Natürliche Zahlen durch Brüche teilen
Natürliche Zahlen durch Brüche teilen: Lerne, wie man den Kehrwert des Divisors bildet und damit Divisionsaufgaben löst. Das Prinzip wird anhand von Beispielen erklärt. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
- Natürliche Zahlen durch Brüche teilen – Mathe
- Natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren – Beispiel
- Regeln zum Dividieren einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

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Natürliche Zahlen durch Brüche teilen Übung
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Berechne, wie viele Gläser Adina jeweils füllen kann.
TippsTeilst du $15$ Bonbons auf $5$ Personen auf, so rechnest du:
$15:5$
Um durch einen Bruch zu dividieren, musst du mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.
Hier ist eine Beispielrechnung:
$2:\dfrac{1}{5} = 2 \cdot \dfrac{5}{1} = 10$
LösungDas Aufteilen des Saftes kann man mit einer Geteiltaufgabe darstellen.
- Der Dividend, also die Zahl, die aufgeteilt wird, ist hier die Menge an Saft, die Adina aufteilen will, nämlich $3~\ell$.
- Der Divisor, also die Zahl, durch die man teilt, ist in dieser Aufgabe jeweils der Inhalt, der in eines der Gläser passt.
- Der Quotient, also das Ergebnis, ist bei Adina die Anzahl der Gläser, die sie befüllen kann.
$3~\ell : \dfrac{1}{3}~\ell = 3 \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{9}{1}= 9$
Adina kann also $9$ große Gläser mit Saft füllen.Verwendet Adina die kleineren Gläser, die nur $0{,}2~\ell = \dfrac{2}{10}~\ell$ Saft fassen, so rechnet sie:
$3~\ell : \dfrac{2}{10} = 3 \cdot \dfrac{10}{2}=\dfrac{30}{2}=15$
Adina kann also $15$ kleine Gläser mit Saft füllen.Hinweis: Adina könnte den Saft auch auf die Anzahl der Partygäste bzw. Gläser aufteilen und würde dann als Ergebnis die Menge an Saft erhalten, die sie in jedes Glas füllen muss.
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Gib das Ergebnis der Division an.
TippsMultipliziere mit dem Kehrwert des Bruches.
Hier ist ein Rechenbeispiel:
$4:\dfrac{2}{5} = 4 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$
Bei allen diesen Divisionen ist der Quotient größer als der Dividend.
LösungUm eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, bildest du zuerst den Kehrwert des Bruches und multiplizierst die ganze Zahl mit diesem Kehrwert. Prüfe anschließend, ob du nun noch kürzen kannst.
Zu dieser Aufgabe gehören folgende Berechnungen:
1) $3:\dfrac{1}{3} = 3 \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{3 \cdot 3}{1} = \dfrac{9}{1} = 9$
2) $3:\dfrac{2}{10} = 3 \cdot \dfrac{10}{2} = \dfrac{3\cdot 10}{2} = \dfrac{30}{2} =15$
3) $2:\dfrac{1}{5} = 2 \cdot \dfrac{5}{1} = \dfrac{2 \cdot 5}{1} = \dfrac{10}{1} = 10$
4) $12:\dfrac{3}{4} = 12 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{12 \cdot 4}{3} = \dfrac{48~:~3}{3~:~3} = \dfrac{16}{1} = 16$
5) $3:\dfrac{2}{9} = 3 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{3 \cdot 9}{2} = \dfrac{27}{2}$
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Wende die Kehrwertregel an.
TippsDividieren durch $\frac{7}{8}$ ist dasselbe, wie multiplizieren mit $\frac{8}{7}$.
Trage auch die passenden Kürzungen ein.
Multipliziere Brüche, indem du jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multiplizierst.
