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Die Autor*innen
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André Otto
Volumenarbeit
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse

Grundlagen zum Thema Volumenarbeit

Inhalt

Volumenarbeit Physik

Beim Versuch, eine Luftpumpe zusammenzudrücken, während das Ventil zugehalten wird, scheitert jede Schülerin oder jeder Schüler nach einiger Zeit. Doch warum ist das so? Warum kann die Luftpumpe dann nicht mehr komplett zusammengedrückt werden? Das hat etwas mit der Volumenarbeit zu tun. Im folgenden Text wird die Volumenarbeit einfach erklärt.


Volumenarbeit Thermodynamik

In der Thermodynamik betrachtet man die Zustände makroskopischer Systeme und den Übergang zwischen verschiedenen Zuständen. Die verschiedenen Zustände werden durch Zustandsgrößen charakterisiert. Zustandsgrößen sind Druck, Volumen, Temperatur und Energie. Um den Unterschied zwischen zwei Zuständen zu charakterisieren, werden Prozessgrößen verwendet. Zu den Prozessgrößen gehören die Wärme $Q$ und die Arbeit $W$. In diesem Text legen wir den Fokus auf eine bestimmte Form der Arbeit – die Volumenarbeit. Dazu stellen wir uns zunächst die Frage: Wann wird Volumenarbeit verrichtet?

Volumenarbeit ist die Arbeit, die

  • wir an einem Gas verrichten müssen, um es von einem Volumen $V_1$ auf ein Volumen $V_2$ zu verdichten oder
  • die das Gas verrichtet, wenn es sich von einem Volumen $V_2$ auf ein Volumen $V_1$ ausdehnt.

Da die Volumenarbeit eine Form der Arbeit ist, besitzt sie das Formelzeichen $W$. Die Volumenarbeit wird in der Einheit Joule, kurz $\pu{J}$, angegeben. Wie die Volumenarbeit berechnet wird, schauen wir uns im nächsten Abschnitt genauer an.


Volumenarbeit Herleitung

Um die Formel für die Volumenarbeit herzuleiten, benötigen wir die allgemeine Gleichung für die Arbeit:

$(1) \quad W = \int\limits_{s_1}^{s_2} F(s) \,\text{d}s $

Die Arbeit $W$ ist das bestimmte Integral der Kraft $F(s)$ entlang eines Wegs mit dem Anfangspunkt $s_1$ und dem Endpunkt $s_2$. $F$ steht hierbei für die Kraft in Abhängigkeit vom Weg $s$. Diese Gleichung bezeichnen wir als Gleichung $(1)$. Zudem benötigen wir die allgemeine Gasgleichung. Diese lautet:

$(2) \quad p \cdot V = n \cdot R \cdot T$

Diese bezeichnen wir als Gleichung $(2)$. Der Druck wird durch $p$ angegeben, $V$ steht für das Volumen, $n$ ist die Stoffmenge in Mol, $R$ die universelle Gaskonstante und $T$ die Temperatur. Der Druck ist gegeben durch die Gleichung $(3)$:

$(3) \quad p = \frac{F}{A}$

Dabei steht $F$ für die Kraft und $A$ für die Fläche, auf die die Kraft wirkt. Setzen wir die Gleichung $(3)$ in die Gleichung $(2)$ ein, so erhalten wir:

$ \frac{F}{A} \cdot V = n \cdot R \cdot T$

$ \Leftrightarrow F = n \cdot R \cdot T \cdot A \cdot \frac{1}{V}$

Diese nach $F$ umgestellte Gleichung bezeichnen wir als Gleichung $(4)$. Da lediglich eine Volumenarbeit verrichtet werden soll, fordern wir, dass $n \cdot R \cdot T = \text{konstant}$. Das ist durch eine bestimmte Stoffmenge und gleichbleibende Temperatur gegeben. Nun setzen wir Gleichung $(4)$ in Gleichung $(1)$ ein. Wir erhalten:

$W = \int\limits_{s_1}^{s_2} n \cdot R \cdot T \cdot A \cdot \frac{1}{V}\,\text{d}s$

Die Änderung $A \cdot \text{d}s$, die wir in der Formel finden, entspricht der Volumenänderung $\text{d}V$ und kann in der Formel durch diese ersetzt werden. Zudem wird das Integral in der Thermodynamik mit einem negativen Vorzeichen versehen, da die Arbeit gegen den Druck des Gases verrichtet werden muss. Da $n \cdot R \cdot T = \text{konstant}$ gilt, kann dieser Teil außerhalb des Integrals geschrieben werden. Wir erhalten:

$W = - n \cdot R \cdot T \int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \text{d}V$

Da nun $\text{d}V$ im Integral steht, muss von $V_1$ nach $V_2$ integriert werden. Das Integral der Funktion $\frac{1}{V}$ ergibt den natürlichen Logarithmus $\ln{V}$.

