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Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie 07:31 min

Textversion des Videos

Transkript Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir machen heute, aus dem Gebiet spezielle Relativitätstheorie, die Addition von Geschwindigkeiten. Für dieses Video solltet ihr auf jeden Fall den Film über die Lorenztransformation gesehen haben. Wir lernen heute, warum ich überhaupt eine neue Regel zur Addition von Geschwindigkeiten brauche. Man nennt diese Regel auch das Geschwindigkeitsadditionstheorem. Wie ich dieses Theorem herleiten kann und wie das Ganze an einer Beispielrechnung aussieht. Dann wollen wir mal. Wir betrachten folgendes Problem: "Eine Rakete wird mit der Geschwindigkeit w' aus einem Raumschiff geschossen." Das Ganze wird von einem Beobachter auf der Erde beobachtet. Wie groß ist für ihn die Geschwindigkeit, wir nennen sie dann w, wenn das Raumschiff mit der Geschwindigkeit v=0,6c an der Erde vorbeifliegt? Wir wollen das Ganze Mal klassisch berechnen und nehmen für w'=0,6c, dann ergibt sich w=v+w'=1,2c. Das kann aber natürlich nicht sein! Nichts darf schneller als die Lichtgeschwindigkeit sein. Wir sehen also, wenn wir versuchen die Addition von Geschwindigkeiten nach der klassischen Methode durchzuführen, dann erhalten wir einen Widerspruch mit den Grundprinzipien der Relativitätstheorie und deswegen gibt es für die Addition von Geschwindigkeiten, in der speziellen Relativitätstheorie, das eben vorhin genannte Additionstheorem, das anderen Gesetzen folgt und wie wir das herleiten können, das wollen wir uns nun im nächsten Kapitel ansehen. Wir wollen das Additionstheorem aus den Formeln der Lorenztransformation herleiten und schreiben uns deswegen ihre Gleichungen noch einmal auf. Habe ich die Koordinaten x' und t' eines Vorgangs, so kann ich sie in die Koordinaten eines anderen Systems xt transformieren, wenn ich folgende Formeln benutze: x=k×(x'+v×t') und t=k×(t'+x'(v/c2²)). Vom Raumschiff aus betrachtet ist die Geschwindigkeit der Rakete w' die Änderung des Ortes, also (?x')/(?t'), also die Änderung der Zeit, oder anders gesagt, (x2'-x1')/(t2'-t1'). Von der Erde aus, ist das genau das Gleiche nur eben ohne die Striche. Die Geschwindigkeit w ist der zurückgelegte Weg ?x durch die dafür benötigte Zeit ?t oder anders gesagt (x2-x1)/(t2-t1). W ist nun genau was wir suchen und wir setzen einfach für x2, x1, t2 und t1 die Formeln der Lorenztransformation ein. Damit erhalten wir dann w=(k(x2'+vt2')-k(x1'-vt1'))/(k(t2'+x2'(v/c²))-k(t1'+x1'(v/c²)). Wie ihr seht kann ich die k sofort ausklammern und kürzen, außerdem will ich ein wenig umsortieren. Ich bringe die x nach vorne, die t´s nach hinten und klammere das v aus und unten mache ich das Gleiche nur umgekehrt. Ich erhalte x2'-x1'+v(t2'-t1') dann großer Bruchstrich und unten (t2'-t1'+(v/c²)(x2'-x1'). So schon fast am Ziel, jetzt mache ich nur noch Eines, nämlich sowohl oben, als auch unten durch t2'-t1' zu teilen. Ich erhalte folgenden Bruch, der auf den ersten Blick noch ein wenig kompliziert aussieht. Wenn ihr genau hinseht, seht ihr allerdings, in den orangefarbenen Kästen befindet sich (t2'-t1')/(t2'-t1') und das ist natürlich 1. Wenn ihr nach oben seht, w' war genau (x2'-x1')/(t2'-t1') und das ist genau das, was in den beiden anderen lila markierten Kästen steht. Das heißt, ich ersetze die orangefarbenen Kästen durch 1 und die lila markierten Kästen durch w' und damit sieht meine Formel schon viel schöner aus. Es steht nun da, die von der Erde aus betrachtete Geschwindigkeit der Rakete w=(w'+v)/(1+((v×w')/c²)) und das ist auch schon das gesamte Geschwindigkeitsadditionstheorem. Wir wischen mal, bis auf unseren roten Kasten, alles weg und wollen nachsehen, was wir für unser Beispiel mit der Rakete, dem Raumschiff und der Erde erhalten. Wir malen noch mal schnell eine kleine Skizze. Unser Raumschiff feuerte eine Rakete mit der Geschwindigkeit w'=0,6c ab, außerdem sollte es an der Erde vorbeifliegen und entfernt sich nun von dieser ebenfalls mit der Geschwindigkeit 0,6c in die andere Richtung. Die Frage war nun: "Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete von der Erde aus betrachtet?" Also w? Wir setzen ein, w=w'+v also (0,6c+0,6c)/(1+(v×w')) also 0,6c²/c². Die c's im Nenner kürzen sich weg und ich erhalte =1,2c/1,36 und das ergibt 0,88c. Von der Erde aus betrachtet ist die Geschwindigkeit der Rakete also 88% der Lichtgeschwindigkeit. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Da die klassische Addition von Geschwindigkeiten zu Geschwindigkeiten führen kann, die größer als die Lichtgeschwindigkeit sind, gilt in der Relativitätstheorie hierfür ein spezielles Additionstheorem. Die Formel dieses Additionstheorems kann aus den Gleichungen der Lorenztransformation hergeleitet werden. Sie lautet: w=(w'+v)/(1+((v×w')/c²)). In unserem Beispiel mit w'=v=0,6c ergab sich zum Beispiel die beobachtete Geschwindigkeit w=0,88c. So, das wars schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten mal. Euer Kalle.

