \int - \frac{e^x}{2} ~\text{d}x $
Anwendung der Summenregel:
- $\displaystyle \int 4 - \sin x ~\text{d}x \quad$
- $\displaystyle \int x^4 + \frac{1}{x} ~\text{d}x \quad$
Anwendung der Faktor- und der Summenregel:
- $\displaystyle \int 5 \cdot x^2 - \frac{1}{2} e^x ~\text{d}x \quad $
$\displaystyle 5 \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2} \int e^x ~\text{d}x$
- $\displaystyle \int 3 \cos x -4 ~\text{d}x \quad $
$\displaystyle 3 \int \cos x ~\text{d}x - \int 4 ~\text{d}x \quad $
-
Gib die Integrale der wichtigsten Funktionen an.
TippsBei diesem Kreislauf gehen wir zum Ableiten im Uhrzeigersinn und beim Integrieren gegen den Uhrzeigersinn.
Die Funktion $e^x$ verändert sich beim Ableiten nicht:
$\left(e^x\right)^\prime = e^x$
LösungWir können mithilfe der Potenzregel für Integrale eine Potenzfunktion integrieren:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$Die Faktorregel hilft uns, einen konstanten Faktor $k$ im Integral zu berücksichtigen:
$\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so können wir die Summenregel anwenden:
$\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$$\quad$
Diese Regeln helfen uns aber nur, wenn wir die Integrale der wichtigsten Funktionen kennen:
- $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
$\quad$
- $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c \quad (c \in \mathbb{R})$
$\quad$
- $\displaystyle \int e^x~\text{d}x =e^x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
$\quad$
- $\displaystyle \int \sin x~\text{d}x =- \cos x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
$\quad$
- $\displaystyle \int \cos x~\text{d}x =\sin x+c \quad (c \in \mathbb{R})$
-
Überprüfe die Berechnungen der Integrale.
TippsDu kannst zum Vereinfachen eines Terms die dritte binomische Formel verwenden:
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$
Auch Potenzen mit negativem Exponenten $(\neq -1)$ kannst du mit der Potenzregel integrieren:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
LösungUm komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Potenzregel, der Faktor- und der Summenregel bedienen:
- $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
- $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
- $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
Wir überprüfen damit die vorliegenden Integrale:
Erstes Integral:
$\displaystyle \int \frac{x^5}{5x} -3e^x ~\text{d}x $
Wir fassen den ersten Summanden zusammen:
$\displaystyle \int \frac{x^4}{5} -3e^x ~\text{d}x $
Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
$\displaystyle \int \frac{x^4}{5} ~\text{d}x + \displaystyle \int -3e^x ~\text{d}x $
Wir wenden nun die Faktorregel an, und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:
$\dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle \int x^4 ~\text{d}x - 3 \cdot \displaystyle \int e^x ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wenden wir die Potenzregel an. Beim zweiten Integral müssen wir wissen, dass sich die $e$-Funktion beim Integrieren nicht verändert. Zuletzt müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren:
$\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5}x^5 - 3 \cdot e^x +c $
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$ \dfrac{1}{25}x^5 - 3e^x +c \quad (c \in \mathbb{R})$
Die vorliegende Lösung ist somit falsch, da einer der beiden Faktoren $\dfrac{1}{5}$ vergessen wurde.Zweites Integral:
$\displaystyle \int 3 - \frac{x^2-1}{x-1} ~\text{d}x $
Wir fassen den zweiten Summanden zusammen, indem wir die dritte binomische Formel anwenden:
$ - \dfrac{(x+1) \cdot (x-1)}{x-1} = - \dfrac{x+1}{1} = -(x+1) $
Wir können nun das Integral zusammenfassen:
$\displaystyle \int 3 - (x+1) ~\text{d}x = \int 3 - x - 1 ~\text{d}x = \int 2 - x ~\text{d}x$
Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
$\displaystyle \int 2 ~\text{d}x -\displaystyle \int x ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral beachten wir, dass beim Integrieren einer Konstanten ein $x$ angehängt wird.
$2x - \dfrac{1}{2}x^2 +c $
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$ 2x - \dfrac{x^2}{2} +c \quad (c \in \mathbb{R})$
Die vorliegende Lösung ist somit richtig.Drittes Integral:
$\displaystyle \int \frac{5}{x^5} + \frac{5}{x} ~\text{d}x $
Wir können die Summanden nicht zusammenfassen und wenden direkt die Summenregel an:
$\displaystyle \int \frac{5}{x^5} ~\text{d}x + \displaystyle \int\frac{5}{x} ~\text{d}x $
Wir wenden nun die Faktorregel an, und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:
$5 \cdot \displaystyle \int x^{-5} ~\text{d}x + 5 \cdot \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wenden wir die Potenzregel an. Beim zweiten Integral ergibt sich der natürliche Logarithmus vom Betrag von $x$:
$\dfrac{5}{-4}x^{-4} +5 \cdot \ln |x| +c $
Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
$ -\dfrac{5}{4}x^{-4} +5 \cdot \ln |x| +c \quad (c \in \mathbb{R})$
Die vorliegende Lösung ist somit falsch, da die beiden Summanden falsch zusammengefasst wurden.Viertes Integral:
$\displaystyle \int \frac{1}{2}e (1- e^{x-1}) ~\text{d}x $
Wir fassen den Term zusammen:
$ \dfrac{1}{2}e (1- e^{x-1}) = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^1 \cdot e^{x-1} = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^{1+x-1} = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^{x}$
Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
$\displaystyle \int \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e^x ~\text{d}x = \displaystyle \int \frac{1}{2}e ~\text{d}x -\displaystyle \int \frac{1}{2}e^x ~\text{d}x $
Wir wenden nun die Faktorregel auf das zweite Integral an:
$\displaystyle \int \frac{1}{2}e ~\text{d}x - \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \int e^x ~\text{d}x $
Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wird eine Konstante integriert, somit wird beim Integrieren ein $x$ angehängt. Die $e$-Funktion bleibt beim Integrieren erhalten:
$\dfrac{1}{2}ex - \dfrac{1}{2}e^x +c \quad (c \in \mathbb{R})$
Die vorliegende Lösung ist somit richtig.
9.360
sofaheld-Level
6.600
vorgefertigte
Vokabeln
8.211
Lernvideos
38.688
Übungen
33.496
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Flächeninhalt – Übungen
- Volumen Zylinder
- Potenzgesetze – Übungen
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Binomische Formeln – Übungen
- Raute
- Brüche umwandeln Übungen
- Parallelogramm
- Ungleichungen – Übungen
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Quadratische Gleichungen – Übungen
- Flächeninhalt