$W = - n \cdot R \cdot T \cdot \left[\ln{V}\right]_{V_1}^{V_2}$

$\Leftrightarrow W= - n \cdot R \cdot T \cdot \ln{V_2} - ( - n \cdot R \cdot T \cdot \ln{V_1})$

$\Leftrightarrow W= n \cdot R \cdot T (\ln{V_1} - \ln{V_2})$

Durch Anwendung eines Logarithmusgesetzes erhalten wir die Formel für die Volumenarbeit:

$W = n \cdot R \cdot T \, \left( \ln{\frac{V_1}{V_2}} \right)$

Da wir die Temperatur als konstant angenommen haben, ist der Prozess der Volumenarbeit isotherm. Als isotherm werden in der Thermodynamik Zustandsänderungen bezeichnet, bei denen sich die Temperatur nicht ändert.

Ist $W>0$ bedeutet das, dass $V_1$ größer als $V_2$ ist. Es wird Arbeit am System verrichtet. Das Volumen wird kleiner. Diese Art der Arbeit wird auch Kompressionsarbeit genannt. Ist $W<0$, so bedeutet das, dass $V_1$ kleiner als $V_2$ ist. Hierbei sagt man, dass das System Arbeit verrichtet. Im ersten Fall hat die Arbeit ein positives Vorzeichen, im zweiten Fall hat sie ein negatives Vorzeichen.

Ist $V_1$ erheblich größer als $V_2$, so ist die verrichtete Volumenarbeit sehr groß. Im Fall unserer Luftpumpe, die zugehalten wird, muss also sehr viel Arbeit verrichtet werden, damit sich das Volumen ändert und die Luftpumpe zugedrückt werden kann. Die Kraft für diese Arbeit kann kaum ein Mensch aufbringen.

Volumenarbeit Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen die wichtigsten Informationen aus dem Video und dem Text noch einmal zusammen.

  • Volumenarbeit wird an einem Gas unter Veränderung des Volumens geleistet.
  • Die Volumenarbeit ist eine Prozessgröße.
  • Da die Temperatur konstant ist, ist der Prozess der Volumenarbeit isotherm.
  • Die Formel für die Volumenarbeit lautet: $W = n \cdot R \cdot T \, \left(\ln{\frac{V_1}{V_2}}\right)$

