Brüche vergleichen

Brüche vergleichen – Mathematik

In der Mathematik vergleichen wir oft verschiedene Zahlen. Wie können wir nun auch Brüche vergleichen? Um das zu verstehen, überlegen wir zuerst, was es bedeutet, Zahlen zu vergleichen.

Beim Vergleich von Zahlen geht es darum, herauszufinden, welche der beiden Zahlen größer ist und welche kleiner. Der Vergleich kann auch ergeben, dass die beiden Zahlen gleich groß sind. So wie wir Zahlen vergleichen können, wollen wir auch bei zwei verschiedenen Brüchen entscheiden können, welcher der beiden größer oder kleiner ist als der andere. In diesem Text und Video wird verständlich erklärt, was du beim Vergleichen von Brüchen beachten musst.

Brüche vergleichen – gleiche Nenner

Am einfachsten können wir Brüche vergleichen, die denselben Nenner haben – also gleichnamige Brüche. Um zu verstehen, wie wir solche Brüche vergleichen, betrachten wir ein Beispiel:

Zwei gleich große Felder sind jeweils in $12$ gleiche Abschnitte unterteilt. Von dem einen Feld sind bereits $\frac{7}{12}$ abgeerntet, von dem anderen Feld $\frac{6}{12}$. Jeder der Brüche beschreibt einen Anteil des gesamten Feldes.

Der Nenner gibt die Gesamtzahl der Teile des Feldes an. Man kann auch sagen: Der Nenner benennt die Art der Teile. Der Zähler gibt die Anzahl dieser Teile an – er zählt die Teile.
Da die Teile alle gleich groß sind, können wir die Anteile vergleichen: $7$ geerntete Teile sind mehr als $6$ – der Anteil $\frac{7}{12}$ eines gesamten Feldes ist also größer als der Anteil $\frac{6}{12}$. Wir schreiben das als Vergleich der Brüche so auf:

$\frac{7}{12} > \frac{6}{12}$

Zum Vergleich dieser gleichnamigen Brüche mussten wir nur die beiden Zähler vergleichen. Der größere Zähler ergibt in diesem Fall den größeren Bruch. Das halten wir als Regel fest:

• Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler der größere Bruch.

Brüche vergleichen – gleiche Zähler

Statt gleichnamiger Brüche können wir auch solche Brüche direkt vergleichen, bei denen die beiden Zähler gleich sind. Um das zu veranschaulichen, teilen wir die beiden gleich großen Felder verschieden auf, nämlich ein Feld in $9$ gleich große Teile, das andere in $12$ gleich große Teile. Von beiden Feldern sind jeweils $5$ Teile abgeerntet. Das sind bei dem ersten Feld $\frac{5}{9}$, bei dem zweiten Feld $\frac{5}{12}$.

Die Anzahl der Teile ist bei beiden Feld gleich, aber welcher Anteil an dem Feld ist nun größer? Bei dem Feld, das wir in $9$ Teile aufgeteilt haben, ist jeder einzelne Teil größer als bei dem Feld mit $12$ Teilen. Daher ist auch das Fünffache eines solchen größeren Teils größer als das Fünffache des kleineren Teils. Der Anteil $\frac{5}{9}$ des ersten Feldes ist demnach größer als der Anteil $\frac{5}{12}$ des zweiten Feldes. Als Vergleich von Brüchen schreiben wir das so auf:

$\frac{5}{9} > \frac{5}{12}$

Beim Vergleich mussten wir diesmal nur die Nenner vergleichen. Je größer der Nenner ist, desto kleiner ist der einzelne Teil bei der Aufteilung des Feldes und desto kleiner ist der Anteil am gesamten Feld. Wir halten als Regel fest:

• Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch.

Brüche vergleichen – verschiedene Zähler und Nenner

Wie können wir nun Brüche mit verschiedenen Zählern und Nennern vergleichen? Wir betrachten wieder zwei gleich große Felder, die diesmal verschieden aufgeteilt sind – ein Feld in sieben gleich große Teile, das andere in drei Teile. Wir betrachten von dem einen Feld den Anteil $\frac{3}{7}$, von dem anderen den Anteil $\frac{2}{3}$. Wir können zwar die beiden einzelnen Teile der Felder direkt miteinander vergleichen – also $\frac{1}{7}$ und $\frac{1}{3}$ –, aber nicht die aus verschiedenen Anzahlen dieser Teile gebildeten Anteile $\frac{3}{7}$ und $\frac{2}{3}$.

Durch Erweitern kann man die Brüche gleichnamig machen und dann vergleichen. Wir erweitern jeden der beiden Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen und müssen dann nur noch die Zähler miteinander vergleichen:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} < \frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3}$

Nun können wir auch schreiben:

$\frac{3}{7} < \frac{2}{3}$

In den Feldern können wir die Erweiterung der Brüche darstellen, indem wir die Aufteilungen verfeinern von $7$ beziehungsweise $3$ Teilen zu jeweils $21$ Teilen. Nun erkennen wir auch direkt an den Feldern, dass der Anteil $\frac{3}{7}$ kleiner ist als der Anteil $\frac{2}{3}$.

Brüche vergleichen und ordnen

Wenn wir jeweils zwei Brüche miteinander vergleichen können, dann können wir auch drei verschiedene Brüche der Größe nach ordnen. Wir betrachten als Beispiel die Brüche $\frac{7}{3}$ sowie $\frac{17}{24}$ und $\frac{40}{48}$. Die beiden ersten Brüche können wir nicht direkt vergleichen, da sowohl Zähler als auch Nenner verschieden sind. Indem wir aber den Bruch $\frac{7}{3}$ mit $8$ erweitern, erhalten wir ebenfalls den Nenner $24$:

$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{56}{24}$

Nun können wir die beiden ersten Brüche miteinander vergleichen:

$\frac{7}{3} > \frac{17}{24}$

Denn $\frac{7}{3} = \frac{56}{24}$ und $\frac{56}{24} > \frac{17}{24}$.

Den Bruch $\frac{40}{48}$ können wir mit $2$ kürzen und erhalten wieder einen Bruch mit dem Nenner $24$:

$\frac{40}{48} = \frac{\cancel{40}^{20}}{\cancel{48}^{24}} = \frac{20}{24}$

Nun können wir den gekürzten Bruch mit den beiden anderen Brüchen vergleichen. Da alle drei Brüche denselben Nenner haben, genügt es, ihre Zähler zu vergleichen:

$\frac{56}{24} > \frac{20}{24} > \frac{17}{24}$

Also haben wir auch:

$\frac{7}{3} > \frac{40}{48} > \frac{17}{24}$

Ausblick – das lernst du nach Brüche vergleichen

Um noch besser im Vergleichen von Brüchen zu werden kannst du dein Wissen mit den Themen Erweitern und Kürzen von Brüchen und Dezimalbrüche verteifen.

Willst du nun selbst üben, Brüche zu vergleichen? Dann schau dir direkt unseren Übungstext zum Vergleichen von Brüchen an. Zusätzlich findest du hier auf der Seite interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt zum Thema Brüche vergleichen.