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Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum 08:32 min

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Transkript Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre Dir heute die Stetigkeitssätze - Zwischenwertsatz, Nullstellensatz und den Satz vom Minimum und Maximum. Dazu werden wir uns den Zwischenwertsatz anhand einer Grafik herleiten. Dann werden wir ihn so abwandeln, dass wir den Nullstellensatz erhalten und zum Schluss erkläre ich kurz den Satz vom Minimum und Maximum. Ja wir haben ja kennengelernt, was es bedeutet, dass Funktionen stetig sind. Man sagt, anschaulich gesprochen, dass eine stetige Funktion kann man immer ohne abzusetzen durchzeichnen. Also Stetigkeit bedeutet anschaulich gesprochen, deswegen jetzt auch die Anführungsstriche, dass wir eine Funktion "durchzeichnen" können. Wir wollen uns jetzt anhand einer Grafik den Zwischenwertsatz verdeutlichen. Wir haben ein Koordinatensystem gegeben. Und wir haben ein Intervall [a,b], durch das eine stetige Funktion verläuft. Da diese Funktion stetig ist, verbindet sie diese zwei Punkte miteinander. Also man kann ohne abzusetzen von dem einen Punkt zum anderen zeichnen. Dieser erste Punkt hat die Koordinaten (a, f(a)) und der zweite Punkt hat die Koordinaten (b, f(b)). Und der Zwischenwertsatz sagt jetzt, dass die Funktion alle Funktionswerte zwischen f(a) und f(b) annimmt. Das bedeutet speziell für ein c zwischen f(a) und f(b), dass ich für dieses c einen Punkt auf dem Graphen finde. Das bedeutet, für ein c finde ich ein x0, das aus dem Intervall [a,b] kommt, so dass gilt f(x0) = c. Ja und das ist hier schon formuliert als Zwischenwertsatz: Ist eine reelle Funktion f stetig auf dem reellen Intervall [a,b], dann existiert für jedes c zwischen f(a) und f(b) ein x0 aus diesem [a,b] , so dass gilt: f(x0) = c. Gleich werden wir noch den Nullstellensatz und den Satz von Minimum und Maximum besprechen. Wir wollen jetzt noch einmal kurz überlegen, was passiert, wenn man in der Voraussetzung beim Zwischenwertsatz darauf verzichtet, dass f stetig ist. Also wir wollen jetzt rausfinden, ob diese Stetigkeit auch notwendig ist. Also wir sagen jetzt, f ist NICHT stetig. Und das kann man sich so überlegen, indem man sich ein Beispiel überlegt, was nicht stetig ist. Das ist die Vorzeichenfunktion zum Beispiel. Und wir sehen gleich den Grafen der Vorzeichenfunktion. Der verläuft ja erst bei -1, dann springt er auf die Null, dann springt er nochmal auf die Null auf eins. Anschaulich merkt man jetzt schon, dass die Vorzeichenfunktion an der Stelle Null nicht stetig ist, weil ich halt den Grafen nicht durchzeichnen kann. Ich wähle mir jetzt als reelles Intervall das Intervall [-1,1]. Und wir müssen jetzt überlegen, ob alle Funktionswerte zwischen -1 und 1 auch von der Funktion durchlaufen werden. Und man sieht jetzt sofort, dass das nicht der Fall ist. Zum Beispiel für ein c = 0,5 finde ich keinen Punkt, der auf dem Graphen der Vorzeichenfunktion liegt. Das heißt, noch einmal in den Worten des Satzes: Ich finde für dieses c = 0,5 kein x0, so dass gilt, die Signum-Funktion von x0 = 0,5. Das bedeutet, man darf bei der Voraussetzung beim Zwischenwertsatz auf diese Stetigkeit nicht verzichten. Also es muss unbedingt da stehen, dass f stetig ist, weil sonst gilt diese Existenz nicht. Gleich werde ich Dir noch den Nullstellensatz vorstellen und den Satz vom Minimum und Maximum. Wir wollen jetzt noch den Nullstellensatz besprechen. Und das ist der Zwischenwertsatz für ein spezielles c, und zwar für c = 0. Das bedeutet, wir verschieben unseren Graphen f jetzt so weit nach unten, das c = 0 wird. Das sieht dann so aus. Wir haben also wieder ein reelles Intervall [a,b] und die Funktion geht einmal f(a) < 0 und f(b) > 0. Das nennt man einen Vorzeichenwechsel und dadurch, dass f stetig ist, muss jetzt in diesem Intervall [a,b] eine Nullstelle liegen. Wir wollen diesen Nullstellensatz jetzt noch einmal genau formulieren: Ist eine reelle Funktion f auf dem reellen Intervall [a,b] stetig und es gilt f(a) < 0 < f(b) oder f(b) < 0 < f(a), (Diese Bedingung ist dieser Vorzeichenwechsel. Bei uns war f(a) < 0 < f(b), kann aber auch natürlich andersrum sein. Das ist diese zweite Bedingung.) dann existiert mindestens eine Nullstelle von f in diesem Intervall [a,b]. Und für diesen Satz gibt es sogar ein Verfahren, wie man diese Nullstelle findet, und das ist das Intervallhalbierungsverfahren. Zum Schluss möchte ich noch einmal kurz anhand einer Grafik den Satz vom Minimum und Maximum erklären. Und wir haben wieder ein reelles Intervall [a,b] gegeben. Durch das verläuft wieder so eine Funktion, die stetig ist. Und der Satz besagt jetzt, dass wir in diesem Intervall ein Minimum und ein Maximum finden. Ein Maximum ist der Punkt des Graphen, dessen Funktionswert am Größten ist, des Intervalls. Und entsprechend ist das Minimum der Punkt, dessen Funktionswert am Kleinsten ist in diesem Intervall. Zum Schluss möchte ich noch einmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Wir haben uns als erstes den Zwischenwertsatz angeschaut und ihn anhand einer Grafik erklärt. Dann haben wir noch einmal nachvollzogen, warum man in der Bedingung nicht darauf verzichten kann, dass f stetig ist. Dann haben wir diesen Zwischenwertsatz so verändert, dass wir auf den Nullstellensatz kommen. Nämlich wir haben c = 0 gesetzt. Und zum Schluss haben wir uns noch einmal ganz kurz den Satz vom Minimum und Maximum angeschaut. Ich hoffe, Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.

