Zeitdilatation 07:41 min

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Transkript Zeitdilatation

Spezielle Relativitätstheorie. Heute die Zeitdilatation. Wir lernen heute, was Zeitdilatation ist, was man unter einer Lichtuhr versteht und wie man am Beispiel der Lichtuhr die Formel für die Zeitdilatation herleiten kann. Von Zeitdilatation spricht man, wenn die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System von ihm  verlangsamt wahrgenommen wird. Je schneller die Relativbewegung zum Beobachter ist, umso größer ist die Zeitdilatation. Der Begriff Zeitdilatation kommt übrigens aus dem lateinischen und bedeutet ungefähr so viel wie Zeitdehnung. Wir wollen uns das Ganze natürlich gleich an einem Beispiel ansehen. Aber bevor wir das verstehen können, müssen wir erst noch mal ein Gerät einführen. Nämlich die sogenannte Lichtuhr. Und um die geht es im nächsten Kapitel. Eine Lichtuhr, links seht ihr eine einfache Skizze, besteht einfach aus 2 parallel im Abstand L aufgestellten Spiegeln, zwischen denen ein Lichtblitz hin- und herpendelt. Wie lange ein Lichtstrahl braucht, um genau einmal hin- und herzupendeln, ist leicht zu berechnen. Die Gesamtstrecke X ist zweimal der Abstand zwischen den Spiegeln oder, anders gesagt, die Lichtgeschwindigkeit c×tx. Mit dieser Formel kann ich nun ausrechnen, wie weit meine Spiegel voneinander entfernt sein müssen, wenn tx genau 1 ms betragen soll. L=c×tx halbe oder eingesetzt 3×108 m/s×1.000.000 einer s÷2. Die Sekunden kürzen sich weg und übrig bleibt 150 m. Stell ich also die beiden Spiegel im Abstand von 150 m auf, so braucht mein Lichtblitz genau 1 ms für den Weg hin und zurück. Mit 2 solchen Lichtuhren wollen wir nun mithilfe eines Versuches im letzten Kapitel die Formel für die Zeitdilatation herleiten. Wir wollen 2 Lichtuhren vergleichen. Wir machen also, in Gedanken, folgenden Versuch: Eine auf der Erde und eine zweite, die zwischen 2 parallel liegenden Raketen montiert ist. Die beiden Raketen sollen exakt gleich schnell in dieselbe Richtung fliegen, sodass ihr Abstand immer 150 m ist. Die Geschwindigkeit der Raketen im Vergleich zur Erde soll die Hälfte der Lichtgeschwindigkeit betragen. Im Ruhesystem der Erde und der Raketen sind die beiden Lichtuhren also völlig identisch. Von der Erde aus betrachtet ergibt sich nun folgendes Bild: Die Erduhr bewegt sich natürlich in ihrem eigenen System nicht, das heißt, ich erhalte genau das Ergebnis von gerade eben. Die Zeit ist 2× der Abstand L ÷ Lichtgeschwindigkeit= 1ms. Betrachte ich aber nun von der Erde aus die zweite Lichtuhr zwischen den Raketen, ergibt sich dort ein anderes Bild. In der Zeit, die der Lichtblitz benötigt, um vom Spiegel b zum Spiegel a zu kommen, haben sich die beiden Raketen ein Stück weiter bewegt. Das heißt aber, das im System der Erduhr der Lichtstrahl eine weitere Strecke zurücklegt, als den Abstand zwischen den beiden Spiegeln. Da die Lichtgeschwindigkeit aber ja in allen Systemen gleich groß ist, muss das bedeuten, das in unserem bewegten System eine größere Zeit tverstrichen ist. Und das ist genau das Phänomen der Zeitdilatation. Wenn wir einen Vorgang beobachten aus einem System heraus, das sich relativ zu dem beobachteten System bewegt, erscheint uns der Vorgang länger zu dauern. Die Zeit wird also gedehnt. Nun wollen wir mal versuchen die Formel für diese Zeitdehnung herzuleiten. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an und tragen in das Dreieck ein, was wir wissen. Die Entfernung L zwischen den beiden Spiegeln ist und bleibt c×t. Neu sind die beiden anderen Seiten. Der durch die Bewegung vergrößerte Laufweg des Lichtes c×t und die in der Zwischenzeit zurückgelegte Entfernung der beiden Raketen v×t. Ich kann nun also eine Formel für den vergrößerten Gesamtweg x aufstellen. Und zwar x=2×\sqrt(v×t²+c×t²). Diesen Gesamtweg kann ich aber nun nicht berechnen, solange ich tnicht kenne. Und um t geht es uns ja eigentlich. Wollen wir doch mal sehen, ob wir das nicht aus dem Satz des Pythagoras direkt herleiten können. Wir schreiben also auf ct²=ct²+vt². Das stelle ich nach ct² um und entferne überall die Klammern. Ich erhalte c²t²'=c²t²-v²t². Nun kann ich durch 2 teilen und auf der rechten Seite t² ausklammern. Ich erhalte t²=t²×c²-v²÷c². Und da ich den Bruch in 2 Brüche aufteilen kann, ist das gleich t²×1-v²÷c². Wenn ich nun die Wurzel ziehe, bin ich fast schon fertig. Ich erhalte t=t×\sqrt(1-v²÷c²). Ich muss nur noch durch die Wurzel teilen und erhalte die Formel für die Zeitdilatation in einem bewegten System. t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). Ihr seht, bei kleinen Geschwindigkeiten v fällt die Zeitdilatation kaum ins Gewicht. Nähere ich mich jedoch der Lichtgeschwindigkeit an, so geht die Zeitdehnung ins Unendliche. Sie ist t, also 1ms÷\sqrt(1-v²÷c²). v=0,5c, die beiden c kürzen sich weg, damit bleibt übrig t÷\sqrt(0,75) und das ergibt 1,15 ms. Wir können mit dieser Formel nun auch ganz einfach die Zeit t berechnen, die von der Erduhr aus beobachtet im System der Raketenuhr verstreicht. