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Was sind quadratische Funktionen?

Quadratische Funktionen – Übersicht

Graphen quadratischer Funktionen

Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Quadratische Funktionen – Übungen

Heute geht es um Parabeln. Nein, nicht um die Ringparabel von Nathan dem Weisen, sondern um die Graphen von „quadratischen Funktionen“. Bei diesem Thema prasselt ein heilloses Durcheinander an Begriffen auf dich ein. Aber das ist zum Glück kein Drama und wir versuchen einmal, etwas Ordnung in dieses Chaos zu bringen. In quadratischen Funktionen steckt, wie der Name schon sagt, ein Quadrat drin. Nein, nicht so ein Quadrat. So eins! Eine Funktion mit der Potenz „x hoch zwei“, beziehungsweise „x Quadrat“ wird quadratische Funktion genannt. Ihr Funktionsgraph heißt Parabel. Parabeln können ganz unterschiedlich aussehen. Sie sind beispielsweise nach oben oder nach unten geöffnet. Der höchste beziehungsweise der niedrigste Punkt wird Scheitelpunkt genannt. Jede Parabel hat also genau einen Scheitelpunkt. Dieser Punkt wird häufig mit S bezeichnet. Eine ganz besondere quadratische Funktion ist die Normalparabel. Ihre Funktionsgleichung lautet „f von x“ gleich „x Quadrat“. Sie hat ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, also in „null, null“. Aus dieser Funktion gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor. Schauen wir uns zunächst an, was passiert, wenn wir die Normalparabel im Koordinatensystem verschieben. Wenn wir uns diese drei nach oben geöffneten Parabeln anschauen, sehen wir, dass die Funktionsgraphen die x-Achse gar nicht, einmal oder zweimal schneiden. Diese Schnittstellen werden auch Nullstellen genannt. Genau wie die nach oben geöffneten Parabeln haben auch die nach unten geöffneten Parabeln keine, eine oder zwei Nullstellen. Durch Verschiebung kann sich also die Anzahl der Nullstellen verändern. Wie können wir denn noch an unserer Normalparabel rumdoktern? Parabeln können auch breiter oder schmaler als die Normalparabel sein. Solche Parabeln entstehen durch Stauchung oder Streckung der Normalparabel. Breite Parabeln sind gestaucht und schmale Parabeln gestreckt. Ob eine Parabel gestreckt, gestaucht oder verschoben ist, hängt von ihrer Funktionsgleichung ab. Dabei können quadratische Funktionsgleichungen in verschiedenen Formen auftreten. Bei der Normalform und der allgemeinen Form ist es offensichtlich, dass es sich um quadratische Funktionsgleichungen handelt, denn hier ist das „x Quadrat“ auf den ersten Blick zu erkennen. Die Parabel der Normalform ist dabei, wie der Name schon sagt, eine verschobene Normalparabel. Bei der Normalform steht vor dem „x Quadrat“ nur der Vorfaktor eins, der bei der Multiplikation ja auch weggelassen werden kann, während bei der allgemeinen Form jede andere Zahl als Vorfaktor stehen kann. Bei diesem Beispiel ist es im ersten Moment vielleicht nicht ersichtlich, aber auch diese Funktionsgleichung ist eine quadratische Funktionsgleichung. Diese Form wird Scheitelpunktform genannt. Wenn wir diese Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel auflösen, erhalten wir eine Funktionsgleichung in der allgemeinen Form. In der Scheitelpunktform ist also kein explizites „x Quadrat“ zu erkennen, aber zumindest ein Quadrat. Danach sucht man in dieser Funktionsgleichung vergeblich. Aber auch hier handelt es sich um eine quadratische Funktionsgleichung. Das erkennen wir, wenn wir die Faktoren ausmultiplizieren. Diese Form wird deshalb faktorisierte Form genannt. Du siehst also, dass du für das Themengebiet zu quadratischen Funktionen das Lösen von Gleichungen und binomischen Formeln beherrschen solltest. Aber mit Sicherheit kannst du nun die vielen neuen Begriffe gut einordnen. Damit haben wir auch einen Beitrag zur Aufklärung geleistet und konnten etwas Licht ins Dunkel der Parabeln bringen, und gemeinsam ein bisschen weiser werden.

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Die Autor*innen

Team Digital

Quadratische Funktionen – Übersicht

lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Quadratische Funktionen – Übersicht Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – Übersicht kannst du es wiederholen und üben.

Gib an, ob die Aussagen zu quadratischen Funktionen richtig sind.

Tipps

Drei Aussagen sind richtig.

