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Punktspiegelung

Du kennst sicher bereits Achsensymmetrie: Es gibt Figuren, die sehen irgendwie symmetrisch aus, du kannst aber keine Symmetrieachse finden. Diese Figuren sind punktsymmetrisch.

Was ist eine Punktspiegelung?

Eine Punktspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Die Lage einer Figur kannst du mit einer Punktspiegelung verändern, aber die Form und auch die Größe der Figur bleiben gleich.

Du benötigst für eine Punktspiegelung ein Spiegelzentrum, auch Symmetriezentrum genannt. Dies ist ein Punkt, um welchen du die Figur um $180$° drehst, um die Bildfigur zu erhalten. Wenn du die Bildfigur um den gleichen Punkt wieder um $180$° drehst, kommst du zurück zur Ausgangsfigur.

Punktspiegelung eines Punktes

Hier siehst du, wie eine Punktspiegelung eines Punktes $P$ durchgeführt wird.

3028_PS_Punkt.jpg

  • Der Punkt $P$ soll an dem Spiegelzentrum $Z$ gespiegelt werden.
  • Zunächst zeichnest du eine Halbgerade von $P$ durch $Z$.
  • Nun misst du den Abstand $d$ von Punkt $P$ zu dem Spiegelzentrum $Z$.
  • Diesen Abstand $d$ trägst du auf der gegenüberliegenden Seite des Spiegelzentrums $Z$ auf der Halbgeraden ab.
  • Dies ist der Bildpunkt $P'$.

Punktspiegelung einer Strecke

Du spiegelst eine Strecke $\overline{PQ}$, indem du jeden der beiden Punkte $P$ und $Q$ an dem Spiegelzentrum spiegelst. So gelangst du zu den Bildpunkten $P'$ und $Q'$. Die Verbindung dieser Bildpunkte ist die Bildstrecke $\overline{P'Q'}$.

3028_PS_Strecke.jpg

  • Die Bildstrecke ist ebenso lang wie die Originalstrecke. Beide Strecken sind kongruent (oder deckungsgleich). Das bedeutet: Größe und Form ändern sich nicht, nur die Lage kann sich ändern.
  • Die beiden Strecken, Originalstrecke und Bildstrecke, sind parallel zueinander.

Punktspiegelung von Vielecken

Wie du Vielecke spiegelst, kannst du hier am Beispiel eines Dreiecks sehen:

3028_PS_Dreieck.jpg

  • Du spiegelst jeden der Eckpunkte des Originaldreiecks, $P$, $Q$ und $R$.
  • Nun verbindest du die Bildpunkte, $P'$, $Q'$ und $R'$, zu dem Bilddreieck.

  • Da die Seiten des Original- und des Bilddreiecks parallel und gleichlang sind, erhältst du zwei kongruente Dreiecke.

  • Auch die Winkel bleiben bei der Punktspiegelung unverändert.

Zusammenfassung der Eigenschaften einer Punktspiegelung

  • Strecken werden immer auf eine gleichlange, parallele Strecken abgebildet.
  • Winkel werden auf gleichgroße Winkel abgebildet.
  • Geometrische Figuren werden auf kongruente geometrische Figuren (mit gleichen Seitenlängen und Winkelgrößen) abgebildet. Alle sich entsprechenden Seiten der Original- und Bildfigur sind parallel zueinander.

Diese Eigenschaften kennst du bereits von einer Achsenspiegelung. Bei der Punktspiegelung bleibt aber im Gegensatz zu der Achsenspiegelung die Orientierung von Punkten beibehalten; die Eckpunkte $ABC$ und $A'B'C'$ beispielsweise sind jeweils gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.

Was ist Punktsymmetrie?

Jede Figur, die bei einer Punkspiegelung in sich selbst übergeht, heißt punktsymmetrisch. Man sagt dazu auch drehsymmetrisch mit dem Drehwinkel $180^\circ$.

Kennst du punktsymmetrische Figuren?

  • Der Buchstabe X ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum befindet sich genau in der Mitte.

3082_PS_X.jpg

  • Auch die folgenden Buchstaben sind punktsymmetrisch: Das I, das Z, das N.
  • Ein gleichseitiges Dreieck ist ebenfalls punktsymmetrisch.

3082_PS_gleichseitiges_Dreieck.jpg

Übrigens sind Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm sind ebenfalls symmetrisch. Doch sind all diese Figuren sind punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? Vorsicht, das ist gar keine einfache Frage! Es gibt nämlich Formen, die sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch sind, wie zum Beispiel ein Quadrat, ein Rechteck oder eine Raute.

Wir basteln eine punktsymmetrische Figur

Anschaulich kannst du dir das auch so vorstellen:

  • Du faltest ein Blatt Papier in der Mitte.
  • Dann faltest du das Blatt noch einmal, sodass die zweite Faltkante senkrecht zu der ersten verläuft.
  • Schneidest du nun eine Figur aus und faltest das Papier wieder auf, erhältst du eine punktsymmetrische Figur.
  • Die beiden Faltkanten schneiden sich in einem Punkt. Dies ist das Symmetriezentrum.

3082_PS_Falten.jpg

Du kannst hieran auch erkennen, dass du eine Punktspiegelung auch durchführen kannst, indem du zweimal an senkrechten Achsen spiegelst, die durch das Spiegelzentrum verlaufen.

Probier es doch selbst einmal und bastel dir punktsymmetrische Figuren.

Wie kannst du ein Symmetriezentrum finden?

Schauen wir uns einmal die Spielkarte der Herz-Dame an. Diese Karte ist punktsymmetrisch.

3082_PS_Spielkarte.jpg

Um das Symmetriezentrum zu finden, gehst du so vor:

  • Du verbindest zwei Punkte (in diesem Beispiel das D oben links und unten rechts) mit einer Geraden.
  • Nun verbindest du zwei weitere Punkte (die beiden Herzen unten links und oben rechts) mit einer Geraden.
  • Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist das Symmetriezentrum.

Dies ist auch ein Beispiel für eine Figur, die zwar punktsymmetrisch ist, allerdings nicht achsensymmetrisch.

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