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Unter Zeitdilatation versteht man, dass die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System verlangsamt wahrgenommen wird. Eine Lichtuhr besteht aus einem Lichtblitz, der zwischen 2 Spiegeln hin- und herpendelt. Und zum Schluss die Formel für die Zeitdilatation im bewegten System t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle. Spezielle Relativitätstheorie. Heute die Zeitdilatation. Wir lernen heute, was Zeitdilatation ist, was man unter einer Lichtuhr versteht und wie man am Beispiel der Lichtuhr die Formel für die Zeitdilatation herleiten kann. Von Zeitdilatation spricht man, wenn die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System von ihm  verlangsamt wahrgenommen wird. Je schneller die Relativbewegung zum Beobachter ist, umso größer ist die Zeitdilatation. Der Begriff Zeitdilatation kommt übrigens aus dem lateinischen und bedeutet ungefähr so viel wie Zeitdehnung. Wir wollen uns das Ganze natürlich gleich an einem Beispiel ansehen. Aber bevor wir das verstehen können, müssen wir erst noch mal ein Gerät einführen. Nämlich die sogenannte Lichtuhr. Und um die geht es im nächsten Kapitel. Eine Lichtuhr, links seht ihr eine einfache Skizze, besteht einfach aus 2 parallel im Abstand L aufgestellten Spiegeln, zwischen denen ein Lichtblitz hin- und herpendelt. Wie lange ein Lichtstrahl braucht, um genau einmal hin- und herzupendeln, ist leicht zu berechnen. Die Gesamtstrecke X ist zweimal der Abstand zwischen den Spiegeln oder, anders gesagt, die Lichtgeschwindigkeit c×tx. Mit dieser Formel kann ich nun ausrechnen, wie weit meine Spiegel voneinander entfernt sein müssen, wenn tx genau 1 ms betragen soll. L=c×tx halbe oder eingesetzt 3×10^8 m/s×1.000.000 einer s÷2. Die Sekunden kürzen sich weg und übrig bleibt 150 m. Stell ich also die beiden Spiegel im Abstand von 150 m auf, so braucht mein Lichtblitz genau 1 ms für den Weg hin und zurück. Mit 2 solchen Lichtuhren wollen wir nun mithilfe eines Versuches im letzten Kapitel die Formel für die Zeitdilatation herleiten. Wir wollen 2 Lichtuhren vergleichen. Wir machen also, in Gedanken, folgenden Versuch: Eine auf der Erde und eine zweite, die zwischen 2 parallel liegenden Raketen montiert ist. Die beiden Raketen sollen exakt gleich schnell in dieselbe Richtung fliegen, sodass ihr Abstand immer 150 m ist. Die Geschwindigkeit der Raketen im Vergleich zur Erde soll die Hälfte der Lichtgeschwindigkeit betragen. Im Ruhesystem der Erde und der Raketen sind die beiden Lichtuhren also völlig identisch. Von der Erde aus betrachtet ergibt sich nun folgendes Bild: Die Erduhr bewegt sich natürlich in ihrem eigenen System nicht, das heißt, ich erhalte genau das Ergebnis von gerade eben. Die Zeit ist 2× der Abstand L ÷ Lichtgeschwindigkeit= 1ms. Betrachte ich aber nun von der Erde aus die zweite Lichtuhr zwischen den Raketen, ergibt sich dort ein anderes Bild. In der Zeit, die der Lichtblitz benötigt, um vom Spiegel b zum Spiegel a zu kommen, haben sich die beiden Raketen ein Stück weiter bewegt. Das heißt aber, das im System der Erduhr der Lichtstrahl eine weitere Strecke zurücklegt, als den Abstand zwischen den beiden Spiegeln. Da die Lichtgeschwindigkeit aber ja in allen Systemen gleich groß ist, muss das bedeuten, das in unserem bewegten System eine größere Zeit t verstrichen ist. Und das ist genau das Phänomen der Zeitdilatation. Wenn wir einen Vorgang beobachten aus einem System heraus, das sich relativ zu dem beobachteten System bewegt, erscheint uns der Vorgang länger zu dauern. Die Zeit wird also gedehnt. Nun wollen wir mal versuchen die Formel für diese Zeitdehnung herzuleiten. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an und tragen in das Dreieck ein, was wir wissen. Die Entfernung L zwischen den beiden Spiegeln ist und bleibt c×t. Neu sind die beiden anderen Seiten. Der durch die Bewegung vergrößerte Laufweg des Lichtes c×tund die in der Zwischenzeit zurückgelegte Entfernung der beiden Raketen v×t. Ich kann nun also eine Formel für den vergrößerten Gesamtweg x aufstellen. Und zwar x=2×\sqrt(v×t²+c×t²). Diesen Gesamtweg kann ich aber nun nicht berechnen, solange ich t nicht kenne. Und um tgeht es uns ja eigentlich. Wollen wir doch mal sehen, ob wir das nicht aus dem Satz des Pythagoras direkt herleiten können. Wir schreiben also auf ct²=ct²+vt². Das stelle ich nach ct² um und entferne überall die Klammern. Ich erhalte c²t²'=c²t²-v²t². Nun kann ich durch 2 teilen und auf der rechten Seite t² ausklammern. Ich erhalte t²=t²×c²-v²÷c². Und da ich den Bruch in 2 Brüche aufteilen kann, ist das gleich t²×1-v²÷c². Wenn ich nun die Wurzel ziehe, bin ich fast schon fertig. Ich erhalte t=t×\sqrt(1-v²÷c²). Ich muss nur noch durch die Wurzel teilen und erhalte die Formel für die Zeitdilatation in einem bewegten System. t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). Ihr seht, bei kleinen Geschwindigkeiten v fällt die Zeitdilatation kaum ins Gewicht. Nähere ich mich jedoch der Lichtgeschwindigkeit an, so geht die Zeitdehnung ins Unendliche. Sie ist t, also 1ms÷\sqrt(1-v²÷c²). v=0,5c, die beiden c kürzen sich weg, damit bleibt übrig t÷\sqrt(0,75) und das ergibt 1,15 ms. Wir können mit dieser Formel nun auch ganz einfach die Zeit tberechnen, die von der Erduhr aus beobachtet im System der Raketenuhr verstreicht. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Unter Zeitdilatation versteht man, dass die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System verlangsamt wahrgenommen wird. Eine Lichtuhr besteht aus einem Lichtblitz, der zwischen 2 Spiegeln hin- und herpendelt. Und zum Schluss die Formel für die Zeitdilatation im bewegten System t=t÷\sqrt(1-v²÷c²). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle. 