Transkript Volumenarbeit

Hallo und ganz herzlich Willkommen. In diesem Video geht es um die Volumenarbeit. Du kennst die Gasgleichung und deren Herleitung. Nachher kannst du die Formel für die Volumenarbeit anwenden und herleiten. Der Film besteht aus fünf Abschnitten: Bin ich ein Schwächling? Arbeit als Prozessgröße. Volumenarbeit. Plus oder minus? Ich bin ganz normal! 1. Bin ich ein Schwächling? Das hier bin ich oder so ungefähr. Die Luftpumpe kann ich ganz gut bedienen. Vor allen Dingen, wenn sie vorne offen ist. Viel mehr Probleme habe ich schon, wenn ich den Kolben in diese Spritze hineindrücken soll. Sie ist nämlich vorne zu und damit ein geschlossenes System. Also, viel scheint mit mir ja nicht los zu sein. Und nun ergibt sich die leidige Frage: Bin ich ein Schwächling? 2. Arbeit als Prozessgröße. In der Thermodynamik betrachtet man den Übergang zwischen verschiedenen Zuständen. Schauen wir uns einmal den Übergang vom Zustand 1 zum Zustand 2 an. Wie man zum Zustand 2 gelangt, ist unerheblich. Die einzelnen Zustände werden charakterisiert durch Zustandsgrößen. Zustandsgrößen sind Druck, Volumen, Temperatur und Energie. Um den Unterschied von Zustand 2 bezüglich Zustand 1 zu charakterisieren, bedient man sich sogenannter "Prozessgrößen". Prozessgrößen sind die Wärme Q und die Arbeit W. In diesem Video soll uns eine Form der Arbeit besonders interessieren. Erinnert euch an euren Anfangsunterricht in Physik. Habt ihr es erkannt? Richtig, es handelt sich um die Verschiebearbeit. Wenn wir die Kraft gegen den Weg auftragen, so sieht man sehr gut, dass die Arbeit gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks ist. Also W = F * S. Und hierbei handelt es sich um? Richtig, die Federspannarbeit. Die Arbeit ist hier gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks, also W = ½F * S. Das sind Spezialfälle. Aber wie sieht es im allgemeinen Fall aus, wenn die Kraft nicht so schön gleich bleibt oder sich so schön gleichmäßig verändert? Bei der Verschiebearbeit ist die Kraft nämlich konstant. Und bei der Federspannarbeit sind Kraft und Weg proportional. Folglich müssen wir den Fall zulassen, dass die Kraft eine Funktion des Weges ist. Nehmen wir an, wir haben die Kraft als Funktion des Weges. Die graphische Darstellung sähe so aus. Wir starten bei S1 und kommen bei S2 an. Und es ist offensichtlich, die Arbeit W ist das bestimmte Integral von S1 bis S2. W ist somit das bestimmte Integral von S1 bis S2,F von (s)ds (W = S1S2Fsds). Achtung, Groß F heißt hier nicht Stammfunktion, sondern Kraft, nicht durcheinanderbringen. Ich denke einmal, auf diese Erkenntnis können wir stolz sein. 3. Volumenarbeit. Volumenarbeit wird in einem geschlossenen System unter Veränderung des Volumens geleistet. Wir formulieren noch einmal die allgemeine Gleichung für die Arbeit, Gleichung (1): W = S1S2Fsds. Wir untersuchen Gase, Gleichung (2): p * V = n * R * T. Das ist die allgemeine Gasgleichung. Wir erinnern uns: Druck ist gleich Kraft durch Fläche, p = F/A. Gleichung (3) wird in Gleichung 2() eingesetzt. Wir multiplizieren mit A und dividieren durch V. Wir erhalten Gleichung (4): F = n * R * T * A * 1/V. Wir fordern n * R * T konstant. Das ist leicht zu realisieren. R ist es sowieso, n eine bestimmte Stoffmenge und T wäre gleichbleibende Temperatur. Den Ausdruck von F aus (4) setzen wir nun in (1) ein. So weit, so gut. Wie nun weiter? Betrachten wir einen Kolben, der durch die Volumenarbeit eine Wegveränderung von ds differential erfährt. Der Kolben hat eine Fläche von A. Wir schreiben A * ds. Diesen Ausdruck finden wir auf der linken Seite unter dem Integral. Das ist aber auch gerade die Volumenänderung dv. Ganz wichtig, in der Thermodynamik gibt es triftige Gründe, das Integral rechts mit negativen Vorzeichen zu versehen. Wir erhalten somit folgende Gleichung: n * R * T können wir, da konstant, vor das Integral ziehen. Integrieren müssen wir von V1 bis V2. Das Integral dV/V ergibt den natürlichen Logarithmus lNV. Wir werten aus. Anschließend wird der konstante Term ausgeklammert. Durch Anwendung eines Logarithmen-Gesetzes erhalten wir die Volumenarbeit W ist gleich n * R * T * ln V1/V2. Somit haben wir eine schöne Formel für die Volumenarbeit entwickelt. Man kann die Volumenarbeit auch so formulieren: W ist gleich minus Integral von V1 bis V2 p von V dV (W = -V1V2pvdV). Wenn wir P über V abtragen, ist die Volumenarbeit die Fläche unterhalb der Kurve. Nun kann sich das Volumen von V1 zu V2 verändern. Nach der Formel für die Volumenarbeit ist W<0. Es ist auch möglich, dass ein größeres Volumen V1 sich zu einem kleineren Volumen V2 verändert. Die Arbeit in diesem Fall W>0. 4. Plus oder minus: Ehe wir es ganz vergessen, noch einmal zur Erinnerung: T ist konstant. Also, der Prozess ist isotherm. W>0 bedeutet V1>V2. Das bedeutet, der Kolben verrichtet Arbeit am System. Der andere Fall: Die Volumenarbeit ist kleiner als null oder V1

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Firhana0904,

    Videos zu diesen Zustandsänderungen, findest du hier:

    https://www.sofatutor.com/physik/waermelehre/bewegung-und-waerme/thermodynamische-prozesse

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Karsten S., vor mehr als 2 Jahren
  2. Könntest du auch ein Video zur isobaren und isothermen Expansion machen oder gibt es da sogar schon eins?

    Von Firhana0904, vor mehr als 2 Jahren
  3. Hallo, die Stammfunktion von 1/x ist lnx. Oder: lnx abgeleitet ergibt 1/x.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 4 Jahren
  4. Hallo André, wahrscheinlich eine dumme Frage, aber: Wie kommst du von dem Integral von dV/V auf den lnV ? Vielen Dank im voraus,
    Marina

    Von M Dohlen, vor mehr als 4 Jahren
  5. Lieber Alex,

    vielleicht nicht das Leben, vielleicht nur das Studium. Ich wünsche Dir weiterhin viel Erfolg und hoffentlich Spaß beim Studium.

    Ty spravischsja !

    Alles Gute

    André

    Von André Otto, vor etwa 6 Jahren
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