LösungUm eine Zahl durch einen Bruch zu dividieren, multipliziert du die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches. Du kannst dann diese Multiplikation wieder zu einem Bruch zusammenfassen. Dabei wandert die ganze Zahl als Faktor in den Nenner. Das entspricht der Regel Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner bei der Multiplikation von Brüchen, da wir eine ganze Zahl stehts als Bruch mit Nenner $1$ schreiben können. Es gilt also beispielsweise:
$5 \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{5 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \dfrac{5 \cdot 2}{7}$
Im Anschluss wird dieser Bruch soweit möglich gekürzt.Bei der ersten Division ist der Divisor $\dfrac{9}{8}$. Du musst also den Dividenden $3$ mit dem Bruch $\dfrac{8}{9}$ multiplizieren, um den Quotienten zu berechnen. Hier ist die korrekte Rechnung:
$3:\dfrac{9}{8} = 3 \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~8}}{9\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}} = \dfrac{1 \cdot 8}{3} = \dfrac{8}{3}$
Bei der zweiten Division ist der Dividend $7$ und der Divisor $\dfrac{21}{6}$. Du multiplizierst also mit dem Kehrwert $\dfrac{6}{21}$ und rechnest:
$7:\dfrac{21}{6} = 7\cdot\dfrac{6}{21} =\dfrac{7\color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~6}}{21 \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}} = \dfrac{1 \cdot 6\color{gold}{\,{:}\,3}}{3\color{gold}{\,{:}\,3}} = \dfrac{2}{1} = 2$
-
Entscheide, welche Rechnungen zu den Ergebnissen gehören.
TippsHier ist ein Rechenbeispiel:
$3:\dfrac{6}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 \cdot 5}{6} = \dfrac{5}{2}$
Kürze dein Ergebnis so weit wie möglich.
LösungUm die Divisionsaufgaben zu lösen, musst du den Bruch durch seinen Kehrwert und das Geteiltzeichen durch ein Malzeichen ersetzen. Dann kannst du die Brüche noch kürzen und vereinfachen. Hier ist eine ausführliche Beispielrechnung:
Wir ersetzen zuerst die Division durch den Bruch $\dfrac{15}{2}$ durch die Multiplikation mit seinem Kehrbruch $\dfrac{2}{15}$:
$5:\dfrac{15}{2} = 5 \cdot \dfrac{2}{15}$
Als Nächstes fassen wir die Multiplikation auf einem Bruchstrich zusammen und kürzen mit $5$:
$5 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{5 \cdot 2}{15} = \dfrac{10 ~:~ 5}{15 ~:~ 5}$
Nun fassen wir das Ergebnis zusammen:
$\dfrac{10 ~:~ 5}{15 ~:~ 5} = \dfrac{2}{3}$
Im Folgenden siehst du alle korrekten Zuordnungen:
Quotient $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$:
1) $1:\dfrac{3}{2} = 1 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$
2) $5:\dfrac{15}{2} = 5 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$
3) $7:\dfrac{21}{2} = 7 \cdot \dfrac{2}{21} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$
$\,$
Quotient $\mathbf{\dfrac{6}{7}}$:
4) $2:\dfrac{7}{3} = 2 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{7}$
5) $15:\dfrac{35}{2} = 15 \cdot \dfrac{2}{35} = \dfrac{30}{35} = \dfrac{6}{7}$
6) $2:\dfrac{14}{6} = 2 \cdot \dfrac{6}{14} = \dfrac{12}{14} = \dfrac{6}{7} $
$\,$
Quotient $\mathbf{\dfrac{6}{5}}$:
7) $3:\dfrac{5}{2} = 3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$
8) $18:\dfrac{45}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{45} = \dfrac{54}{45} = \dfrac{6}{5}$
9) $7:\dfrac{35}{6} = 7 \cdot \dfrac{6}{35} = \dfrac{42}{35} = \dfrac{6}{5}$
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Bestimme den Kehrwert.
TippsDer Kehrwert von $\dfrac{1}{4}$ ist $\dfrac{4}{1}$.
Der Kehrwert eines Bruches enthält dieselben Zahlen wie der Bruch selbst, aber Zähler und Nenner sind vertauscht.