Nullstellen von verschobenen Parabeln:

Normalparabel:

Lösung

Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x)=x^2$. Ihr Graph ist die Normalparabel. Wir können diesen Funktionsgraphen jedoch durch Verschiebung, Spiegelung an der $x$-Achse und durch Streckung oder Stauchung verändern.
Funktionsgraphen:
Den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion bezeichnen wir als Parabel.
Jede Parabel hat genau einen höchsten beziehungsweise niedrigsten Punkt. Wir nennen ihn den Scheitelpunkt einer Parabel. Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der niedrigste Punkt. Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt. Diese Aussage ist richtig.
Die Schnittstelle(n) einer Parabel mit der $x$-Achse nennt man Nullstelle(n). Eine quadratische Funktion kann eine, keine oder zwei Nullstellen haben. Diese Aussage ist richtig. Die Normalparabel hat genau eine Nullstelle. Diese Aussage ist auch richtig.
Durch Verschiebung einer Parabel kann sich die Anzahl der Nullstellen, nicht die der Scheitelpunkte, verändern. Diese Aussage ist falsch.
Beschreibe die Parabel.
Tipps

Zum Vergleich: Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ und ist nach oben geöffnet.

Lösung
Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x)=x^2$. Ihr Graph ist die Normalparabel. Wir können diesen Funktionsgraphen jedoch durch Verschiebung, Spiegelung an der $x$-Achse und durch Streckung oder Stauchung verändern.
So ergibt sich die abgebildete Parabel:
- Die Parabel ist nach unten geöffnet.
- Der Scheitelpunkt ist daher der höchste Punkt des Graphen.
- Die Parabel hat eine Nullstelle. Dies ist die Schnittstelle mit der $x$-Achse.
- Die Parabel ist nach rechts, entlang der $x$-Achse, verschoben.
Entscheide, in welcher Form die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion gegeben ist.

Tipps

Die faktorisierte Form besteht aus mindestens zwei Faktoren, es handelt sich also um ein Produkt.

Beispiel:
Die Funktion $f(x)=6x^2-x+5$ ist in der allgemeinen Form gegeben.

Lösung

Für die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gibt es verschiedene Schreibweisen:
Die Normalform: $x^2 + bx +c$
Beispiel: $f(x)=x^2+4x+6$
Hierbei handelt es sich um die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel, also einer Parabel, welche weder gestreckt noch gestaucht ist. Vor dem $x^2$ steht der Faktor $1$, den man auch weglassen kann.
Die allgemeine Form: $ax^2 + bx + c$
Beispiel: $f(x)=3x^2+4x+1$
Diese Schreibweise ist ähnlich wie die Normalform. Allerdings steht hier vor dem $x^2$ ein Faktor $\neq1$, welcher angibt, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht wurde.
Die Scheitelpunktform: $a(x - d)^2 + e$
Beispiele: $f(x)=-4(x+1)^2-2$ und $f(x)=(x-5)^2+2$
Diese Form heißt Scheitelpunktform, da hier der Scheitelpunkt $S(d \vert e)$ direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden kann. Der Scheitelpunkt der ersten Funktion ist $S(-1\vert -2)$ und der der zweiten Funktion $S(5\vert 2)$. Das Quadrat der quadratischen Funktion können wir hier erst entdecken, wenn wir die Klammer mithilfe der binomischen Formel ausmultiplizieren.
Die faktorisierte Form: $a(x - x_1)(x - x_2)$
Beispiele: $f(x)=3 \cdot (x-2)\cdot (x+1)$ und $f(x)=- (x-1)\cdot (x+8)$
Der Begriff stammt daher, dass der Funktionsterm als Produkt mit mehreren Faktoren geschrieben wird. An den Faktoren können wir die Nullstellen der Funktion ablesen. Auch hier können wir das Quadrat der quadratischen Funktion erst erkennen, wenn wir das Produkt ausmultiplizieren.
Ermittle die Anzahl der Nullstellen, die der Graph der Parabel nach den beschriebenen Änderungen hat.
Tipps

Diese Parabel ist nach unten geöffnet, gestaucht und nach unten verschoben.

Die Nullstellen sind die Stellen, an denen eine Funktion die $x$-Achse schneidet.

