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Brüche addieren

Hauptnenner, Nenner gleich machen, nennergleich machen, kgV

Was ist ein Bruch?

Bei der Addition von Brüchen sind Brüche die Summanden einer Additionsaufgabe.

Und was ist ein Bruch? Stelle dir vor, du möchtest eine Pizza in vier gleich große Stücke teilen. Jedes dieser Stücke ist dann ein Viertel der Pizza. Drei Viertel einer Pizza kannst du hier sehen:

pizza.JPG

Ein Bruch besteht immer aus drei Teilen, dem Bruchstrich und zwei Zahlen. Diese Pizza kann durch den Bruch $\frac34$ beschrieben werden.

  • Der Strich wird Bruchstrich genannt und steht für das Divisionszeichen. Es wird die obere durch die untere Zahl dividiert.
  • Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner, weil sie dem Bruch seinen Namen gibt, zum Beispiel „Viertel“. Der Nenner gibt also an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes unterteilt wird.
  • Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Er gibt an, wie viele dieser Teile betrachtet werden: In unserem Fall sind es drei Teile („drei Viertel“).

Wie werden gleichnamige und ungleichnamige Brüche addiert?

Wir haben bereits festgestellt, dass der Nenner den Bruch benennt. Du kannst dir das so ähnlich vorstellen wie eine Maßeinheit. Betrachten wir ein Beispiel, um das besser zu verstehen:

Paul benötigt von zu Hause bis zur Schule $30$ Minuten, von der Schule bis zu seiner Oma fährt er eine Stunde. Von dort wieder nach Hause braucht er $45$ Minuten. Wie lange ist Paul insgesamt unterwegs?

Junge.JPG

Wir können die Zahlen natürlich nicht einfach zusammenrechnen, da die Angaben in verschiedenen Maßeinheiten (Minuten und Stunden) vorliegen. Wir müssen also alle Angaben in einer gemeinsamen Maßeinheit angeben, zum Beispiel in Minuten. Der Weg von der Schule zu Pauls Oma dauert dann $60$ Minuten.

Jetzt kann addiert werden: $30+60+45=135$. Paul ist also insgesamt $135$ Minuten oder zwei Stunden und $15$ Minuten unterwegs.

Addition gleichnamiger Brüche

Ebenso kannst du Brüche nur addieren, wenn sie den gleichen Nenner haben. Brüche mit gleichem Nenner werden als gleichnamig bezeichnet. Sind zwei Brüche gleichnamig, kannst du sie addieren, indem du

  • die Zähler addierst und
  • den Nenner beibehältst.

Dies ist genau wie bei Paul und seiner Fahrtzeit. Du addierst die Anzahl der Minuten und behältst die Maßeinheit Minuten bei. Schauen wir uns ein erstes Beispiel an:

$\frac37+\frac27=\frac{3+2}7=\frac57$

Addition ungleichnamiger Brüche

Können wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht addieren? Doch, das geht. Wir müssen die Brüche aber zuerst gleichnamig machen, indem wir die Brüche kürzen oder erweitern. Dabei gehst du wie folgt vor:

  • Du suchst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner.
  • Dann erweiterst oder kürzt du einen oder beide Brüche so, dass sie einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner, haben.
  • Wenn die Brüche gleichnamig sind, kannst du die Zähler addieren und den Hauptnenner beibehalten.

Beim Erweitern multiplizierst du den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl.

Beim Kürzen dividierst du den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl.

Beispiel 1

Wir wollen eine Addition von Brüchen durchführen: $\frac12+\frac13$

  • Die beiden Nenner sind $2$ und $3$.
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ist $6$.
  • Wir erweitern den linken Bruch mit $3$ und den rechten Bruch mit $2$: $\frac12+\frac13=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac36+\frac26$.
  • Nun sind die Brüche gleichnamig und können addiert werden: $\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac{3+2}{6}=\frac56$.

Beispiel 2

Betrachten wir nun die Summe $\frac37+\frac5{14}$:

  • Der Hauptnenner der beiden Brüche ist $14$.
  • Dieses Mal muss nur der linke Bruch erweitert werden, nämlich mit $2$.
  • Dies ergibt: $\frac37+\frac5{14}=\frac{3\cdot 2}{7\cdot 2}+\frac5{14}=\frac{6}{14}+\frac{5}{14}=\frac{5+6}{14}=\frac{11}{14}$.

