Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ?

Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ? Übung

• Gib die Größen zur Berechnung der relativistischen Massenzunahme $m'$ wieder.

  Tipps

  Die Masse eines Körpers wächst mit seiner Geschwindigkeit...welches Formelzeichen besitzt diese Geschwindigkeit im Gegensatz zur ebenfalls in der Formel vertretenden Naturkonstante?

  Ein relativ zum Körper ruhender Beobachter misst die kleinste Masse für diesen Körper. Wie heißt sie?

  Nach wem ist der Faktor $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ benannt?

  Lösung

  Je schneller sich ein Körper bewegt, desto schwerer erscheint er. Die Masse eines Körpers wächst mit seiner Geschwindigkeit $v$. Dieser Effekt wird als relativistische Massenzunahme bezeichnet.

  Ein relativ zum Körper ruhender Beobachter misst die kleinste Masse $m_0$ für diesen Körper. Diese Masse wird Ruhemasse genannt. Je schneller sich der Körper bewegt, desto größer wird seine Masse $m'$ im Vergleich zu seiner Ruhemasse. Diese Masse kann für jede Geschwindigkeit des Körpers unter Zuhilfenahme der Naturkonstante der Lichtgeschwindigkeit $c$ bestimmt werden. Auf diese Weise lässt sich auch der Lorentzfaktor $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ bestimmen.

• Gib die Schritte zur Herleitung der Formel zur Berechnung der relativistischen Massenzunahme $m'$ an.

  Tipps

  Als Ansatz für die Herleitung gilt: Die Impulse des Körpers stimmen bei beiden Beobachtern überein.

  Die Geschwindigkeit eines Körpers kann durch den Ausdruck Weg durch Zeit ersetzt werden.

  Der zurückgelegte Weg des Körpers ist bei beiden Beobachtern gleich groß (keine Längenkontraktion).

  Die Formel wird nach der gesuchten Größe $m'$ umgestellt.

  $t'$ wird durch die Formel für die Zeitdilatation $t'=\frac {t} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ ersetzt.

  Lösung

  (1) Als Ansatz für die Herleitung verwendet man den Zusammenhang: $p=p'$ oder $m\cdot v=m'\cdot v'$. Dieser besagt, dass der Impuls der Rakete gleich groß ist., egal von welchem Beobachter man ausgeht.

  (2) Anschließend wird die Geschwindigkeit auf beiden Seiten der Formel jeweils durch die Größen Weg und Zeit ausgedrückt:

  $\frac {m\cdot l} {t}=\frac {m'\cdot l'} {t'}$.

  (3) Auf beiden Seiten der Formel steht nun die Größe des Weges im Zähler. Sie ist für beide Beobachter gleich, da keine Längenkontraktion auftritt. Somit kann sie herausgekürzt werden:

  $\frac {m} {t}=\frac {m'} {t'}$.

  (4) Anschließend wird die Formel nach der gesuchten Größe, also nach $m'$, umgestellt:

  $m'=m\cdot \frac {t'} {t}$.

  (5) Im letzten Schritt der Herleitung wird die Größe $t'$ durch $t'=\frac {t} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ (Zeitdilatation) ersetzt und der Bruch gekürzt.

  Somit erhält man die bekannte Formel für die relativistische Massenzunahme. Da es sich bei dem einen Beobachter um einen ruhenden Beobachter handelt, ist die Größe $m$ gleichzeitig die Ruhemasse $m_0$ des Körpers.

• Vergleiche die relativistische Massenzunahme der beiden Objekte.

  Tipps

  Berechne die relativistische Massenzunahme für beide Objekte.

  Lösung

  Wie bereits aus der Formel für die relativistische Massenzunahme erkennbar war, nimmt die Masse eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit zu. Je näher die Geschwindigkeit des Körpers an die Lichtgeschwindigkeit herankommt, desto stärker steigt die Zunahme der Masse an.