1 Kommentar
  1. Hi Anne...so nochmal ein dickes Kompliment fuer eine grossartige Erklaerung, ich war krank als wir das Thema besprochen haben und habe mir alle Videos von dir dazu angesehen und es war extrem hilfreich!!Danke : )

    Von Leviera, vor mehr als 4 Jahren

Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Sätze.

    Tipps

    Zeichne dir eine stetige Funktion und überlege dir anschaulich, was die Sätze bedeuten.

    Lösung

    Stetigkeit bedeutet anschaulich gesprochen, dass wir eine Funktion durchzeichnen können.

    Ist eine reelle Funktion f stetig auf dem reellen Intervall $[a;b]$, dann existiert für jedes c zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ein $x_0 \in [a;b]$, sodass gilt: $f(x_0) = c$.

    Wenn gilt: $f(a) < 0 < f(b)$ oder $f(b) < 0 < f(a)$, dann existiert mindestens eine Nullstelle von f in $[a;b]$

    Mit dem Intervallhalbierungsverfahren, findest du Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f mit $f(a) < 0$ und $f(b) > 0$.

  • Gib den Satz vom Maximum und Minimum wieder.

    Tipps

    In einem reellen Intervall hat ein Graph immer einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

    Lösung

    Der Satz muss lauten:

    • In einem reellen Intervall ist, das Maximum der Punkt des Graphen, dessen Funktionswert am größten ist und das Minimum der Punkt des Graphen, dessen Funktionswert am kleinsten ist.
    Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einem Intervall, entweder der höchste Punkt oder der tiefste Punkt ist.

    Wenn das Maximum nur in seiner Umgebung der höchste Punkt ist, dann nennen wir diesen Punkt lokales Maximum. Ist er der höchste Punkt der gesamten Funktion, so nennen wir ihn globales/ absolutes Maximum.

  • Vervollständige den Nullstellensatz.

    Tipps

    Der Nullstellensatz ist der Zwischenwertsatz für ein bestimmtes c, nämlich $c = 0$.

    Lösung

    Der Satz lautet richtig:

    Ist eine reelle Funktion f auf dem rellen Intervall [a;b] stetig und es gilt:

    • $f(a) < 0 < f(b)$ oder
    • $f(b) < 0 < f(a)$
    dann existiert mindestens eine Nullstelle von f in [a;b].

  • Analysiere die Funktion $f(x) = x^2 + 1$.

    Tipps

    Diese Funktion besitzt keine Nullstelle.

    Wende den Satz vom Maximum und Minimum an.

    Lösung

    Wie du im Graphen erkennen kannst, besitzt die Funktion keine Nullstelle im gewählten Intervall. Um die Maxima und Minima in einem Intervall bestimmen zu können, musst du neben der ersten Ableitung, immer die Funktionswerte an den Rändern berechnen.

    Wie du die Extremwerte einer Funktion bestimmst, kannst du dir in weiteren Videos ansehen.

  • Entscheide, ob die Funktion $f(x) = x^2 - 3$ im Intervall $[0;3]$ eine Nullstelle besitzt.

    Tipps

    Berechne die Funktionswerte für $f(0)$ und $f(3)$.

    Was bedeutet der Vorzeichenwechsel?

    Lösung

    $f(x) = x^2 - 3$

    Wir berechnen zunächst die Funktionswerte für $f(0)$ und $f(3)$

    • $f(0) = 0^2 - 3 = -3$
    • $f(3) = 3^2 - 3 = 6$
    Da $f(0) < 0 < f(3)$, hat f in dem Intervall mindestens eine Nullstelle.

  • Begründe, warum die Funktion $f(x)$ mindestens eine Nullstelle im Intervall $[-1; 1]$ hat.

    Tipps

    Eine Funktion, die aus Produkten/Summen stetiger Funktionen besteht, ist stetig.

    Als Nullstelle bezeichnen wir die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse.

    Lösung

    Die Aussage, dass die Funktion mindestens eine Nullstelle im Intervall besitzt, weil das Intervall den Wert 0 beinhaltet ist falsch. Der Funktionswert bei $f(0)$ ist gleich Null, aber dies ist in diesem Beispiel zufällig.

    • Nehmen wir das Beispiel $f(x) = x - 3$ im intervall $[2;4]$. Hier haben wir eine Nullstelle im Intervall, da $f(2) < 0 < f(4)$ und die Zahl 0 liegt nicht im Intervall.
    Die Aussage, dass Funktionen dritten Grades drei Nullstellen haben, ist kein Grund dafür, dass sich die Nullstelle in diesem Intervall befinden muss.

    Die Stetigkeit im Intervall ist eine Voraussetzung für den Nullstellensatz. Jedoch hat nicht jede stetige Funktion eine Nullstelle.