1 Kommentar
  1. super erklärt,hat mir wirklich sehr gut geholfen!

    Von Moritzglkher, vor mehr als 6 Jahren

Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse dein Wissen über die Addition von Geschwindigkeiten zusammen.

    Tipps

    Für welche Geschwindigkeiten gilt die klassische Physik und für welche nicht mehr?

    Klassisch ergibt zum Beispiel $\omega´=v=0,6~c$ für $\omega=1,2~c$!!!

    Lösung

    Die Addition von Geschwindigkeiten nach den Gesetzmäßigkeiten der Klassischen Physik gilt nur für kleine Geschwindigkeiten. Radelt Einstein auf seinem Fahrrad durch die Gegend, so kann er die Überlagerung seiner Bewegung mit anderen Bewegungen im Alltag ohne Probleme durch klassische Addition bestimmen.

    Liegen die Geschwindigkeiten mit ihrer Größenordnung jedoch im Bereich der Lichtgeschwindigkeit, also bei $0,1~c$, $0,2~c$ und darüber hinaus, kann die klassische Addition zu Geschwindigkeiten größer als die Lichtgeschwindigkeit führen und das ist ein Widerspruch zu den Grundprinzipien der Relativitätstheorie (siehe auch das Beispiel: $\omega´=v=0,6~c$ mit $\omega=1,2~c$!!!).

    In solchen Fällen gilt das Geschwindigkeitsadditionstheorem der Speziellen Relativitätstheorie, das aus den Formeln der Lorentztransformation hergeleitet werden kann:

    $\omega=\frac {\omega´+v} {1+\frac {v~\omega´} {c^2}}$.

    Wendet man dieses an, so erhält man für das gezeigte Beispiel $\omega´=v=0,6~c$ einen Wert von $\omega=0,88~c$ und bleibt damit wie erforderlich bei Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit.

  • Gib das Geschwindigkeitsadditionstheorem an.

    Tipps

    Welche Geschwindigkeiten werden im Zähler addiert?

    Wie sieht der Geschwindigkeitsbruch im Nenner aus und welche Geschwindigkeit erhält dort als einzige überhaupt in der Gesamtformel einen Exponenten?

    Lösung

    Das Geschwindigkeitsadditionstheorem ist vom Aufbau her ein Doppelbruch und daher etwas kompliziert zu merken.

    Im Zähler des Hauptbruchs werden die Geschwindigkeiten $\omega'$ und $v$ schlicht addiert, die im Normalfall in den Aufgaben zum Theorem gegeben sein sollten.

    Im Nenner des Hauptbruchs sieht es etwas komplizierter aus. Er erinnert aber in der Form noch deutlich an die Zeitkoordinatenumrechnung in der Lorentztransformation, aus welcher er sich ableitet. Zu einer Eins wird dort der Bruch aus dem Produkt der Geschwindigkeiten $\omega'$ und $v$ und der Lichtgeschwindigkeit $c$ zum Quadrat addiert. Nur die Lichtgeschwindigkeit besitzt in dieser Formel einen Exponenten.

  • Leite das Geschwindigkeitsadditionstheorem aus den Formeln für die Lorentztransformation her.

    Tipps

    Als erstes musst du die Formeln für die Lorentztransformation in die Gleichung mit der gesuchten Größe $\omega$ einsetzen.

    Dann kannst du den Lorentzfaktor kürzen und die Terme neu sortieren und zusammenfassen.

    Im nächsten Schritt teilst du in Zähler und Nenner durch den Term $t_2'-t_1'$.

    Nun kannst du die Terme vereinfachen. Manche Terme werden Eins, andere kannst du vereinfacht schreiben, indem du sie mit $\omega'$ ersetzt.

