Zeitdilatation

Spezielle Relativitätstheorie. Heute die Zeitdilatation. Wir lernen heute, was Zeitdilatation ist, was man unter einer Lichtuhr versteht und wie man am Beispiel der Lichtuhr die Formel für die Zeitdilatation herleiten kann. Von Zeitdilatation spricht man, wenn die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System von ihm  verlangsamt wahrgenommen wird. Je schneller die Relativbewegung zum Beobachter ist, umso größer ist die Zeitdilatation. Der Begriff Zeitdilatation kommt übrigens aus dem lateinischen und bedeutet ungefähr so viel wie Zeitdehnung. Wir wollen uns das Ganze natürlich gleich an einem Beispiel ansehen. Aber bevor wir das verstehen können, müssen wir erst noch mal ein Gerät einführen. Nämlich die sogenannte Lichtuhr. Und um die geht es im nächsten Kapitel. Eine Lichtuhr, links seht ihr eine einfache Skizze, besteht einfach aus 2 parallel im Abstand L aufgestellten Spiegeln, zwischen denen ein Lichtblitz hin- und herpendelt. Wie lange ein Lichtstrahl braucht, um genau einmal hin- und herzupendeln, ist leicht zu berechnen. Die Gesamtstrecke X ist zweimal der Abstand zwischen den Spiegeln oder, anders gesagt, die Lichtgeschwindigkeit c×tx. Mit dieser Formel kann ich nun ausrechnen, wie weit meine Spiegel voneinander entfernt sein müssen, wenn tx genau 1 ms betragen soll. L=c×tx halbe oder eingesetzt 3×10⁸ m/s×1.000.000 einer s÷2. Die Sekunden kürzen sich weg und übrig bleibt 150 m. Stell ich also die beiden Spiegel im Abstand von 150 m auf, so braucht mein Lichtblitz genau 1 ms für den Weg hin und zurück. Mit 2 solchen Lichtuhren wollen wir nun mithilfe eines Versuches im letzten Kapitel die Formel für die Zeitdilatation herleiten. Wir wollen 2 Lichtuhren vergleichen. Wir machen also, in Gedanken, folgenden Versuch: Eine auf der Erde und eine zweite, die zwischen 2 parallel liegenden Raketen montiert ist. Die beiden Raketen sollen exakt gleich schnell in dieselbe Richtung fliegen, sodass ihr Abstand immer 150 m ist. Die Geschwindigkeit der Raketen im Vergleich zur Erde soll die Hälfte der Lichtgeschwindigkeit betragen. Im Ruhesystem der Erde und der Raketen sind die beiden Lichtuhren also völlig identisch. Von der Erde aus betrachtet ergibt sich nun folgendes Bild: Die Erduhr bewegt sich natürlich in ihrem eigenen System nicht, das heißt, ich erhalte genau das Ergebnis von gerade eben. Die Zeit ist 2× der Abstand L ÷ Lichtgeschwindigkeit= 1ms. Betrachte ich aber nun von der Erde aus die zweite Lichtuhr zwischen den Raketen, ergibt sich dort ein anderes Bild. In der Zeit, die der Lichtblitz benötigt, um vom Spiegel b zum Spiegel a zu kommen, haben sich die beiden Raketen ein Stück weiter bewegt. Das heißt aber, das im System der Erduhr der Lichtstrahl eine weitere Strecke zurücklegt, als den Abstand zwischen den beiden Spiegeln. Da die Lichtgeschwindigkeit aber ja in allen Systemen gleich groß ist, muss das bedeuten, das in unserem bewegten System eine größere Zeit tverstrichen ist. Und das ist genau das Phänomen der Zeitdilatation. Wenn wir einen Vorgang beobachten aus einem System heraus, das sich relativ zu dem beobachteten System bewegt, erscheint uns der Vorgang länger zu dauern. Die Zeit wird also gedehnt. Nun wollen wir mal versuchen die Formel für diese Zeitdehnung herzuleiten. