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Mitternachtsformel (abc-Formel)

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel für allgemeine quadratische Gleichungen, sie wird auch abc-Formel genannt.

Wann wird die Mitternachtsformel angewendet?

Die Mitternachtsformel – auch abc-Formel genannt – wird zum Lösen quadratischer Gleichungen in der allgemeinen Form eingesetzt.

Alle quadratischen Gleichungen lassen sich in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ schreiben, wobei stets $a \neq 0$ gelten muss, da ansonsten das quadratische Glied $ax^{2}$ wegfällt und somit keine quadratische Gleichung mehr vorliegt. Die Buchstaben $a$, $b$ und $c$ werden Koeffizienten genannt, die Variable $x$ ist die Unbekannte der Gleichung. Der Term $ax^2$ ist das quadratische Glied, $bx$ ist das lineare Glied und $c$ das Absolutglied der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form.

Beispiele für quadratische Gleichungen

Mit Ausnahme von $a$ lassen sich für die Koeffizienten beliebige reelle Zahlen einsetzen. Beispiele für quadratische Gleichungen sind also:

  • $3x^2+2x-1=0$ mit $a=3$, $b=2$ und $c=-1$
  • $x^2-1 = 0$ mit $a=1$, $b=0$ und $c=-1$
  • $2x^2+x=0$ mit $a=2$, $b=1$ und $c=0$

Spezielle Formen quadratischer Gleichungen

gemischtquadratische Gleichung: $b\neq 0$

  • mit Absolutglied: $~ ax^2+bx+c=0$
  • ohne Absolutglied: $~ ax^2+bx=0$

reinquadratische Gleichung: $b=0$

  • mit Absolutglied: $~ ax^2+c=0$
  • ohne Absolutglied: $~ ax^2=0$

Wir können eine quadratische Gleichung als Beschreibung der Nullstelle(n) einer quadratischen Funktion interpretieren, für die ja $f(x)=0$ gilt. Quadratische Gleichungen können graphisch oder rechnerisch gelöst werden. Wir wollen nun eine wichtige Formel näher untersuchen, mit der quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form rechnerisch gelöst werden können.

Wie lautet die Mitternachtsformel?

Mit der Mitternachtsformel oder abc-Formel können quadratische Gleichungen gelöst werden. Das bedeutet, dass wir mit dieser Formel diejenigen $x_1$ und $x_2$ ermitteln, welche die Gleichung lösen. Die Mitternachtsformel kann im Gegensatz zur pq-Formel direkt auf die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung, also $ax^2 + bx + c = 0$ angewendet werden. Sie lautet:

$x_{1, 2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Video: Mitternachtsformel oder abc-Formel

Herleitung der Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel kann direkt aus der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c=0$ hergeleitet werden. Dazu wird diese Formel nach $x$ umgestellt. Dabei verwenden wir in einem Rechenschritt die quadratische Ergänzung (q. E.):

$\begin{align} ax^2+bx+c & = 0 &|& -c\\ ax^2 + bx &= -c &|& \cdot 4a\\ 4a^2x^2+ 4abx & = -4ac &|& +b^2 ~ \text{ q. E.}\\ (2ax)^2+2 \cdot 2axb + b^2 & = b^2 - 4ac &|& ~\text{bin. Formel}\\ (2ax+b)^2 & = b^2 - 4ac &|& \pm \sqrt{~}\\ 2ax + b & = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} &|&-b\\ 2ax & = -b \pm \sqrt{b^2-4ac} &|& : (2a)\\ x & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} &~& \end{align}$

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Der Term unter der Wurzel der Mitternachtsformel, also die Diskriminante $D=b^2-4ac$ entscheidet darüber, wie viele Lösungen die jeweilige quadratische Gleichung hat. Es gilt:

  • $b^2-4ac>0$: Gleichung besitzt zwei Lösungen.
  • $b^2-4ac=0$: Gleichung besitzt eine Lösung.
  • $b^2-4ac<0$: Gleichung besitzt keine Lösung.

Die Mitternachtsformel für spezielle Formen quadratischer Gleichungen

Enthält eine quadratische Gleichung kein lineares Glied oder Absolutglied, so vereinfacht sich die Mitternachtsformel wie folgt:

gemischtquadratische Gleichung: $b\neq 0$

  • mit Absolutglied ($c\neq 0$): $~ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

  • ohne Absolutglied ($c=0$): $~ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}}}{2a}$

reinquadratische Gleichung: $b=0$

  • mit Absolutglied ($c\neq 0$): $~ x_{1,2} = \dfrac{\pm \sqrt{-4ac}}{2a}$

  • ohne Absolutglied ($c=0$): $~ x=0$

Aufgaben und Übungen zur Mitternachtsformel

Anwendungsbeispiel 1

Wir wollen die abc-Formel auf die Gleichung $2x^2+2x-4=0$ anwenden. Die Koeffizienten lauten $a=2$, $b=2$ und $c=-4$ und können nun in die Formel eingesetzt werden.

$\begin{align} x_{1, 2} & =\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}\\ & = \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{4}\\ x_1 & = 1\\ x_2 & = -2 \end{align}$

Die quadratische Gleichung $2x^2+2x-4=0$ wird also durch $x_1=1$ und $x_2=-2$ gelöst.

Anwendungsbeispiel 2

Wir betrachten die quadratische Gleichung $x^2+2x+1=0$. Die Koeffizienten lauten $a=1$, $b=2$ und $c=1$. Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhalten wir die folgende Lösung:

$\begin{align} x_{1, 2} & =\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\\ & = \dfrac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}\\ x & = -1 \end{align}$

Da die Diskriminante gleich Null ist, besitzt die quadratische Gleichung $x^2+2x+1=0$ genau eine Lösung, nämlich $x=-1$.

Anwendungsbeispiel 3

Wir untersuchen die quadratische Gleichung $x^2+2x+2=0$. Die Koeffizienten lauten $a=1$, $b=2$ und $c=2$. Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhalten wir die folgende Rechnung:

$\begin{align} x_{1, 2} & =\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}\\ & = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} \end{align}$

Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die quadratische Gleichung $x^2+2x+2=0$ keine reelle Lösung.

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