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Parameter bei der Sinusfunktion

Periodische Vorgänge können mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen dargestellt werden. Dabei werden verschiedene Parameter betrachtet, mittels derer der Vorgang modelliert werden kann.

Die Sinusfunktion

Die Sinusfunktion $\sin(x)$ ist eine trigonometrische Funktion. Sie ist eine periodische Funktion. Die Periode $P$ hat im Bogenmaß die Länge $P=2\pi$. Der Wertebereich ist $\mathbb{W}=[-1;1]$.

Im Folgenden wirst du lernen, welche Auswirkung verschiedene Parameter auf den Funktionsgraphen der Sinusfunktion haben.

Hierfür untersuchen wir nun die Funktion $f$ mit

$f(x)=a\cdot \sin(b(x-d))+e$.

Dabei kommen die Parameter $a$, $b$, $d$ und $e$ aus dem Bereich der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

Welche Wirkung hat der Parameter $a$?

Lass uns einmal mit dem Parameter $a$ beginnen. Hierfür betrachten wir die Parameter $b=1$, $d=e=0$. Wir untersuchen also die Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot \sin(x)$.

Du siehst hier die Funktionsgraphen zu verschiedenen Werten für $a$.

1009_Sin_a.jpg

Der blaue Funktionsgraph ist der zu $a=1$, der rote der zu $a=2$ und der grüne der zu $a=0,5$.

  • Du siehst, dass sich die Periode $P=2\pi$ nicht ändert.
  • Der Wertebereich ändert sich jedoch. Dabei wird sowohl der maximale als auch der minimale Funktionswert mit $a$ multipliziert.

Graphisch erhältst du also eine Streckung für $|a|\gt1$ beziehungsweise eine Stauchung für $|a|\lt 1$ in $y$-Richtung.

Übrigens: Wenn $a$ negativ ist, wird der Funktionsgraph an der $x$-Achse gespiegelt.

Die Hälfte der Ausdehnung des Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse wird als Schwingungsweite oder auch Amplitude bezeichnet. Die Amplitude ist also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Funktionswert.

Die Amplitude der Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot \sin(x)$ beträgt somit $|a|$.

Welche Wirkung hat der Parameter $b$?

Nun schauen wir uns die Funktion $f$ mit $f(x)=\sin(bx)$ an. Dieses Mal sind $a=1$ und $d=e=0$. Im folgenden Bild siehst du die Funktionsgraphen für verschiedene Parameter $b$.

1009_Sin_b.jpg

Der blaue Funktionsgraph gehört zu $b=1$, der rote zu $b=2$ und der grüne zu $b=0,5$. Was ändert sich hier?

  • Die Periode ist bei allen drei Funktionsgraphen verschieden: Für $|b|\gt 1$ wird die Periode $P$ kürzer und für $|b|\lt 1$ länger. Allgemein gilt für die Periode $P=\frac{2\pi}{|b|}$.
  • Graphisch erhalten wir also eine Streckung für $|b|\lt 1$ beziehungsweise Stauchung für $|b|\gt 1$ entlang der $x$-Achse. In diesem Zusammenhang spricht man bei der Periode auch von der Frequenz.
  • Der Wertebereich ändert sich allerdings nicht.

Übrigens: Für negatives $b$ wird der Funktionsgraph an der $y$-Achse gespiegelt.

Die beiden Parameter $d$ und $e$ führen zu Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen. Weder der Wertebereich noch die Periode verändern sich bei solchen Verschiebungen.

Welche Wirkung hat der Parameter $d$?

Für $a=b=1$ und $e=0$ untersuchen wir jetzt $f$ mit $f(x)=\sin(x-d)$. Bei positivem Parameter $d$ erhältst du eine Verschiebung des Funktionsgraphen um $d$ Einheiten in positive $x$-Achsen-Richtung. Ein negativer Parameter führt zu einer Verschiebung in negative $x$-Achsen-Richtung.

1009_Sin_d.jpg

Der hier abgebildete blaue Funktionsgraph gehört zu $\sin(x)$ und der rote zu $\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$.

Übrigens: Wenn du den Funktionsgraphen zu $\sin(x)$ um $2\pi$ verschiebst, deckt der resultierende Funktionsgraph den zu $\sin(x)$ komplett ab. Mathematisch wird das über die Beziehung $\sin(x)=\sin(x+2\pi)$ ausgedrückt. Dies ist gerade die $2\pi$-Periodizität.

Welche Wirkung hat der Parameter $e$?

Betrachte nun zu $a=b=1$ und $d=0$ die Funktion $f$ mit $f(x)=\sin(x)+e$. Veränderst du hier den Parameter $e$, so erhältst du Funktionsgraphen, welche entlang der $y$-Achse verschoben werden. Dabei führt $e\gt 0$ zu einer Verschiebung in positive $y$-Achsen-Richtung und $e\lt 0$ in negative $y$-Achsen-Richtung.

1009_Sin_c.jpg

Auch hier gehört der blaue Funktionsgraph zu $\sin(x)$, der rote zu $\sin(x)+1$ und der grüne zu $\sin(x)-0,5$.

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