Flächen parkettieren
Eine Parkettierung in der Mathematik ist ähnlich wie ein Parkettfußboden – nur mit geometrischen Formen. Diese Flächen werden so gelegt, dass sie sich nicht überlappen. Lerne die Definition und Beispiele im Text kennen und probiere es selbst aus! Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Flächen parkettieren
Die Parkettierung in der Mathematik
Weißt du schon, was eine Parkettierung in der Mathematik ist? Dieses Wort klingt so ähnlich wie Parkettfußboden – und das kennst du bestimmt. Ein Parkettfußboden und die Parkettierung in der Mathematik haben auch wirklich Gemeinsamkeiten. Welche genau, das schauen wir uns im Folgenden an.
Parkettierung – Definition
Hast du schon einmal einen Parkettfußboden gesehen? So ein Fußboden kann ganz verschiedene Muster haben. Hier siehst du ein Beispiel:
So ein Parkettfußboden ist aus Holz und kann viele verschiedene Muster haben. Hier sehen wir ein Quadrat. Und auf dem ersten Quadrat liegt ein zweites. Das zweite Quadrat ist ein bisschen kleiner und außerdem um $45$ Grad gedreht. Auf dem zweiten Quadrat liegt noch ein drittes, das wieder um $45$ Grad gedreht ist. Aber natürlich sind in Wirklichkeit gar nicht die Quadrate übereinander gelegt, denn dann hätten wir ein kleines Türmchen gebaut und der Fußboden wäre nicht mehr glatt! Stattdessen sind die Formen ausgeschnitten und ineinandergelegt, sodass sie sich nicht überlappen. Und mit diesen Formen ist der ganze Fußboden in einem Zimmer ausgelegt.
Und genau das ist eine Parkettierung: Eine Fläche wird durch geometrische Formen vollständig bedeckt, ohne dass sich die Formen überlappen.
Parkettierung – Beispiele
Um eine Fläche zu parkettieren, kannst du alle möglichen Formen benutzen, die du schon kennst. Du kannst eine Fläche zum Beispiel mit Rechtecken oder Trapezen parkettieren. Du kannst auch verschiedene Formen zusammen benutzen. Hier siehst du ein paar Beispiele:
Nimm dir am besten gleich ein Blatt Papier und versuche, diese Flächen nachzumalen. Oder denk dir gleich eine eigene Art von Parkett aus.
Transkript Flächen parkettieren
Hallo! Schön, dass du heute reinschaust. Lillis Eltern suchen eine neue Wohnung. Auf dem Fußboden liegt kein Teppichboden, sondern Parkett. Das sind kleine Hölzer, die regelmäßig auf dem Boden verlegt sind. Dafür gibt es viele Möglichkeiten, das hier gezeigte Muster ist das einfachste. In alten Villen oder Schlössern sehen Parkettböden aufwendiger aus. Ihre Verlegung macht viel mehr Arbeit und ist wesentlich teurer. Sehen wir uns dazu auch ein Beispiel an. Kannst du versuchen, zu beschreiben, wie das Parkettmuster entstanden ist? Es sieht so aus, dass von außen nach innen immer wieder kleiner werdende Quadrate verwendet wurden, wobei jedes zweite um 45 Grad, also eine Achteldrehung gedreht wurde. Aber Vorsicht, das Verlegen ist nicht so einfach. Es können nicht einfach die ganzen Quadrate aufeinander gelegt werden. Dann würde kein Fußboden, sondern ein Türmchen entstehen. Die Quadrate müssen nebeneinander gelegt werden, was viel Ausschneidearbeit bedeutet. Das kannst du hier deutlich an den dunkel gefärbten Feldern sehen. Aber du sollst ja heute keinen Parkettboden verlegen, sondern nur Parkettmuster zeichnen. Hier siehst du ein angefangenes Parkettmuster. Sieh es dir genau an, dann kannst du erkennen, wie du es fortsetzen musst. Die Rechtecke werden immer zwei Kästchen breiter und zwei Kästchen länger. Schau, so kannst du das Parkettmuster weiter zeichnen. Dieses wird ein sehr schönes Parkettmuster, auch das ist gar nicht so schwer zu zeichnen. Du erkennst bestimmt die Form der weißen und der dunklen Flächen. Die Kästchen kannst du ganz einfach abzählen. Die weißen Flächen sind gleichmäßige Trapeze. Deren längere Seiten sind sieben Kästchen lang, die kürzeren drei Kästchen. Die dunklen Flächen sind ganze oder halbe Quadrate. Ihre Seitenlängen sind so lang wie die Seitenlängen der Trapeze. Wenn wir das Muster zeichnen wollen, beginnen wir mit den drei halben Quadraten an der linken Seite. Dazu zeichnest du immer zwei Kästchen schräg nach rechts unten und dann wieder zwei Kästchen schräg nach links unten. So ergibt es ein Zickzackmuster. Dann ziehst du von den Ecken der halben Quadrate drei gerade Linien über drei Kästchen nach rechts. Das sind die kurzen Seiten der Trapeze. Jetzt zeichnen wir noch die langen Seiten der Trapeze ein. Diese gehen über sieben Kästchen. Dann verbinden wir die Enden der Linien im Zickzackmuster. Nun kannst du wieder mit dem gleichen Zickzackmuster wie am Anfang weiter machen. Dadurch erhältst du diese ganzen Quadrate. Darauf folgen wieder die Trapeze, die genauso eingezeichnet werden wie vorhin. Jetzt kann das Muster vervollständigt werden. Prima! Und schon ist unser Parkettmuster fertig. Lillis Eltern gefällt das Parkett in ihrer neuen Wohnung sehr gut. Ich hoffe, die Muster, die ich dir heute gezeigt habe, gefallen dir auch. Wenn du möchtest, kannst du selbst auch versuchen, ein Parkettmuster zu entwerfen. Ich hoffe, du bist beim nächsten Mal wieder mit dabei. Tschüss.
