Längenkontraktion

Längenkontraktion Übung

• Nenne die Parameter, die die Längenkontraktion beeinflussen.

  Tipps

  Wir können eine Länge immer mit $ l = v \cdot t $ berechnen.

  Der Effekt ist erst bei Geschwindigkeiten, die sich der Lichtgeschwindigkeit annähern, erkennbar.

  Lösung

  Die Längenkontraktion ist mit Hilfe der Formel $l' = l \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ berechenbar.

  Dabei ist l die Länge, die ein unbewegter Beobachter einem Objekt zuordnet und l' die kontrahierte, also veränderte Länge. Diese Längenänderung ist umso größer, je schneller die relative Bewegung ist. Für den Fall, dass die Geschwindigkeit der Bewegung gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, also $v = c$, folgt, dass die kontrahierte Länge $l' = 0$ ist. Weiterhin hat natürlich auch die Gesamtlänge Einfluss auf den absoluten Effekt der Kontraktion. Ein Objekt scheint sich also immer mehr zusammenzuziehen, je schneller sein Beobachter ist. Da dieser Effekt erst merklich auftritt, wenn man 10% der Lichtgeschwindigkeit erreicht, können wir ihn im Alltag, etwa bei einer Auto- oder Bahnfahrt, nicht beobachten.

• Gib an, was unter Längenkontraktion zu verstehen ist.

  Tipps

  Relativistische Effekte treten nur bei sehr hohen Geschwindigkeiten auf.

  Kontrahieren bedeutet zusammenziehen.

  Lösung

  Je schneller sich ein Beobachter bewegt, umso kürzer nimmt er die Länge von Objekten in Bewegungsrichtung wahr.

  Die Längenkontraktion ist mit der Zeitdilatation verknüpft und befasst sich mit dem Zusammenziehen der Raumlänge.

  Das können wir schon an der Bezeichnung Längenkontraktion erkennen. Kontrahiert etwas, so zieht es sich zusammen. Hier muss sich also nach dem Wortsinn der Raum zusammenziehen.

  Erkennbare Effekte treten allerdings erst bei sehr großen Geschwindigkeiten auf, sodass wir im Alltag Längenkontraktion nicht beobachten können.

  Erst ab etwa $ \frac{1}{10} \cdot c$ ist dieser Effekt relevant. Für geringere Geschwindigkeiten ist die Abweichung zwischen $l$ und $l'$ so gering, dass diese fast keine Bedeutung haben.

• Ordne die Effekte der Längenkontraktion qualitativ.

  Tipps

  Wir können Längenkontraktion im Alltag nicht beobachten.

  Längenkontraktion tritt erst bei sehr großen Geschwindigkeiten merklich auf.

  Lösung

  Generell gilt : Die Kontraktion der Länge tritt nur für sehr große Geschwindigkeiten auf, also dann, wenn sich die Geschwindigkeit einer relativen Bewegung der Lichtgeschwindigkeit annähert. Selbst für einen Rennwagen, der mit bis zu $110 \frac {m}{s} $ schon sehr schnell unterwegs ist, sind die eintretenden Effekte derart gering, dass es sich nicht lohnt, diese zu betrachten.

  Nach der Formel der Längenkontraktion gilt :

  $ l' = l \cdot {1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}} $.

  Den Wert der Kontraktion können wir als $\Delta l = l – l' $, also als den Unterschied der Ausgangslänge und der kontrahierten Länge, verstehen. Die Kontraktion der Länge nimmt ihren größten Wert an, wenn die Lichtgeschwindigkeit erreicht ist. Für $v = c $ ergibt sich $l' = 0$ und damit $\Delta l - 0 = l $.

  Es können also dann hohe Werte für die Kontraktion erreicht werden, wenn die Länge $l$ und die Geschwindigkeit $v$ möglichst groß sind. Kaum merkliche, minimale Werte erreichen wir hingegen bei relativ langsamen (Rennwagen) und kleinen Objekten.

• Berechne die Längenkontraktion.

  Tipps

  Wenn du $v$ als Vielfaches von $c$ verwendest, kannst du die Dezimalbrüche direkt zur Berechnung von $l'$ nutzen.