Lösung
Die einfachste Parabel ist die Normalparabel. Wir können diese durch Streckung oder Stauchung und Verschiebung verändern.
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen eine Funktion die $x$-Achse schneidet. Je nachdem, ob eine Parabel nach oben oder nach unten geöffnet sowie nach oben oder nach unten verschoben ist, kann sie eine, keine oder zwei Nullstellen haben. Durch Streckung oder Stauchung ändert sich zwar die Form der Parabel, aber nicht die Anzahl der Nullstellen.
Allgemein gilt:
- nicht verschoben $\mapsto$ eine Nullstelle
- nach oben geöffnet und nach oben verschoben $\mapsto$ keine Nullstelle
- nach oben geöffnet und nach unten verschoben $\mapsto$ zwei Nullstellen
- nach unten geöffnet und nach oben verschoben $\mapsto$ zwei Nullstellen
- nach unten geöffnet und nach unten verschoben $\mapsto$ keine Nullstelle
Somit ergibt sich für die Beispiele:
Beispiel 1: Die Parabel ist gestaucht und nicht verschoben.
Anzahl der Nullstellen: $1$
Beispiel 2: Die Parabel ist nach unten geöffnet und nach oben verschoben.
Anzahl der Nullstellen: $2$
Beispiel 3: Die Parabel ist nach oben geöffnet und nach oben verschoben.
Anzahl der Nullstellen: $0$
Beispiel 4: Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestreckt und nach unten verschoben.
Anzahl der Nullstellen: $2$
Definiere die gegebenen Fachbegriffe zu quadratischen Funktionen.

Tipps

Eine Parabel und eine Normalparabel sind Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion. Eine Normalparabel ist dabei eine spezielle Parabel.

Der Graph der violetten Parabel geht durch Streckung, der Graph der grünen Parabel durch Stauchung aus der roten Normalparabel hervor.

Lösung

Im Umgang mit quadratischen Funktionen begegnen uns viele Fachbegriffe. Wir schauen uns einige an:
Parabel
Den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion bezeichnen wir als Parabel.
Normalparabel
Der Funktionsgraph der einfachsten quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet. Die Normalparabel kann auch verschoben werden. Sie ist jedoch weder gestreckt noch gestaucht.
Scheitelpunkt
Jede Parabel hat genau einen höchsten beziehungsweise niedrigsten Punkt. Wir nennen ihn den Scheitelpunkt der Parabel. Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt ihr niedrigster Punkt. Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt ihr höchster Punkt.
Nullstelle
Eine Schnittstelle eines Funktionsgraphen mit der $x$-Achse nennt man Nullstelle. Dies gilt übrigens für alle Funktionen, nicht nur für Parabeln.
Streckung
Durch Streckung wird die Parabel schmaler als die Normalparabel.
Stauchung
Durch Stauchung wird die Parabel breiter als die Normalparabel.
Überprüfe die Aussagen zu den dargestellten Funktionsgraphen.

Tipps

Eine Parabel kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Eine Parabel, die nach oben oder unten verschoben wurde, hat entweder keine oder zwei Nullstellen.

Beispiel:
Die Funktionsgleichung $f(x)=(x-3)\cdot (x+2)$ ist in faktorisierter Form gegeben.
Durch Einsetzen der Nullstellen $x_1=3$ oder $x_2=-2$ der Funktion ergibt sich dabei der Funktionswert $0$.

Lösung

Wir betrachten die Parabeln:
Die gelbe Parabel:
Die gelbe Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht. Die Aussage 'Die Funktionsgleichung der gelben Parabel kann in der Normalform angegeben werden' ist falsch, da die Normalform die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel ist.
Die violette Parabel:
Die violette Parabel ist nach unten geöffnet und nach links und nach oben verschoben. Ihre Nullstellen liegen bei $x_1 = -3$ und $x_2 = -1$. Die Aussage 'Die Funktionsgleichung der violetten Parabel in faktorisierter Form lautet $f(x)=(x+3) \cdot (x+1)$.' ist richtig, da wir an der faktorisierten Form direkt die Nullstellen ablesen können. Es gilt: Ein Produkt ist genau dann Null , wenn einer der Faktoren Null ist. Wir erkennen, dass beim Einsetzen der Nullstellen jeweils eine der Klammern Null ergibt.
Die grüne Parabel:
Bei der grünen Parabel handelt es sich um die Normalparabel. Diese Aussage ist richtig. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $f(x)=x^2$. Sie hat den Scheitelpunkt $S(0 \vert 0)$.
Die rote Parabel:
Die rote Parabel ist nach oben geöffnet und nach oben verschoben. Daher hat sie keine Nullstellen. Die Aussage 'Da die rote Parabel nach oben verschoben wurde und nach unten geöffnet ist, hat sie keine Nullstellen' ist falsch. Wäre die Parabel nach unten geöffnet und nach oben verschoben, dann hätte sie zwei Nullstellen.
Die blaue Parabel:
Die blaue Parabel ist nach unten geöffnet, aber nicht verschoben. Die Aussage 'Die blaue Parabel ist nach unten verschoben' ist daher falsch. Der Scheitel der blauen Parabel liegt bei $S(0 \vert 0)$, stimmt also mit dem der grünen Parabel überein. Die Aussage 'Die grüne und die blaue Parabel haben den gleichen Scheitelpunkt' ist somit richtig.