Flächen parkettieren Übung
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In welchem Muster ist das Parkett verlegt worden? Erkläre, wie das Muster aufgebaut ist.
TippsHier siehst du ein Quadrat.
Das ist ein Rechteck.
Jede zweite Form ist rot.
LösungSchau mal: Ganz außen ist ein gelbes Quadrat.
Weiter innen ist ein rote Form. Was ist das für eine Form? Es ist auch ein Quadrat, welches um 45° gedreht ist.
Dann kommt wieder ein gelbes Quadrat, dann wieder ein rotes gedrehtes Quadrat ... So geht das weiter. Jedes zweite Quadrat ist dabei um 45° gedreht, das sind die roten Quadrate.
So kann man allerdings ein Parkett nicht legen. Wenn du alle Quadrate übereinander legst, würdest du über diesen Quadrat-Haufen stolpern.
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Wie wird das Parkettmuster fortgesetzt? Entscheide.
TippsDu kannst die Muster überprüfen, indem du die Kästchen zählst.
Wenn das Rechteck um 2 Einheiten länger wird, musst du 2 Kästchen nach links gehen.
Da das Rechteck um 2 Einheiten breiter wird, musst du jeweils 1 Kästchen nach oben und unten gehen.
LösungDie beiden schwarzen Rechtecke zeigen den Anfang des Parkettmusters.
Du kannst erkennen, dass die Rechtecke immer 2 Kästchen breiter und 2 Kästchen länger werden.
- Das grüne Rechteck wird 3 Kästchen breiter.
- Das blaue Rechteck wird 4 Kästchen länger.
- Das violette Rechteck wird jeweils 3 Kästchen breiter und länger.
- Das hellblaue Rechteck wird um 3 Kästchen breiter.
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Wie viele Quadrate siehst du in diesem Parkettmuster? Gib deren Anzahl an.
TippsDas kleinste Quadrat ist gelb.
Zwischen jeweils 2 gelben Quadraten befindet sich ein gedrehtes rotes.
Die Anzahl der roten Quadrate ist um 1 kleiner als die der gelben Quadrate.
LösungLass dich beim Zählen nicht verwirren.
Fange einfach mit den gelben Quadraten an. Diese sind nicht gedreht:
Ganz außen ist das größte gelbe Quadrat, weiter innen ein kleineres und ganz in der Mitte noch eines, das kleinste: Das sind 3 gelbe Quadrate.
Die violetten Quadrate sind gedreht. Zwischen jeweils 2 gelben Quadraten befindet sich ein violettes:
- Zwischen dem ersten und zweiten gelben 1 und
- zwischen dem zweiten und dritten gelben noch mal 1.
3 + 2 = 5
Zusammen gibt es also 5 Quadrate.
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Welche Formen erkennst du in diesem Muster? Benenne die Formen.
TippsQuadrate und Rechtecke sind Vierecke.
Ein Dreieck hat 3 Ecken.
Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck: Alle 4 Seiten sind gleich lang.
Es gibt insgesamt 1 Quadrat mehr als Rechtecke.
LösungErkennst du die roten Rechtecke? In der ersten und in der fünften Reihe kannst du jeweils 3 solche Rechtecke sehen. Diese Reihen sehen gleich aus.
Auch die zweite und vierte Reihe sehen gleich aus. Dort siehst du die blauen Dreiecke. Wie viele sind es? Jeweils 6.
Es bleibt nur noch die dritte Reihe genau in der Mitte. Hier siehst du die gedrehten grünen Quadrate. Zähl doch mal durch: Es sind 7 Stück.
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Welche Formen kommen in diesem Parkettmuster vor? Gib die Formen an.
TippsEin Trapez ist ein spezielles Viereck, in dem zwei Seiten parallel zueinander sind.
Siehst du einen Kreis in dem Muster?
Das hier ist ein Fünfeck.
LösungDieses Muster beginnt ganz links mit gedrehten halben Quadraten. Du könntest auch sagen, dass dies Dreiecke sind.
Dann werden Striche gezeichnet. Diese Striche bilden mit den Rändern der gedrehten Quadrate weiße Trapeze.
Dann folgen wieder gedrehte Quadrate.
Und so geht das weiter.
Versuche doch einmal, dieses Muster nachzuzeichnen. Viel Spaß dabei.
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Wie ist dieses Muster aufgebaut? Beschreibe den Aufbau.
TippsAlle Dreiecke werden so gestapelt, dass das gesamte Muster selbst wieder ein Dreieck ist.
Es läuft nach oben spitz zusammen.
Von Reihe zu Reihe wird die Anzahl der Dreiecke um 1 weniger.
LösungEs gibt mehrere Möglichkeiten, ein Muster zu zeichnen. Das abgebildete Muster kann durch 2 von 4 Anleitungen beschrieben werden.
Das sind die beiden Anleitungen:
- In der unteren Reihe befinden sich 4 rote Dreiecke. Jeweils auf die oberen Spitzen dieser Dreiecke wird eine weitere Reihe gesetzt. Die nächste Reihe hat also drei rote Dreiecke. Dies wird bis zur Spitze fortgesetzt.
- Am Anfang gibt es ein großes rotes Dreieck. Dann wird ein weißes Dreieck in dieses rote Dreieck gezeichnet. Die Ecken des weißen Dreiecks befinden sich in der Mitte der drei Seiten des roten Dreiecks. Es gibt nun 3 rote und 1 weißes Dreieck. In die roten Dreiecke wird nun ein weißes und in das weiße Dreieck ein rotes Dreieck gezeichnet. Fertig.
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