  Lösung

  Mit der Formel $l' = l \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ können wir die Längenkontraktion berechnen. Wir nehmen die Lichtgeschwindigkeit mit $c = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} $ an.

  Wir setzen also zunächst die gegebenen Werte für l$l,v,c$ ein. Danach ist es sinnvoll, den Term unter der Wurzel auszuwerten und den Wert der gesamten Wurzel zu berechnen. So können wir abschließend den erhaltenen Wert mit der Länge $l$ multiplizieren und erhalten die kontrahierte Länge $l'$.

  Ein Beispiel :

  Gegeben sind die Länge $l = 82~$ Lichtminuten und die Geschwindigkeit $v = 0,6 c$.

  Zunächst $l$ in $\text{m}$ umrechnen: $l' = 82 \text{Lm} \cdot 60 \frac{\text{s}}{\text{min}} \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} = ...$

  Auswerten des Wurzelterms liefert :

  $\sqrt{1-\frac{0,6^2}{1^2}} = \sqrt{1-\frac{0,36}{1}} = \sqrt{1-0,36}= \sqrt{0,64} = ...$

• Gib an, warum die Längenkontraktion im Alltag nicht zu beobachten ist.

  Tipps

  Lösung

  Die Längenkontraktion berechnet sich nach der Formel :

  $l' = l \cdot \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}$.

  Sie ist abhängig von der Ausgangslänge $l$, der relativen Geschwindigkeit $v$ und der Lichtgeschwindigkeit $c$ .

  Da $l'$ über den Term $\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}$ direkt mit $l$ zusammenhängt, nimmt $l'$ für sehr große $l$ ebenfalls große Werte an.

  Da jedoch $\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}$ erst für sehr große relative Geschwindigkeiten $v$ von mindestens $v_g = \frac{1}{10} v$ überhaupt relevante Effekte zeigt, muss die Geschwindigkeit sehr groß sein, nämlich $ 3 \cdot 10^6 \frac{m}{s}$ betragen.

  Die dabei auftretende Längenkontraktion $l$ wäre dennoch nur etwa $ l' = 0,995 \cdot l$ und damit die Länge gerade mal um $0,5% $ kontrahiert.

  Du siehst also: Die Geschwindigkeiten des Alltags ( Ein Rennwagen ist höchstens $ v_r =400 \frac{km}{h} $ schnell) sind sehr viel geringer, als die Lichtgeschwindigkeit und es tritt daher keine Längenkontraktion auf.

  Auch sind die Entfernungen auf der Erde so gering, dass die Effekte der Längenkontraktion nicht messbar auftreten. Man müsste Distanzen betrachten, die zwischen den Planeten unseres Sonnensystems bestehen, um tatsächlich messbare Effekte zu erhalten.

• Leite die Formel der Längenkontraktion her.

  Tipps

  Ansatz der Herleitung ist die Formel der Zeitdilatation.

  Lösung

  Wir vergleichen zwei Systeme :

  Hier System 1 : Erde und System 2 : Rakete

  Die Indizierung richtet sich nach der festgelegten Nummerierung

  Es ist $v_1 = \frac{l}{t'} $ und $v_2 = \frac{l'}{t}$.

  In Worten ausgedrückt heißt das: Die Geschwindigkeit im System Erde entspricht dem Quotienten aus unkontrahierter Länge und dilatierter Zeit. Die Geschwindigkeit im System Rakete der zusammengezogenen Länge und der ungedehnten Zeit.

  Da der Betrag der relativen Geschwindigkeit bei zwei zueinander bewegten Inertialsystemen für beide Systeme gleich groß sein muss, kommen wir mit dem Ansatz $v_1 = v_2$ zu :

  $\frac{l}{t'} = \frac{l'}{t}$ .

  Mit der Formel für die Zeitdilatation $ t' = \frac{t}{1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}}$ ergibt sich :

  $ l' = l \cdot {1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}} $.

  Diese Formel bezeichnet man als die Formel der Längenkontraktion im bewegten System.