  Für die relativistische Massenzunahme beider Objekte gilt im Speziellen:

  $m_R'=\frac {m_R} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {10^6~kg} {\sqrt {1-0,4^2}}=1,09\cdot 10^6~kg$

  $m_E'=\frac {m_E} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {9,109\cdot 10^{-31}~kg} {\sqrt {1-0,98^2}}=4,58\cdot 10^{-30}~kg$

  Die Masse des Raumschiffs hat sich lediglich um rund 10% erhöht, die Masse des Elektrons aber um rund 500%!

• Bestimme die Masse der Sonne für das beschriebene Szenario.

  Tipps

  Notiere die gegebenen Größen und die gesuchte Größe.

  Setze die Werte in die Formel für die relativistische Massenzunahme ein.

  Gegeben:

  $m_0=1,988\cdot 10^{30}~kg$

  $v=10~000\frac {km} {s}$

  $c=299~800\frac {km} {s}$

  Lösung:

  $m'=\frac {m_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$

  Lösung

  Gegeben:

  $m_0=1,988\cdot 10^{30}~kg$

  $v=10~000\frac {km} {s}$

  $c=299~800\frac {km} {s}$

  Gesucht:

  $m'$

  Lösung:

  $m'=\frac {m_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {1,988\cdot 10^{30}~kg} {\sqrt {1-\frac {(10~000\frac {km} {s})^2} {(299~800\frac {km} {s})^2}}}=1,989\cdot 10^{30}~kg$

  Antwort:

  Die relativistische Massenzunahme der Sonne würde lediglich bei 0,5 Promille liegen. Die Masse der Sonne würde sich bei einer Objektgeschwindigkeit von $10~000\frac {km} {s}$ lediglich von $1,988\cdot 10^{30}~kg$ auf $1,989\cdot 10^{30}~kg$ erhöhen. Dies verwundert jedoch nicht, wenn man bedenkt, dass die Endgeschwindigkeit der Sonne lediglich drei Prozent der Lichtgeschwindigkeit betragen würde.

• Gib die Formel zur Berechnung der relativistischen Massenzunahme an.

  Tipps

  Prüfe, ob die Formelzeichen richtig gewählt sind und diese im korrekten Verhältnis zueinander stehen.

  Lösung

  Die relativistische Massenzunahme eines Körpers wird mit der gezeigten Formel bestimmt.

  Der komplexe Bruch kann durch Umschreiben der Formel mithilfe des Lorentzfaktors vereinfacht werden:

  $m'=\frac {m_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=k\cdot m_0$.

• Erschließe dir, welche Geschwindigkeit im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ein Körper besitzt, bei dem die doppelte Ruhemasse gemessen wird.

  Tipps

  Es soll gelten: $m'=k\cdot m_0=2\cdot m_0$.

  Außerdem ist $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

  Umstellen nach $v$ und Einsetzen von $k$ und $c$ liefert die gesuchte Geschwindigkeit.

  $v=\sqrt {c^2\cdot(1-\frac {1} {k^2})}$

  Anschließend muss noch der Anteil dieser Geschwindigkeit an der Lichtgeschwindigkeit berechnet werden.

  Lösung

  Lösungsidee:

  Für den Körper soll gelten: $m'=2\cdot m_0$.

  Somit gilt für den Lorentzfaktor: $k=2=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

  Stellt man die Formel für den Lorentzfaktor nach der gesuchten Größe um, so erhält man:

  $k^2=\frac {1} {(1-\frac {v^2} {c^2})}$ (Quadrieren)

  $\frac {v^2} {c^2}=1-\frac {1} {k^2}$ (Umstellen und Multiplizieren mit $-1$)

  $v=\sqrt {c^2\cdot(1-\frac {1} {k^2})}$ (Umstellen und Wurzelziehen).

  Gegeben:

  $k=2$

  $c=300~000\frac {km} {s}$

  Gesucht:

  $v$

  Lösung:

  $v=\sqrt {c^2\cdot(1-\frac {1} {k^2})}=\sqrt {(300~000\frac {km} {s})^2\cdot(1- \frac {1} {2^2})}=\sqrt {(300~000\frac {km} {s})^2\cdot \frac 34}=260~000\frac {km} {s}$

  Antwort:

  Ein Körper mit einer Masse doppelt so hoch wie seine Ruhemasse bewegt sich mit rund 87 % der Lichtgeschwindigkeit.