6 Kommentare
  1. Karsten

    @ Kartoffel007

    Ja, jedoch ist die Auswirkung durch die Erdrotation eher gering. Vereinfacht nimmt man dennoch an, dass die Erde nicht rotieren würde.
    Im Vergleich Erdrotationsgeschwindigkeit ca. 333 m/s Lichtgeschwindigkeit 2,99 *10^8 m/s. Selbst wenn sich die Uhr nur mit 25% der Lichtgeschwindigkeit, also 0,75 *10^8 m/s bewegt wäre das nur eine Abweichung von 0,0004 %. Und zwar weniger oder mehr je nach Bewegungsrichtung.

    Von Karsten Schedemann, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Ist es nicht so das die Erde rotiert und damit die Lichtuhr auch eine größere Strecke zurücklegen muss als es auf der Erde erscheint?...LG

    Von Kartoffel007, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    Hallo, gutes video

    Von Kartoffel007, vor etwa 4 Jahren
  4. Nikolai

    @Jana: Richtig. Du kannst die Zeit im Ruhesystem t' nennen oder die im bewegten System. Das ist willkürlich. Und außerdem ist ja eh alles relativ :-). Ein kleiner Boost in Bewegungsrichtung und das bewegte System wird zum Ruhesystem und umgekehrt…
    Lg

    Von Nikolai P., vor mehr als 5 Jahren
  5. Default

    Hallo, ich habe deine Formel mit der die wir im Unterricht hergelitten haben verglichen und unsere Formel lautet t`= t* wurzel(1-v^2/c^2).
    Liegt das daran, dass wir t und t´ jeweils getauscht ansehen?

