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Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie 10:10 min

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Transkript Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir wollen heute einen Blick auf die invarianten Größen in der speziellen Relativitätstheorie werfen. Nämlich die Raum-Zeit und die Impuls-Energie. Für dieses Video solltet ihr euch schon einigermaßen mit Relativitätstheorie auskennen. Auf jeden Fall solltet ihr den Film über die Minkowski-Diagramme und über die Zeitdilatation gesehen haben. Wir lernen heute: Was invariante Größen sind, was ich unter Raum-Zeit verstehen darf und was es mit der Impuls-Energie auf sich hat. Dann wollen wir mal. Invariant kommt aus dem Lateinischen und heißt so viel wie „unveränderlich“. Ein Beispiel für eine invariante Größe ist zum Beispiel in der klassischen Physik die Länge. Das heißt, egal von welchem Bezugssystem aus ich eine Länge beobachte, sie ist immer gleich groß. Da ich in der klassischen Physik zwischen zwei Bezugssystemen mit einer Galileo-Transformation hin- und herwechseln kann, bedeutet das also invariante Größen werden durch eine Galileo-Transformation nicht verändert. Wir zeichnen mal zwei Koordinatensysteme. Ein x-y-System und ein x’-y’-System. Bei beiden stehen die x- und y-Achsen in einem Winkel von 90 Grad zueinander. Wir wollen nun die hier braun eingezeichnete Länge l in beiden Koordinatensystemen messen. Dazu lesen wir in jedem Koordinatensystem, wie wir es gewohnt sind, parallel zu den Achsen den x- und y-Unterschied Delta x und Delta y, beziehungsweise Delta x’ und Delta y’ ab und benutzen den Satz des Pythagoras um l auszurechnen. l=Wurzel Delta x2+ Delta y2 oder Wurzel Delta x’2+ Delta y’2. Ich erhalte in beiden Koordinatensystemen das gleiche Ergebnis. Die Länge meines braunen Striches hängt also nicht vom Koordinatensystem ab, in dem ich es betrachte, da man in der Relativitätstheorie zwischen zwei Inertialsystemen mit einer Lorentz-Transformation hin- und herwechseln kann, bedeutet das also, wir müssen Größen finden, die sich durch eine Lorentz-Transformation nicht verändern lassen. Das heißt, in der klassischen Physik ist die Länge l invariant. Wie wir aber wissen, durch die Längenkontraktion, ist sie dies in der speziellen Relativitätstheorie nicht. Um genau zu sein, müssen wir uns eingestehen, bis jetzt verändert sich eigentlich so gut wie alles in der Lichtgeschwindigkeit, wenn wir nur schnell genug darauf zufahren. Das Einzige, was in allen Inertialsystemen konstant ist, ist die Lichtgeschwindigkeit. Heute lernen wir allerdings noch zwei weitere invariante Größen kennen. Die Raum-Zeit und die Impuls-Energie. Und was es mit der Raum-Zeit nun auf sich hat, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir zeichnen uns erst einmal ein Minkowski-Diagramm auf, in dem sich zwei zueinander bewegte Inertialsysteme befinden. Als Einheit für die Zeitachse nehmen wir wieder ct, beziehungsweise ct’, damit die x- und die ct-Achse die gleichen Einheiten haben, nämlich eine Lichtsekunde. Was wir nun messen wollen, ist der Abstand l zwischen zwei Ereignissen A und B. Es handelt sich hierbei nicht einfach um einen räumlichen Abstand, sondern um einen Abstand in Raum und Zeit. Wir fangen mit einem kleinen Trick an. Wir zeichnen in unser Minkowski-Diagramm ein drittes Inertialsystem ein. Und zwar genau das Inertialsystem, für das AB parallel zur Zeitachse ist. In diesem System ist AB gleich der Weltlinie eines unbewegten Gegenstandes. Und die Länge von AB kann ich einfach als c Delta t’’ festlegen. Ähnlich wie gerade im normalen x-y-Koordinatensystem, kann ich nun die beiden Komponenten, also Delta x, beziehungsweise Delta x’ und c Delta t, c Delta t’ der Strecke in den beiden anderen Inertialsystemen messen. Außerdem schreiben wir uns noch kurz auf, die Geschwindigkeit v soll die Relativgeschwindigkeit zwischen dem blauen und dem lilanen Inertialsystem sein, die Geschwindigkeit v’ die Geschwindigkeit zwischen dem roten und