Das kleinste gemeinsame Vielfache

Manchmal ist es gar nicht so einfach, das kleinste gemeinsame Vielfache zu ermitteln. Dazu gehst du wie folgt vor:

Zuerst bestimmst du die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen. Lass uns die Zahlen $12$ und $18$ nehmen:

  • $12=2\cdot 2\cdot 3$ und
  • $18=2\cdot 3\cdot 3$.

Nun schaust du dir die Primfaktoren der beiden Zahlen an. Es sind die $2$ und die $3$. Das kleinste gemeinsame Vielfache lässt sich nun so berechnen: Wir bestimmen die maximale Anzahl

  • an $2$en: Es gibt zwei $2$en in der Zerlegung von $12$.
  • an $3$en: Es gibt zwei $3$en in der Zerlegung von $18$.

Diese Faktoren verwenden wir nun. Das kleinste gemeinsame Vielfache von $12$ und $18$ ist $2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$.

Wir müssen also $12$ mit $3$ und $18$ mit $2$ multiplizieren, um auf dieses kleinste gemeinsame Vielfache zu kommen.

Nun üben wir doch gleich mit diesen Zahlen im Nenner das Addieren von Brüchen:

$\frac{5}{12}+\frac{7}{18}=\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}+\frac{7\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}$

Das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz beim Rechnen mit Brüchen

  • Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz der Addition besagt, dass die Reihenfolge beim Addieren vertauscht werden darf: $a+b=b+a$.
  • Dieses Gesetz gilt auch für die Multiplikation: $a\cdot b=b\cdot a$.
  • Das Assoziativgesetz besagt, dass du nicht unbedingt von links nach rechts addieren oder multiplizieren musst: $(a+b)+c=a+(b+c)$ sowie $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.

Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten auch für die Addition von Brüchen. Diese Gesetze dienen dazu, „geschickt“ zu rechnen.

Beispiel zum Kommutativ- und Assoziativgesetz

Wenden wir das Assoziativgesetz gleich einmal auf die Summe $\frac23+\frac47+\frac13+\frac{10}7$ an.

Du könntest jetzt den Hauptnenner $21$ suchen, alle Brüche erweitern und dann die Zähler addieren. Wenn du genau hinschaust, erkennst du aber, dass jeweils zwei Brüche einen gemeinsamen Nenner haben. Vertausche doch einmal die Reihenfolge der Addition:

$\frac23+\frac47+\frac13+\frac{10}7=\frac23+\frac13+\frac47+\frac{10}7$

Nun kannst du jeweils die beiden Brüche mit den gemeinsamen Nennern addieren, indem du die Zähler addierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.

$\frac23+\frac13+\frac47+\frac{10}7=\frac{2+1}{3}+\frac{4+10}{7}=\frac33+\frac{14}7=1+2=3$

Das ist doch sicher einfacher! Oder?

Aufgaben und Übungen zur Addition von Brüchen

Beispiel 1

Betrachte die Addition: $~\frac14+\frac13+\frac24+\frac13$

Hier kannst du zunächst die gleichnamigen Brüche wie folgt zusammenfassen:

$\frac14+\frac13+\frac24+\frac13=\frac{1+2}4+\frac{1+1}3=\frac34+\frac23$

Jetzt machst du die übrigen Summanden gleichnamig. Das kleinste gemeinsame Vielfache von $3$ und $4$ ist $12$. Damit folgt:

$\frac34+\frac23=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}+\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{9}{12}+\frac{8}{12}=\frac{17}{12}=1\frac 5{12}$

Beispiel 2

Betrachte die Addition: $~\frac16+\frac12+\frac49$

Hier sind drei unterschiedliche Nenner vorhanden. Das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$, $6$ und $9$ ist $18$. Das kannst du wie folgt mittels Primfaktorzerlegung ermitteln:

  • $2=2$
  • $6=2\cdot 3$
  • $9=3\cdot 3$

Damit gilt: $\text{kgV}(2;6;9)=2\cdot 3\cdot 3=18$

Jetzt machst du die Summanden gleichnamig und addierst, indem du die Zähler addierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst. Das Ergebnis kannst du noch kürzen:

$\frac16+\frac12+\frac49=\frac{1\cdot 3}{6\cdot 3}+\frac{1\cdot 9}{2\cdot 9}+\frac{4\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac3{18}+\frac9{18}+\frac{8}{18}=\frac{3+9+8}{18}=\frac{20}{18}=1\frac 2{18}=1\frac 19$