    Von Leok, vor mehr als 5 Jahren
  1. Default

    Richtig gut erklärt, danke! =)

    Von Jojoseeger, vor fast 6 Jahren
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Zeitdilatation Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zeitdilatation kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Bestandteile der Lichtuhr.

    Tipps

    Der Winkel zwischen den Lichtstrahlen ist zu vernachlässigen ( \lim \alpha -> 0 ).

    $ t = \frac {L}{c} $

    Lösung

    Eine Lichtuhr besteht aus zwei, sich gegenüber stehenden Spiegeln. Zwischen diesen pendelt ein Lichtstrahl hin und her. An den Spiegeloberflächen wird dieser immer wieder reflektiert. Kennt man den Spiegelabstand L, kann man aus der Lichtgeschwindigkeit $c$ und dem Abstand $L$ die vergangene Zeit nach dem Ansatz $ t = \frac {L}{c} $ berechnen.

    Hinweis: Der Winkel zwischen den Lichtstrahlen soll sehr klein sein, sodass wir die beiden Strecken als rechtwinklig zu den Spiegeloberflächen betrachten können.

  • Nenne die Parameter, die die Zeitdilatation maßgeblich beeinflussen.

    Tipps

    Zeitdilatation beschreibt die Effekte der Dehnung der Zeit.

    Die Schallgeschwindigkeit ist sehr viel geringer als die Lichtgeschwindigkeit.

    Zeitdilatation tritt nur bei sehr großen Geschwindigkeiten auf.

    Lösung

    Die Zeitdilatation wird mit der nebenstehenden Formel beschrieben.

    Darin ist $t'$ die gedehnte Zeit, $t$ die gemessene Zeit, $v$ die relative Geschwindigkeit und $c$ die konstante Lichtgeschwindigkeit.

    Damit ist klar, dass dies die wesentlichen Parameter sind, welche Einfluss auf die Zeitdilatation nehmen.

    Für die Lichtgeschwindigkeit reicht es meistens aus, diese mit $3,0 \cdot 10^8 \frac{m}{s}$ anzugeben. Genauer wäre $ 2,99792 \cdot 10^8 \frac{m}{s}$. Dadurch würde die Berechnung jedoch viel aufwendiger.

    Die gemessene Zeit erhalten wir in der Einheit $s$, da diese auf die Einheit der Geschwindigkeit $\frac{m}{s}$ angepasst sein muss.

    Die Geschwindigkeit des Schalls spielt bei der Berechnung keine Rolle, denn wir betrachten ja auch Effekte, die sich direkt visuell bemerkbar machen, also mit Licht zu tun haben und keine, die akustisch, also auf Schall zurückzuführen sind.

  • Gib an, was Zeitdilatation ist.

    Tipps

    Wichtig ist, dass sich zwei Systeme relativ zueinander bewegen.

    Hier siehst du eine Lichtuhr im Schema.

    Lösung

    Die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System wird von ihm verlangsamt wahrgenommen.

    Je schneller die Relativbewegung ist, desto größer ist die Zeitdilatation, also die Zeitdehnung.

    Mit einer Lichtuhr kann man diesen Effekt gut beobachten, sobald sich diese sehr schnell bewegt.

    Sehr wichtig ist, dass die Bewegung relativ zwischen zwei Systemen stattfinden muss. Bewegen sich zwei Systeme sehr schnell aber parallel zueinander, ist die Relativbewegung $v_r = 0$. Damit tritt zwischen diesen Systemen keine Zeitdilatation auf.

  • Erkläre die Effekte der Zeitdilatation bei einer Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit.

    Tipps

    Betrachte den Grenzfall $ c = v $.

    Eine Division durch Null ergibt einen mathematischen Widerspruch.

    Lösung

    Grundsätzlich lässt sich die Zeitdilatation mit der Formel :

    $t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ darstellen.

    Somit ist die Dehnung der Zeit abhängig von der Zeit, die im bewegten System vergeht, und der Geschwindigkeit, mit der sich das beschleunigte System relativ zum Ausgangssystem bewegt.