dem lilanen Inertialsystem. Nun habe ich zwar die einzelnen Komponenten markiert, aber das Ausrechnen der Länge ist gar nicht so einfach. Wir benutzen hierfür einen kleinen Trick und erinnern uns an die Formen der Zeitdilatation. Dann kann ich für die anderen beiden Inertialsysteme folgende Gleichungen aufstellen: Delta t’’= Delta t’Wurzel 1-v’2/c2 für das rote und für das blaue = Delta tWurzel 1-v2/c2. Wenn ich das nun in die Formel l=c Delta t’’ einsetze, kann ich die Länge korrekt in den Koordinaten der anderen beiden Inertialsysteme ausdrücken. Für das rote Inertialsystem ist die Länge dann c Delta t’ mal die Wurzel. Und ich bringe c und Delta t’ gleich in die Wurzel und erhalte l=Wurzel c2 Delta t’2-c2 Delta t2v2/c2. Ich kann im Bruch die c2 kürzen und erhalte =Wurzel c Delta t’2-v‘ Delta t2. Im blauen System ergibt sich überraschenderweise genau das gleiche, nur eben ohne die Striche. Die Länge ist dort Wurzel (c Delta t)2-(v Delta t)2. Nun ist aber die Strecke, die mit der Geschwindigkeit v während der Zeit Delta t zurückgelegt wird genau Delta x. Beziehungsweise Delta x’ ist genauso v’ Delta t’‘. Ich kann also den zweiten Term unter der Wurzel noch vereinfachen. Und ich erhalte im blauen System l=Wurzel (c Delta t)2 - Delta x2. Und für das rote System l=Wurzel (c Delta t’)2- Delta x’2. Und daraus folgt, für den raum-zeitlichen Abstand l zwischen zwei Ereignissen A und B erhalte ich in allen Inertialsystemen das gleiche Ergebnis. Dieser Abstand l ist also invariant. Während also in der klassischen Physik sowohl Raum als auch Zeit für sich absolut und invariant waren, sind die beiden in der speziellen Relativitätstheorie einzeln nicht invariant. Kombiniert zu dieser sogenannten Raum-Zeit jedoch, bilden sie auch in der speziellen Relativitätstheorie eine invariante Größe. Im letzten Kapitel wollen wir uns nun noch die zweite invariante Größe, die sogenannte Impuls-Energie, genauer ansehen. Diesmal gehen wir die Herleitung ein wenig rechnerischer an. Wir erinnern uns an die Formel für die Gesamtenergie, E=mc2. Wobei m die relativistisch vergrößerte Masse ist. Wir können also auch schreiben, mit dem Lorentz-Faktor k, der 1/Wurzel 1-v2/c2 ist, E=km0c2. Wir wissen außerdem, der Impuls P ist gleich Masse mal Geschwindigkeit. Auch hier können wir die relativistische Masse einsetzen und erhalten =km0v. Wir teilen nun Impuls durch Energie um einen Ausdruck für die Geschwindigkeit zu erhalten. Wir bekommen p/E=km0v/km0c2. Wie ihr seht, kürzen sich Lorentz-Faktor und Ruhemasse heraus, und der Ausdruck für die Geschwindigkeit ist v=pc2/E. Ich forme die Formel für die Gesamtenergie ein wenig um und setze den Lorentz-Faktor wieder ein, ich erhalte m0c2=EWurzel 1-v2/c2. Für v setze ich gleich unseren gerade gewonnen Ausdruck für die Geschwindigkeit ein, aber erstmal merken wir uns noch, m0c2 ist genau die sogenannte Ruheenergie E0. Das heißt, die Gesamtenergie eines Teilchens, wenn es in einem System ruht. Wir setzen nun die Geschwindigkeit ein und kürzen soweit es geht, wir erhalten EWurzel 1-(pc2/E)2/c2. Wir bringen erstmal das E unter die Wurzel, dann steht da Wurzel E2-E2P2*c4/E2/c2. Hier kürzt sich einiges weg und übrig bleibt =Wurzel E2-p2c2. Und wir erinnern uns, das war gleich der Ruheenergie E0. Man kann das Ganze nun quadrieren und erhält den Ausdruck E02=E2-(pc)2 und das war es auch schon. Die beiden Ausdrücke sind äquivalent und wir merken uns, die Impulsenergie Ep, also Wurzel E2-(pc)2 eines Teilchens entspricht seiner Ruheenergie und ist damit invariant. Wir wollen nochmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Invariante Größen sind durch den Wechsel des Bezugssystems nicht veränderbar. Die folgenden Größen, die wir heute kennengelernt haben, sind in der speziellen Relativitätstheorie invariant. Der raum-zeitliche Abstand l zwischen zwei Ereignissen, er hat den Wert Wurzel (c Delta t)2- Delta x2 und die Impuls-Energie Ep, die gleich Wurzel E2-(pc)2 ist. Ihr Wert entspricht der Ruheenergie. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle!

Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die invarianten Größen in der speziellen Relativitätstheorie.

    Tipps

    Drei der genannten Größen sind in der speziellen Relativitätstheorie invariant.

    Lösung

    In der speziellen Relativitätstheorie sind die Größen Lichtgeschwindigkeit, Raum-Zeit und Impuls-Energie invariant.

    Das bedeutet, dass sich diese Größen bei der Anwendung der Lorentztransformation nicht verändern.

    Demgegenüber stehen Raum und Zeit als einzelne Größen. Sie sind aufgrund der Längenkontraktion und Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie nicht invariant.

  • Fasse dein Wissen über invariante Größen in der klassischen Physik und der speziellen Relativitätstheorie zusammen.

    Tipps

    Was bedeutet Invarianz wörtlich übersetzt?

    Welche beiden Bereiche der Physik werden hier gegenübergestellt?

    Transformationen dienen der Überführung von Koordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes.

    Lösung

    Invarianz beschreibt in der Physik die Unveränderlichkeit von physikalischen Größen. In der klassischen Mechanik werden die Koordinaten eines Objektes durch die Galileitransformation von einem Koordinatensystem in ein anderes überführt. In der speziellen Relativitätstheorie gilt die Lorentztransformation.

    Vergleicht man die klassische Mechanik mit der speziellen Relativitätstheorie, so fallen in Bezug auf die Invarianz von physikalischen Größen folgende Unterschiede auf:

    In der klassischen Mechanik ist die Länge eine invariante Größe, in der speziellen Relativitätstheorie jedoch nicht. In der speziellen Relativitätstheorie sind Raum und Zeit nur zusammen als Raum-Zeit invariant, in der klassischen Physik sind sie beide für sich invariant. Darüber hinaus ist die Lichtgeschwindigkeit und die Impuls-Energie in der speziellen Relativitätstheorie invariant.

  • Gib die Größen zur Berechnung von Raum-Zeit und Impuls-Energie wieder.

    Tipps

    Die erste Formel dient zur Berechnung der Raum-Zeit, die zweite zur Berechnung der Impuls-Energie.

    Beide Formeln enthalten als eine Größe die Lichtgeschwindigkeit.

    Die erste Formel wurde mit Hilfe eines Minkowski-Diagramms hergeleitet. Welche Achsen treten dort auf?

    Bei der zweiten Formel müssen insgesamt drei verschiedenen Energien definiert werden.

    Lösung

    Mit den gezeigten Formeln können Raum-Zeit und Impuls-Energie in verschiedenen über die Galileitransformation miteinander verbundenen Koordinatensystemen bestimmt werden.

    Darüber hinaus zeigt sich anhand dieser Formeln, dass sowohl die Raum-Zeit als kombinierte Größe in der speziellen Relativitätstheorie sowie die Impuls-Energie invariant sind. Unabhängig davon, in welchem Bezugssystem ich sie bestimme, ändert sie ihre Größe nicht.

  • Analysiere den wichtigsten Gedankenschritt bei der Herleitung der Formel für die Raum-Zeit.

    Tipps

    Welche Größen tauchen in der eingangs genannten Formel auf?

    Welche davon könnte ersetzt werden?

    Welche Gesetzmäßigkeit der speziellen Relativitätstheorie verbirgt sich dahinter?

    Lösung

    Die Herleitung der Formel erfolgt durch die Verwendung eines Lösungsschrittes, der die Zeitdilatation verwendet: $\Delta t´´=\Delta t´\cdot \sqrt {1-\frac {v´^2} {c^2}}=\Delta t\cdot \sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}$.

    Durch Einsetzen der Formel für die Zeitdilatation kann die Formel für die Raum-Zeit und die Invarianz dieser ermittelt werden: $l=\sqrt {(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2}$.

  • Wende dein Wissen über die Bestimmung der Raum-Zeit an.

    Tipps

    Die Länge kann in beiden Systemen beschrieben werden. Die Größen zwischen den Systemen dürfen sich aber nicht vermischen.

    Die auftretenden Größen entsprechen (abgesehen von der Differenz) den Achsen im Minkowski-Diagramm.

    Lösung

    Die Formel für die raumzeitliche Länge l in verschiedenen über die Lorentztransformation miteinander verbundenen Systemen kann immer gleich aufgestellt werden: Vom quadrierten Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und Zeitdifferenz wird die Raumdifferenz zum Quadrat abgezogen und anschließend aus dem gesamten Term die Wurzel gezogen. Diese Größen kann man sich über die Beschriftung der Achsen im Minkowski-Diagramm einprägen. (Einfach gesagt: Wurzel aus y-Achsen-Differenz zum Quadrat minus x-Achsen-Differenz zum Quadrat).

    Dieses Prinzip ist immer gleich und kann auf beliebig viele Systeme angewendet werden. Wird die Länge in einem System nach der genannten Formel beschrieben, dürfen jedoch nur Zeit- und Raumdifferenz dieses Systems verwendet werden.

  • Beweise, dass die Impuls-Energie eines Teilchens in der speziellen Relativitätstheorie invariant ist.

    Tipps

    Der Lorentzfaktor ist $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

    Es gilt: $E_0=m\cdot c^2$.

    Lösung

    Aus den gegebenen Formeln für die Gesamtenergie und den Impuls eines Teilchens wurde mit Hilfe eines geschickt gewählten Ansatzes die Beschreibung der Geschwindigkeit des Teilchens mittels Impuls und Gesamtenergie ermöglicht.

    Dieser Term konnte unter Verwendung des Lorentzfaktors so eingesetzt werden, dass ein Ausdruck für die Ruheenergie des Teilchens mit Hilfe der Größen Gesamtenergie, Impuls und Lichtgeschwindigkeit hergeleitet werden konnte.

    Damit wurde die Invarianz der Impuls-Energie in der speziellen Relativitätstheorie bewiesen.