    Lösung

    Als erstes musst du die Formeln für die Lorentztransformation in die Gleichung mit der gesuchten Größe $\omega$ einsetzen:

    (1) $\omega=\frac {k(x_2'+vt_2')-k(x_1'+vt_1')} {k(t_2'+x_2'\frac {v} {c^2})-k(t_1'+x_1'\frac {v} {c^2})}$

    Dann kannst du den Lorentzfaktor kürzen und die Terme neu sortieren und zusammenfassen:

    (2) $\omega=\frac {x_2'-x_1'+v(t_2'-t_1')} {t_2'-t_1'+{v} {c^2}(x_2'-x_1')}$

    Im nächsten Schritt teilst du in Zähler und Nenner durch den Term $t_2'-t_1'$:

    (3) $\omega=\frac {\frac {x_2'-x_1'} {t_2'-t_1'}+v\frac {t_2'-t_1'} {t_2'-t_1'}} {\frac {t_2'-t_1'} {t_2'-t_1'}+\frac {v} {c^2} \frac {x_2'-x_1'} {t_2'-t_1'}}$

    Nun kannst du die Terme vereinfachen. Manche Terme werden Eins, andere kannst du vereinfacht schreiben, indem du sie mit $\omega'$ ersetzt:

    (4) $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$

    Und da ist es: das Geschwindigkeitsadditionstheorem! Super gemacht!

  • Leite dir ab, wie groß die Abweichung zwischen klassischer und relativistischer Geschwindigkeitsaddition ist.

    Tipps

    Addiere die Geschwindigkeiten sowohl klassisch als auch relativistisch und bestimme die prozentuale Abweichung der beiden Ergebnisse.

    Lösung

    Für $v=0,100~c$ und $\omega'=0,100~c$ gilt:

    Klassisch: $\omega_K=v+\omega'=0,100~c+0,100~c=0,200~c$

    Relativistisch: $\omega_R=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}=\frac {0,100~c+0,100~c} {1+\frac {0,100~c\cdot 0,100~c} {c^2}}=\frac {0,200~c} {1+\frac {0,01~c^2} {c^2}}=\frac {0,200~c} {1,01}=0,198~c$.

    Die Abweichung beträgt somit etwa ein Prozent.

    Musst du jetzt in diesem Fall eigentlich schon relativistisch rechnen oder darfst du noch klassisch rechnen?

    Das kommt darauf an, wie genau dein Ergebnis sein soll. Rundest du das relativistische Ergebnis stärker, stimmen die beiden Berechnungen noch überein. Häufig wird aber genau an dieser Stelle, wenn ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit erreicht ist, die Grenze für klassisches Rechnen gesetzt. Mit Geschwindigkeiten, die noch näher an der Lichtgeschwindigkeit liegen, werden die Abweichungen immer größer. Dann ist klassisches Rechnen zu fehlerbehaftet. Generell gilt aber: Relativistisch rechnen ist immer richtig, es ist aber aufwendiger.

  • Gib an, wie die Geschwindigkeit für die verschiedenen Zahlenbeispiele bestimmt werden kann.

    Tipps

    Das Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$.

    Lösung

    Für die Berechnung der einzelnen Beispiele werden die gegebenen Geschwindigkeiten in das Geschwindigkeitsadditionstheorem $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$ eingesetzt.

    Dann gilt beispielsweise für $v=0,9~c$ und $\omega'=0,8~c$:

    $\omega=\frac {0,8~c+0,9~c} {1+\frac {0,9~c\cdot 0,8~c} {c^2}}=\frac {1,7~c} {1+\frac {0,72~c^2} {c^2}}=\frac {1,7~c} {1+0,72}=\frac {1,7~c} {1,72}=0,99~c$.

    Die Rakete bewegt sich aus der Beobachterperspektive fast mit Lichtgeschwindigkeit, weil die beiden gegebenen Geschwindigkeiten bereits sehr hoch sind.

    Vergleichbares gilt auch für die anderen Zahlenbeispiele. Es ist praktisch, beim Geschwindigkeitsadditionstheorem die Geschwindigkeiten in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit $c$ anzugeben, weil so die Zahlenwerte gut überschaubar sind.

  • Berechne die Geschwindigkeit der Raumsonden aus Sicht der außerirdischen Beobachter.

    Tipps

    Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.

    Was musst du bei der Addition der Geschwindigkeiten aufgrund der Größenordnung der Geschwindigkeiten beachten?

    Das Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet: $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$.

    Die Geschwindigkeiten kannst du wie gegeben einsetzen oder in Bruchteile der Lichtgeschwindigkeit umrechnen.

    Lösung

    Bei den gegebenen Geschwindigkeiten müssen auf jeden Fall relativistische Effekte berücksichtigt werden.

    Gegeben:

    $v=80~000\frac {km} {s}$

    $\omega'=130~000\frac {km} {s}$

    $c=300~000\frac {km} {s}$

    Gesucht: $\omega$

    Das Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet: $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$.

    Somit ergibt sich durch Einsetzen:

    $\omega=\frac {130~000\frac {km} {s}+80~000\frac {km} {s}} {1+\frac {80~000\frac {km} {s} \cdot 130~000\frac {km} {s}} {(300~000\frac {km} {s})^2}}=\frac {210~000\frac {km} {s}} {1+0,116}=188~000\frac {km} {s}$.

    Die Sonden fliegen von den außerirdischen Beobachtern aus gesehen mit einer Geschwindigkeit von rund $190~000\frac {km} {s}$. Das sind etwa $63$ Prozent der Lichtgeschwindigkeit.