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Kongruenzabbildungen durchführen

Parallelverschiebung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Zirkel, Geodreieck, Abbildung, Kongruenz

Was sind Kongruenzabbildungen?

Zwei Figuren, die kongruent sind, sind deckungsgleich. Mit Figur ist eine beliebige, geometrische Figur gemeint, zum Beispiel ein Dreieck oder Viereck. Doch was genau bedeutet nun deckungsgleich?

Stell dir vor, du zeichnest zwei Figuren auf ein Blatt Papier und schneidest diese dann aus. Dann versuchst du die beiden Figuren, ohne dass sie überlappen, aufeinanderzulegen. Dabei darfst du die Figuren drehen und wenden, wie du willst. Wenn du sie ganz genau aufeinanderlegen kannst, dann sind sie deckungsgleich.

Unter einer Abbildung kannst du dir Folgendes vorstellen: Die einzelnen Punkte einer Figur werden jeweils durch dieselbe Vorgehensweise übertragen. Die übertragenen Punkte heißen Bildpunkte. Diese Bildpunkte können nun miteinander verbunden werden.

Bei einer Kongruenzabbildung ist das Abbild der Figur deckungsgleich zur ursprünglichen Figur. Zu den kongruenten Abbildungen gehört zum Beispiel die Parallelverschiebung.

Parallelverschiebung

Bei der Parallelverschiebung wird jeder Punkt der Figur durch den Verschiebungspfeil verschoben.

Parallelverschiebung eines Dreiecks

Aus dem ursprünglichen Punkt $A$ wurde im Abbild der Bildpunkt $A'$. Alle Verschiebungspfeile zeigen in die gleiche Richtung und sind damit parallel zueinander. Außerdem sind sie alle gleich lang. Wenn du eine Parallelverschiebung durchführen möchtest, so kannst du das auf verschiedene Arten tun:

Parallelverschiebung mit Geodreieck

Sieh dir zunächst an, wie die Parallelverschiebung mit Geodreieck funktioniert. Den Verschiebungspfeil (blau) kannst du dabei in einen waagerechten (rot) und einen senkrechten (grün) Anteil aufteilen:

Verschiebungspfeil aufteilen

So kannst du die Punkte erst waagerecht und anschließend senkrecht um eine bestimmte Länge verschieben.

Parallelverschiebung mit Zirkel und Lineal

Auch eine Parallelverschiebung mithilfe von Zirkel und Lineal ist möglich. Dabei gehst du wie folgt vor:

  1. Verlängere den Verschiebungspfeil zur Geraden $g$.
  2. Nun fällst du das Lot vom Punkt $A$ auf die Gerade $g$.
  3. Anschließend stichst du mit dem Zirkel in $A$ ein und ziehst einen Kreis mit beliebigem Radius. Der Kreis schneidet das Lot in zwei Punkten, die du $S_1$ und $S_2$ nennst.
  4. Du stichst mit dem Zirkel in $S_1$ ein und ziehst mit einem großen Radius eine Kreislinie. Mit demselben Radius machst du das nochmal mit $S_2$. Wähle den Radius so, dass sich die beiden Kreislinien schneiden.
  5. Den Schnittpunkt der Kreislinien verbindest du mit dem Punkt $A$ zur Geraden $h$.
  6. Nun stellst du im Zirkel als Radius die Länge des Verschiebungspfeils ein.
  7. Stich in $A$ ein und zeichne mit diesem Radius eine Kreislinie.
  8. Der Schnittpunkt der Kreislinie mit der Geraden $h$ ist der Bildpunkt $A'$.

Achsenspiegelung

Bei der Achsenspiegelung hast du keinen Verschiebungspfeil, sondern eine Spiegelachse, also eine Gerade, über die gespiegelt werden soll. Die Durchführung kann hier auch auf verschiedene Art geschehen:

Achsenspiegelung von Figuren - Durchführung

Achsenspiegelung mit Geodreieck

Bei dieser Methode legst du die Mittellinie des Geodreiecks auf die Spiegelachse und misst den Abstand der Achse zum Punkt $A$. Den Bildpunkt $A'$ zeichnest du auf der gegenüberliegenden Seite der Achse mit demselben Abstand ein.

Achsenspiegelung eines Punktes

Achsenspiegelung mit Zirkel und Lineal

Bei der Durchführung mit Zirkel und Lineal gehst du bei allen Punkten wie folgt vor:

  1. Stich in Punkt $A$ ein und zieh eine Kreislinie, die die Spiegelachse in zwei Punkten schneidet.
  2. Die Schnittpunkte bezeichnest du mit $S_1$ und $S_2$.
  3. Stich in $S_1$ ein und nimm den Radius bis zum Punkt $A$. Ziehe dann eine Kreislinie gegenüber von $A$. Genauso machst du es mit dem Schnittpunkt $S_2$.
  4. Dort, wo sich die beiden Kreislinien schneiden, liegt der Bildpunkt $A'$.

Punktspiegelung

Als Letztes sieh dir noch die Punktspiegelung an. Diese ist auch eine Kongruenzabbildung. Dabei werden alle Punkte statt über eine Spiegelgerade über einen besonderen Punkt $Z$ gespiegelt. Dieser Punkt heißt Symmetriezentrum. Du kannst diese Abbildung ebenfalls mithilfe des Geodreiecks durchführen.

Punktspiegelung mit Geodreieck

Verbinde dafür zunächst den Punkt $A$ mit dem Symmetriezentrum $Z$ zu einer Halbgeraden $h$. Zeichne dabei großzügig über $Z$ hinaus. Nun misst du den Abstand von $A$ zu $Z$. Der Bildpunkt $A'$ liegt dann genau gegenüber von $A$ auf der Halbgeraden $h$, und zwar mit dem gleichen Abstand wie $A$ zum Symmetriezentrum $Z$:

Punktspiegelung eines Dreiecks

Punktspiegelung mit Zirkel und Lineal

Bei der Durchführung mithilfe von Zirkel und Lineal gehst du so vor:

  1. Verbinde $A$ und $Z$ zu einer Halbgeraden $h$, welche über $Z$ hinausgeht.
  2. Stich in $Z$ ein und zeichne eine Kreislinie mit dem Radius $\overline{AZ}$ gegenüber von $A$ ein, sodass diese $h$ schneidet.
  3. Dieser Schnittpunkt ist der Bildpunkt $A'$.