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an und tragen in das Dreieck ein, was wir wissen. Die Entfernung L zwischen den beiden Spiegeln ist und bleibt c×t. Neu sind die beiden anderen Seiten. Der durch die Bewegung vergrößerte Laufweg des Lichtes c×t und die in der Zwischenzeit zurückgelegte Entfernung der beiden Raketen v×t. Ich kann nun also eine Formel für den vergrößerten Gesamtweg x aufstellen. Und zwar x=2×\sqrt(v×t²+c×t²). Diesen Gesamtweg kann ich aber nun nicht berechnen, solange ich tnicht kenne. Und um t geht es uns ja eigentlich. Wollen wir doch mal sehen, ob wir das nicht aus dem Satz des Pythagoras direkt herleiten können. Wir schreiben also auf ct²=ct²+vt². Das stelle ich nach ct² um und entferne überall die Klammern. Ich erhalte c²t²'=c²t²-v²t². Nun kann ich durch 2 teilen und auf der rechten Seite t² ausklammern. Ich erhalte t²=t²×c²-v²÷c². Und da ich den Bruch in 2 Brüche aufteilen kann, ist das gleich t²×1-v²÷c². Wenn ich nun die Wurzel ziehe, bin ich fast schon fertig. Ich erhalte t=t×\sqrt(1-v²÷c²). Ich muss nur noch durch die Wurzel teilen und erhalte die Formel für die Zeitdilatation in einem bewegten System. t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). Ihr seht, bei kleinen Geschwindigkeiten v fällt die Zeitdilatation kaum ins Gewicht. Nähere ich mich jedoch der Lichtgeschwindigkeit an, so geht die Zeitdehnung ins Unendliche. Sie ist t, also 1ms÷\sqrt(1-v²÷c²). v=0,5c, die beiden c kürzen sich weg, damit bleibt übrig t÷\sqrt(0,75) und das ergibt 1,15 ms. Wir können mit dieser Formel nun auch ganz einfach die Zeit t berechnen, die von der Erduhr aus beobachtet im System der Raketenuhr verstreicht. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Unter Zeitdilatation versteht man, dass die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System verlangsamt wahrgenommen wird. Eine Lichtuhr besteht aus einem Lichtblitz, der zwischen 2 Spiegeln hin- und herpendelt. Und zum Schluss die Formel für die Zeitdilatation im bewegten System t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle. Spezielle Relativitätstheorie. Heute die Zeitdilatation. Wir lernen heute, was Zeitdilatation ist, was man unter einer Lichtuhr versteht und wie man am Beispiel der Lichtuhr die Formel für die Zeitdilatation herleiten kann. Von Zeitdilatation spricht man, wenn die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System von ihm  verlangsamt wahrgenommen wird. Je schneller die Relativbewegung zum Beobachter ist, umso größer ist die Zeitdilatation. Der Begriff Zeitdilatation kommt übrigens aus dem lateinischen und bedeutet ungefähr so viel wie Zeitdehnung. Wir wollen uns das Ganze natürlich gleich an einem Beispiel ansehen. Aber bevor wir das verstehen können, müssen wir erst noch mal ein Gerät einführen. Nämlich die sogenannte Lichtuhr. Und um die geht es im nächsten Kapitel. Eine Lichtuhr, links seht ihr eine einfache Skizze, besteht einfach aus 2 parallel im Abstand L aufgestellten Spiegeln, zwischen denen ein Lichtblitz hin- und herpendelt. Wie lange ein Lichtstrahl braucht, um genau einmal hin- und herzupendeln, ist leicht zu berechnen. Die Gesamtstrecke X ist zweimal der Abstand zwischen den Spiegeln oder, anders gesagt, die Lichtgeschwindigkeit c×tx. Mit dieser Formel kann ich nun ausrechnen, wie weit meine Spiegel voneinander entfernt sein müssen, wenn tx genau 1 ms betragen soll. L=c×tx halbe oder eingesetzt 3×10^8 m/s×1.000.000 einer s÷2. Die Sekunden kürzen sich weg und übrig bleibt 150 m. Stell ich also die beiden Spiegel im Abstand von 150 m auf, so braucht mein Lichtblitz genau 1 ms für den Weg hin und zurück. Mit 2 solchen Lichtuhren wollen wir nun mithilfe eines Versuches im letzten Kapitel die Formel für die Zeitdilatation herleiten. Wir wollen 2 Lichtuhren vergleichen. Wir machen also, in Gedanken, folgenden Versuch: Eine