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pq-Formel

Die pq-Formel ist eine der bekanntesten Lösungsformeln für quadratische Gleichungen in Normalform.

Formen quadratischer Gleichungen

Gleichungen wie zum Beispiel

  • $x^{2}=7$,
  • $4x^{2}-9=-1$ oder
  • $x^{2}-6x+3=0$

werden als quadratische Gleichungen bezeichnet. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

$ax^{2}+bx+c=0$, mit $a \neq 0$.

Dabei wird $ax^{2}$ der quadratische Term genannt, $bx$ der lineare Term und $c$ der absolute Term (oder auch die Konstante). Wichtig ist, dass der Koeffizient $a$, also der Faktor vor dem $x^{2}$, ungleich $0$ ist. Ansonsten enthält die Gleichung keinen quadratischen Term.

Ist $b \neq 0$, so enthält die quadratische Gleichung ein lineares Glied. Solche Gleichungen werden gemischt quadratische Gleichungen genannt. Ist $b =0$, so handelt es sich um eine reinquadratische Gleichung.

Quadratische Gleichung der Form

$x^{2}+px+q=0$, mit $p \neq 0$

werden als quadratischen Gleichung in Normalform bezeichnet. Hierbei ist der Koeffizient $a=1$ und taucht deshalb in der Gleichung nicht auf.

Einführung pq-Formel

Eine der bekanntesten Lösungsformeln für quadratische Gleichungen in Normalform ist die sogenannte pq-Formel.

Liegt die Gleichung in der Form

$x^{2}+px+q=0$, mit $p \neq 0$

vor, so lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}$.

$x_{1,2}$ steht dabei für die möglichen zwei Lösungen der quadratischen Gleichung, $x_1$ und $x_2$.

Quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form $ax^{2}+bx+c=0$ lassen sich durch Division mit dem Koeffizienten $a$ in die Normalform überführen:

$\begin{array}{ccccccc} ax^2 &+& bx &+& c &=& 0 & ~\vert \div a\\ x^2 &+& \frac{b}{a}x &+& \frac{c}{a} &=& 0 &~ \end{array}$

Der Einfachheit halber werden die Brüche in dieser Gleichung durch die Variablen $p$ und $q$ ersetzt:

$x^2+px+q=0$, mit $p=\frac{b}{a}$ und $q=\frac{c}{a}$.

Einführung_pq-Formel

Herleitung pq-Formel

Zur Herleitung der pq-Formel werden kleine Tricks sowie das Wissen über die binomischen Formeln benutzt. Zunächst wird die quadratische Gleichung in Normalform umgestellt, anschließend quadratisch ergänzt und mit Hilfe der 1. binomischen Formel umgeformt, um die Gleichung nach x umstellen zu können. Klingt kompliziert, aber du wirst sehen, das ist es gar nicht:

$\begin{array}{rclll} x^{ 2 }+px+q & = & 0~ & \vert & -q \\ x^{ 2 }+px & = & -q & \vert & \text{quadratische Ergänzung mit}+\left(~\frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\ x^{ 2 }+px+\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & = & -q+\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & \vert & \text{1. binomische Formel} \\ \left( x+\frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & = & \left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q & \vert & \sqrt{~} \\ x+\frac { p }{ 2 } & = & \pm \sqrt {\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q } & \vert & -\frac { p }{ 2 } \\ x_{ 1,2 } & = & -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q } & ~ & ~ \end{array}$

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Über das Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen, also die Anzahl der Lösungen einer Gleichung der Form $x^{2}+px+q=0$, entscheidet der Term unter der Wurzel der pq-Formel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\color{#669900}{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}}$.

Dieser wird auch als Diskriminante $D$ bezeichnet.

Ist $D>0$, so hat die quadratische Gleichung genau 2 Lösungen, nämlich:

  • $x_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{D}$ und
  • $x_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{D}$

Ist hingegen $D=0$, so besitzt die quadratische Gleichung genau eine Lösung:

$x=-\frac{p}{2}$.

Die dritte Möglichkeit ist, dass die Diskriminante $D$ einen negativen Wert annimmt, also ist $D<0$. Ist diesem Fall besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung. Denn unter der Wurzel würde ein negativer Wert stehen und im Reellen kann die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden.

Rechenbeispiel 1 zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in allgemeiner Form:

$2x^{ 2 }+8x+6 = 0$.

Beachte zur Lösung dieser Beispielaufgabe, dass du die Gleichung zunächst in die Normalform bringen musst, um die pq-Formel anwenden zu können.

