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Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zwischenwertsatz, Nullstellensatz, Satz vom Minimum und Maximum kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Sätze.

    Tipps

    Zeichne dir eine stetige Funktion und überlege dir anschaulich, was die Sätze bedeuten.

    Lösung

    Stetigkeit bedeutet anschaulich gesprochen, dass wir eine Funktion durchzeichnen können.

    Ist eine reelle Funktion f stetig auf dem reellen Intervall $[a;b]$, dann existiert für jedes c zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ein $x_0 \in [a;b]$, sodass gilt: $f(x_0) = c$.

    Wenn gilt: $f(a) < 0 < f(b)$ oder $f(b) < 0 < f(a)$, dann existiert mindestens eine Nullstelle von f in $[a;b]$

    Mit dem Intervallhalbierungsverfahren findest du Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f mit $f(a) < 0$ und $f(b) > 0$.

  • Vervollständige den Nullstellensatz.

    Tipps

    Der Nullstellensatz ist der Zwischenwertsatz für ein bestimmtes c, nämlich $c = 0$.

    Lösung

    Der Satz lautet richtig:

    Ist eine reelle Funktion f auf dem rellen Intervall [a;b] stetig und es gilt:

    • $f(a) < 0 < f(b)$ oder
    • $f(b) < 0 < f(a)$
    dann existiert mindestens eine Nullstelle von f in [a;b].

  • Entscheide, ob die Funktion $f(x) = x^2 - 3$ im Intervall $[0;3]$ eine Nullstelle besitzt.

    Tipps

    Berechne die Funktionswerte für $f(0)$ und $f(3)$.

    Was bedeutet der Vorzeichenwechsel?

    Lösung

    $f(x) = x^2 - 3$

    Wir berechnen zunächst die Funktionswerte für $f(0)$ und $f(3)$

    • $f(0) = 0^2 - 3 = -3$
    • $f(3) = 3^2 - 3 = 6$
    Da $f(0) < 0 < f(3)$, hat f in dem Intervall mindestens eine Nullstelle.

  • Begründe, warum die Funktion $f(x)$ mindestens eine Nullstelle im Intervall $[-1; 1]$ hat.

    Tipps

    Eine Funktion, die aus Produkten/Summen stetiger Funktionen besteht, ist stetig.

    Als Nullstelle bezeichnen wir die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse.

    Lösung

    Die Aussage, dass die Funktion mindestens eine Nullstelle im Intervall besitzt, weil das Intervall den Wert 0 beinhaltet ist falsch. Der Funktionswert bei $f(0)$ ist gleich Null, aber dies ist in diesem Beispiel zufällig.

    • Nehmen wir das Beispiel $f(x) = x - 3$ im intervall $[2;4]$. Hier haben wir eine Nullstelle im Intervall, da $f(2) < 0 < f(4)$ und die Zahl 0 liegt nicht im Intervall.
    Die Aussage, dass Funktionen dritten Grades drei Nullstellen haben, ist kein Grund dafür, dass sich die Nullstelle in diesem Intervall befinden muss.

    Die Stetigkeit im Intervall ist eine Voraussetzung für den Nullstellensatz. Jedoch hat nicht jede stetige Funktion eine Nullstelle.

  • Gib den Satz vom Maximum und Minimum wieder.

    Tipps

    In einem reellen Intervall hat ein Graph immer einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

    Lösung

    Der Satz muss lauten:

    • In einem reellen Intervall ist das Maximum der Punkt des Graphen, dessen Funktionswert am größten ist und das Minimum der Punkt des Graphen, dessen Funktionswert am kleinsten ist.
    Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einem Intervall entweder der höchste Punkt oder der tiefste Punkt ist.

    Wenn das Maximum nur in seiner Umgebung der höchste Punkt ist, dann nennen wir diesen Punkt lokales Maximum. Ist er der höchste Punkt der gesamten Funktion, so nennen wir ihn globales/ absolutes Maximum.

  • Analysiere die Funktion $f(x) = x^2 + 1$.

    Tipps

    Diese Funktion besitzt keine Nullstelle.

    Wende den Satz vom Maximum und Minimum an.

    Lösung

    Wie du im Graphen erkennen kannst, besitzt die Funktion keine Nullstelle im gewählten Intervall. Um die Maxima und Minima in einem Intervall bestimmen zu können, musst du, neben der ersten Ableitung, immer die Funktionswerte an den Rändern berechnen.

    Wie du die Extremwerte einer Funktion bestimmst, kannst du dir in weiteren Videos ansehen.

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