auf der Erde und eine zweite, die zwischen 2 parallel liegenden Raketen montiert ist. Die beiden Raketen sollen exakt gleich schnell in dieselbe Richtung fliegen, sodass ihr Abstand immer 150 m ist. Die Geschwindigkeit der Raketen im Vergleich zur Erde soll die Hälfte der Lichtgeschwindigkeit betragen. Im Ruhesystem der Erde und der Raketen sind die beiden Lichtuhren also völlig identisch. Von der Erde aus betrachtet ergibt sich nun folgendes Bild: Die Erduhr bewegt sich natürlich in ihrem eigenen System nicht, das heißt, ich erhalte genau das Ergebnis von gerade eben. Die Zeit ist 2× der Abstand L ÷ Lichtgeschwindigkeit= 1ms. Betrachte ich aber nun von der Erde aus die zweite Lichtuhr zwischen den Raketen, ergibt sich dort ein anderes Bild. In der Zeit, die der Lichtblitz benötigt, um vom Spiegel b zum Spiegel a zu kommen, haben sich die beiden Raketen ein Stück weiter bewegt. Das heißt aber, das im System der Erduhr der Lichtstrahl eine weitere Strecke zurücklegt, als den Abstand zwischen den beiden Spiegeln. Da die Lichtgeschwindigkeit aber ja in allen Systemen gleich groß ist, muss das bedeuten, das in unserem bewegten System eine größere Zeit t verstrichen ist. Und das ist genau das Phänomen der Zeitdilatation. Wenn wir einen Vorgang beobachten aus einem System heraus, das sich relativ zu dem beobachteten System bewegt, erscheint uns der Vorgang länger zu dauern. Die Zeit wird also gedehnt. Nun wollen wir mal versuchen die Formel für diese Zeitdehnung herzuleiten. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an und tragen in das Dreieck ein, was wir wissen. Die Entfernung L zwischen den beiden Spiegeln ist und bleibt c×t. Neu sind die beiden anderen Seiten. Der durch die Bewegung vergrößerte Laufweg des Lichtes c×tund die in der Zwischenzeit zurückgelegte Entfernung der beiden Raketen v×t. Ich kann nun also eine Formel für den vergrößerten Gesamtweg x aufstellen. Und zwar x=2×\sqrt(v×t²+c×t²). Diesen Gesamtweg kann ich aber nun nicht berechnen, solange ich t nicht kenne. Und um tgeht es uns ja eigentlich. Wollen wir doch mal sehen, ob wir das nicht aus dem Satz des Pythagoras direkt herleiten können. Wir schreiben also auf ct²=ct²+vt². Das stelle ich nach ct² um und entferne überall die Klammern. Ich erhalte c²t²'=c²t²-v²t². Nun kann ich durch 2 teilen und auf der rechten Seite t² ausklammern. Ich erhalte t²=t²×c²-v²÷c². Und da ich den Bruch in 2 Brüche aufteilen kann, ist das gleich t²×1-v²÷c². Wenn ich nun die Wurzel ziehe, bin ich fast schon fertig. Ich erhalte t=t×\sqrt(1-v²÷c²). Ich muss nur noch durch die Wurzel teilen und erhalte die Formel für die Zeitdilatation in einem bewegten System. t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). Ihr seht, bei kleinen Geschwindigkeiten v fällt die Zeitdilatation kaum ins Gewicht. Nähere ich mich jedoch der Lichtgeschwindigkeit an, so geht die Zeitdehnung ins Unendliche. Sie ist t, also 1ms÷\sqrt(1-v²÷c²). v=0,5c, die beiden c kürzen sich weg, damit bleibt übrig t÷\sqrt(0,75) und das ergibt 1,15 ms. Wir können mit dieser Formel nun auch ganz einfach die Zeit tberechnen, die von der Erduhr aus beobachtet im System der Raketenuhr verstreicht. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Unter Zeitdilatation versteht man, dass die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System verlangsamt wahrgenommen wird. Eine Lichtuhr besteht aus einem Lichtblitz, der zwischen 2 Spiegeln hin- und herpendelt. Und zum Schluss die Formel für die Zeitdilatation im bewegten System t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.