$\begin{array}{cclll} 2x^{ 2 }+8x+6 & = & 0 & \vert & \div2 \\ x^{ 2 }+4x+3 & = & 0 & \end{array}$

Nun musst du nur noch die Werte für $p$ und $q$ ablesen und in die pq-Formel einsetzen, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu berechnen.

$x^{ 2 }+4x+3 = 0$ mit $p=4$, $q=3$

$\begin{array}{cclll} x_{1,2} &=& -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q} & \vert & \text{Werte für } ~p~ \text{und} ~q~ \text{einsetzen} \\ x_{1,2} &=& -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{4}{2} \right)^{2} -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{\left( 2 \right)^{2} -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{4 -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{1} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm 1& & \\ \end{array} $

Somit sind die Lösungen der quadratischen Gleichung:

  • $x_{1}=-2+1=-1$
  • $x_{2}=-2-1=-3$

Dass es bei dieser quadratischen Gleichung zwei Lösungen gibt, siehst du auch daran, dass die Diskriminante $D$ größer als $0$ ist, nämlich $1$.

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist somit:

$L=\{-1;-3\}$.

Beispiel 2

Eine quadratische Gleichung kannst du auch im Zusammenhang mit einer Textaufgabe erhalten: Wenn du die Quadrate einer natürlichen Zahl und deren Nachfolger addierst, erhältst du $61$. Wie lautet die Zahl?

Die gesuchte Zahl sei $x$ und damit der Nachfolger dieser Zahl $x+1$. Du erhältst also die Gleichung $x^2+(x+1)^2=61$.

  • Mit Hilfe der 1. binomischen Formel gelangst du zu der quadratischen Gleichung $x^2+x^2+2x+1=61$.
  • Du kannst noch zusammenfassen zu $2x^2+2x+1=61$.
  • Auf der rechten Seite muss die $0$ stehen. Subtrahiere hierfür $61$ zu $2x^2+2x-60=0$.
  • Diese Gleichung ist noch nicht in Normalform. Dividiere durch $2$. Du erhältst dann $x^2+x-30=0$.

Nun kannst du $p=1$ und $q=-30$ erkennen. Setze diese in die $pq$-Formel ein:

$\begin{array}{rclll} x_{1,2} &=& -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} -(-30)} \\\ &=& -\frac12 \pm \sqrt{\frac14+30} \\\ &=& -\frac12 \pm \sqrt{\frac{121}4} \\\ x_{1} &=& -\frac12+\frac{11}2 =\frac{10}2=5\\\ x_{2} &=& -\frac12-\frac{11}2 =-\frac{12}2=-6 \end{array} $

Du hast also zwei Lösungen $x_1=5$ sowie $x_2=-6$ gefunden. Da nach Voraussetzung eine natürliche Zahl gesucht ist, kannst du folgern, dass die gesuchte Zahl die $5$ ist.

Mach doch mal eine Probe: $5^2+6^2=25+36=61$ ✓

Beispiel 3

Achte bei dem folgenden Beispiel unbedingt auf die Vorzeichen der Koeffizienten: $x^2-6x+9=0$.

Hier ist $p=-6$ und $q=9$. Nun setzt du diese Größen in die $pq$-Formel ein:

$\begin{array}{rclll} x_{1,2} &=& -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-6}{2} \right)^{2} -9} \\\ &=& 3 \pm \sqrt{\left( 3 \right)^{2} -9} \\\ &=& 3 \pm \sqrt{0} \\\ x_{1} &=& 3+0 =3\\\ x_{2} &=& 3-0=3 \end{array} $

Hier siehst du, warum es für den Fall, dass die Diskriminante $D=0$ ist, nur eine Lösung gibt: Du erhältst so die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{3\}$.

Beispiel 4

Hier siehst du noch ein Beispiel, in welchem die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt: $\frac12x^2+4x+10=0$.

Multipliziere mit $2$ zu $x^2+8x+20=0$. Es ist also $p=8$ und $q=20$. Einsetzen in die $pq$-Formel führt zu

$\begin{array}{rclll} x_{1,2} &=& -\frac{8}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{8}{2} \right)^{2} -20} \\\ &=& -4 \pm \sqrt{4^2-20} \\\ &=& -4 \pm \sqrt{-4} \end{array} $

In diesem Beispiel ist $D=-4\lt 0$. Das bedeutet, dass die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt.

Ausblick: Mitternachtsformel ($abc$-Formel)

Du kannst quadratische Gleichungen in allgemeiner Form $ax^2+bx+c=0$ auch lösen, ohne zunächst durch $a$ zu dividieren. Hierfür verwendest du die Mitternachtsformel:

$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

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