    Das hängt damit zusammen, dass eine Information immer eine gewisse Verbreitungsgeschwindigkeit hat: ein akustisches Signal die Schallgeschwindigkeit und ein optisches Signal die Lichtgeschwindigkeit.

    Bewegt sich ein System nun selbst mit annähernder Lichtgeschwindigkeit voran, so läuft dieses vor einer Information weg.

    Um das zu verstehen, verlangsamen wir die Geschwindigkeit des Lichtes auf Schneckentempo.

    Wir wollen ein Klassenfoto machen. Du stellst dich hinter die Kamera und drückst auf den Auslöser. Das Blitzlicht breitet sich ganz langsam zu den Klassenkameraden aus, wird zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ reflektiert und bildet exakt diesen Zeitpunkt als Foto ab.

    Da das Licht jedoch im Gedankenexperiment sehr langsam sein soll, zeigt das Display der Kamera ein Bild, dass schon einige Sekunden alt wäre. Die Information wäre also an verschiedenen Orten zu verschiedenen Zeiten eingetroffen.

    Da das Licht nicht so einfach zu verlangsamen ist, müssen wir dessen relative Geschwindigkeit verringern, weshalb ein System auf eine sehr hohe Geschwindigkeit gebracht werden muss, damit Zeitdilatation* auftritt.

    Die Zeitdilatation nimmt im Vergleich große Werte an, wenn sich die Geschwindigkeit $v$ an die Lichtgeschwindigkeit $c$ annähert.

    Im Grenzfall $v=c$ gilt :

    $t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}}}$.

    Wir isolieren den Term in der Wurzel und vereinfachen anschließend:

    $\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}} → \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0 $.

    Einsetzen liefert :

    $t' = \frac{t}{0}$.

    Mathematisch käme man zu einem Widerspruch, da eine Null im Nenner steht.

    Wir gehen in unseren Betrachtungen jedoch davon aus, dass es technisch nicht möglich ist, die Lichtgeschwindigkeit zu erreichen, weshalb wir hier zweckmäßig postulieren können:

    Je näher die relative Geschwindigkeit sich an die Lichtgeschwindigkeit annähert, desto größer wird der prozentuale Wert der Zeitdilatation ($\frac{t'}{t}$).

    Daran ausgerichtet verändert sich der absolute Wert der Zeitdilatation mit der absolut vergangenen Zeit, sodass die größten Werte für die Dehnung der Zeit dann auftreten, wenn wir zwei Systeme betrachten, welche sich mit annähernder Lichtgeschwindigkeit über lange Zeiträume relativ zueinander bewegen.

  • Berechne die Zeitdilatation, die durch die relative Bewegung zweier Systeme entsteht.

    Tipps

    Gib die Geschwindigkeiten immer in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ an.

    Rechne $1 \text{min} = 60\text{s}$.

    Lösung

    Mit der gezeigten Formel lässt sich der Betrag der gedehnten Zeit berechnen. In dieser ist $t'$ die gedehnte Zeit, $t$ die gemessene Zeit, $v$ die relative Geschwindigkeit und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

    Das Vorgehen ist an einem Beispiel leicht zu erkennen:

    Zwei Inertialsysteme bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von $ v= \frac{2}{3} \cdot c $ relativ voneinander weg.

    Wir haben $t = const. = 1 \text{min} = 60\text{s}$ , $c = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} $ und $ v = \frac{2}{3} \cdot c $.

    Damit ergibt sich :

    $t' = \frac{60s}{\sqrt{1-\frac{\frac{2}{3} \cdot c^2}{c^2}}}$.

    Nach Vereinfachen ergibt sich :

    $t' = \frac{60\text{s}}{\sqrt{1-\frac{0,4444}{1}}} = \frac{60\text{s}}{0,7454} = 80,498 \text{s} $.

    Die gedehnte Zeit nimmt den Wert $ t' = 80,498 s $ an und ist damit um $\Delta t = 80,498 \text{s} - 60 \text{s} = 20,498 \text{s}$ länger als die Zeit $t$.

  • Leite die Formel her.

    Tipps

    Ziel der Herleitung ist : $t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

    Stelle die Formel nach $t'$ um.

    Lösung

    $(ct')^2 = (ct)^2 + (vt')^2 → c^2t^2 = c^2t'^2 – v^2t'^2 $

    Nach $t$ ergibt sich :

    $t^2 = t'^2 \cdot \frac{c^2-v^2}{c^2}$. Mit Wurzel ziehen ergibt sich :

    $t = t' \cdot \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} → t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

    Die Zeitdilatation $t'$ geht also mit der Annäherung der relativen Geschwindigkeit $c$ an die Lichtgeschwindigkeit $c$ immer stärker gegen unendlich.