LösungWenn wir durch einen Bruch teilen, müssen wir im ersten Schritt den Kehrwert dieses Bruchs bilden. Den Kehrwert oder Kehrbruch eines Bruchs erhältst du, indem du Zähler und Nenner tauschst.
Der Kehrwert des Bruches $\dfrac{a}{b}$ ist also der Bruch $\dfrac{b}{a}$. Hierbei stehen $a$ und $b$ für beliebige Zahlen.
In dieser Aufgabe sollst du jedem Bruch seinen Kehrwert zuordnen. Hier sind die korrekten Zuordnungen:
1) Der Kehrwert von $\dfrac{7}{5}$ ist der Bruch $\dfrac{5}{7}$.
2) Der Kehrwert von $\dfrac{2}{10}$ ist der Bruch $\dfrac{10}{2}$.
3) Der Kehrwert von $\dfrac{3}{4}$ ist der Bruch $\dfrac{4}{3}$.
4) Der Kehrwert von $\dfrac{2}{9}$ ist der Bruch $\dfrac{9}{2}$.
Der Bruch $\dfrac{1}{5}$ ist nicht der Kehrwert einer der echten Brüche $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{2}{10}$, $\dfrac{3}{4}$ oder $\dfrac{2}{9}$.
Denn $\dfrac{1}{5}$ ist der gekürzte Bruch zu $\dfrac{2}{10}$, ist also dasselbe wie $\dfrac{2}{10}$ und nicht der Kehrwert.
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Prüfe, ob die Becher reichen, um die Limonade vollständig zu verkaufen.
TippsFinde eine passende Divisionsaufgabe, um die Anzahl der benötigten Becher zu berechnen.
Beispiel: $8$ Becher für je $\dfrac{3}{5}~\ell$
$5 : \dfrac{3}{5} = 5 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{3} = 8\dfrac{1}{3}$
Um die ganze Limonade zu verkaufen, braucht es $8\dfrac{1}{3}$, also mindestens $9$, Becher dieser Größe. Die $8$ Becher reichen daher nicht.
LösungWir können mithilfe einer Divisionsaufgabe die Anzahl der Becher berechnen, die jeweils für $5~\ell$ Limonade benötigt werden. Dazu teilen wir die ganze Zahl $5$ durch die Bechergröße.
$\displaystyle 5 : \frac{3}{8} = 5 \cdot \frac{8}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$
Freddie hat $15$ Becher besorgt. Diese reichen aus, weil $15 \gt 13\dfrac{1}{3}$.$\displaystyle 5 : \frac{1}{4} = 5 \cdot \frac{4}{1} = \frac{20}{1} = 20$
Freddie hat $15$ Becher besorgt. Diese reichen nicht aus, weil $15 \lt 20$.$\displaystyle 5 : \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{1} = 10$
Freddie hat $12$ Becher besorgt. Diese reichen aus, weil $12 \gt 10$.$\displaystyle 5 : \frac{2}{5} = 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$
Freddie hat $12$ Becher besorgt. Diese reichen nicht aus, weil $12 \lt 12\dfrac{1}{2}$.$\displaystyle 5 : \frac{1}{5} = 5 \cdot \frac{5}{1} = \frac{25}{1} = 25$
Freddie hat $20$ Becher besorgt. Diese reichen nicht aus, weil $20 \lt 25$.$\displaystyle 5 : \frac{1}{3} = 5 \cdot \frac{3}{1} = \frac{15}{1} = 15$
Freddie hat $18$ Becher besorgt. Diese reichen aus, weil $18 \gt 15$.Hinweis: Alternativ könntest du auch berechnen, wie viel Limonade in die Becher passt, die Freddie besorgt hat und diesen Wert dann mit den $5~\ell$ von Zazie vergleichen.
Beispiel: In die $15$ Becher für je $\dfrac{3}{8}~\ell$ passen insgesamt: $15 \cdot \dfrac{3}{8}~\ell = \dfrac{45}{8}~\ell = 5\dfrac{5}{8}~\ell$. Das sind mehr als $5~\ell$, daher reichen die $15$ Becher von Freddie in diesem Fall.
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