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Zweite binomische Formel – Anwendung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Zweite binomische Formel – Anwendung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zweite binomische Formel – Anwendung

Die zweite binomische Formel lautet: (a - b)² = a² - 2ab + b². Begründen kann man diese Formel mit dem Ausmultiplizieren von Klammern, wie du im Video sehen kannst. Außerdem sehen wir uns zwei Beispiele zur Anwendung der zweiten binomischen Formel an. Das erste Beispiel ist einfach. Da setzen wir für a und b Zahlen ein. Das zweite Beispiel ist ziemlich kompliziert und trickreich. Damit soll gezeigt werden, was du nach einigen Übungsaufgaben mit der zweiten binomischen Formel alles machen können wirst.

Transkript Zweite binomische Formel – Anwendung

Hallo. Die Zweite Binomische Formel lautet (a-b)2=a2-2ab+b2. So, wir können uns kurz überlegen, warum diese Zweite Binomische Formel gilt und dann möchte ich zwei Beispiele zeigen. Ein sehr einfaches Beispiel mit Zahlen, da kann man auch noch nachrechnen, ob die Binomische Formel stimmt. Und dann ein ein bisschen witty tricky Beispiel, sodass Du sehen kannst, was man mit so einer Binomischen Formel alles machen kann. Aber das wird wirklich sehr tricky sein. Fangen wir an mit der Begründung dieser Binomischen Formel. Wir können das hier auch in zwei Klammern schreiben, ja: (a-b)2 bedeutet ja (a-b)×(a-b), beides natürlich in Klammern. Die Klammern kann man ausmultiplizieren: a×a=a2, a×(-b)=-ab und -b×a, ja, das ist auch -ab, b und a kann man ja vertauschen, weil es ja eine Multiplikation ist. -b×(-b)=+b2. Und wenn man jetzt diese beiden hier noch zusammenfasst zu -2ab, dann steht hier also genau diese rechte Seite der Binomischen Formel. So, kommen wir jetzt zur Anwendung der Zweiten Binomischen Formel. Wir können diese Formel auf den Term (5-3)2 anwenden, weil dieser Term entsteht, wenn wir in der Binomischen Formel a durch 5 und b durch 3 ersetzen. Anwenden bedeutet, wir schreiben jetzt die rechte Seite dieser Formel hier hin. Aber wir schreiben nicht einfach ab, sondern wir ersetzen a durch 5 und b durch 3. Los geht es: a ist 5 haben wir gesagt, Quadrat abschreiben, Minuszeichen abschreiben, 2 abschreiben, a ist 5, also ×5, b ist 3, also ×3, Pluszeichen abschreiben, b ist 3, schreiben wir hin, zum Quadrat wird abgeschrieben. [=52-2×5×3+32.] So und das war schon die Anwendung der Zweiten Binomischen Formel. Wir können noch eben nachrechnen, ob das hier tatsächlich stimmt. Also, hier steht ja 5-3=2, 22=4. 25 ist 52, das hier ist 30, 25-30=-5 und +9=+4 und genau das wollten wir auch erreichen. Also in dem Fall stimmt die Zweite Binomische Formel. Kommen wir jetzt zu diesem etwas tricky Beispiel. Wir haben (x2(1-2y+y2))/(xy-x). So und das sieht jetzt überhaupt nicht nach Binomischer Formel aus. Aber wir können ja noch ein bisschen umformen. Wir können zum Beispiel hier ausmultiplizieren und erhalten dann: (x2-2x2y+x2y2)/(xy-x). So, wir können jetzt diese Binomische Formel auf diesen Term, also auf diesen Zähler hier anwenden, weil dieser Term entsteht, wenn wir hier in der Binomischen Formel a durch x und b durch xy ersetzen. Ja, gucken wir mal genau, ob das auch stimmt. Wenn wir a durch x ersetzen, haben wir a2 und da x2, -2 steht sowieso schon da, a ist x und b ist ja xy, das heißt, ab ist dann x2y. Und dann haben wir das Pluszeichen und b2, also (xy)2 =x2y2 und das ist das, was hier steht. Also können wir jetzt die Zweite Binomische Formel anwenden. Das bedeutet, wir schreiben jetzt diese Seite der Gleichung hin, nur mit dem Unterschied natürlich, dass wir wieder a durch x und b durch xy ersetzen. Also können wir schreiben (x-xy)2/(xy-x). Jetzt sieht das fast so aus, als wenn man kürzen könnte. Aber wir müssen noch einen kleinen Trick anwenden. Nämlich hier -1 ausklammern. Und das geht so: Der Zähler bleibt stehen. Und im Nenner können wir schreiben -1×(x-xy). Ja, überlegen wir uns kurz, ob das so richtig ist: -1×x=-x und -1×-xy=+xy, also das, was hier steht. Jetzt können wir kürzen, denn wir haben hier einen Faktor und da noch mal den gleichen Faktor. Das Quadrat kommt weg, der kommt auch weg, dieser Faktor. Und dann können wir -1 ja quasi vor den Bruchstrich schreiben. Den Bruchstrich brauchen wir jetzt überhaupt nicht mehr. Also erhalten wir letztlich -(x-xy). Und hier können wir das Minuszeichen natürlich noch ausmultiplizieren. Und dann erhalten wir xy-x. So, und was haben wir jetzt erreicht? Wir haben hier einen ziemlich komplizierten Term gehabt. Aus dem haben wir einen sehr einfachen Term gemacht. Und das ist auch der Hauptgrund, warum die Zweite Binomische Formel in der Schule behandelt wird, weil sie Dir Terme einfacher macht. Damit macht sie auch Dein Leben einfacher. Du kannst also mit dieser Zweiten Binomischen Formel glücklicher Leben als ohne diese Formel. In diesem Sinne: Spaß damit und ein schönes Leben. Tschüss.

23 Kommentare

23 Kommentare
  1. Gut Erklärt! Hat mir echt weitergeholfen :)

    Von Tobias, vor 13 Tagen
  2. @ullrichs : Mein Name ist Freezy

    Von Samu K., vor 8 Monaten
  3. GUT 😊

    Von Marc Luca S., vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo ilaria n.,
    hast du Zugang zum Fach-Chat? Da könntest du deine Aufgabe mit einem unserer Lehrer zusammen durchgehen. Die Kollegen helfen dir gerne!
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  5. ich habe zwar verstanden wie diese Bionomische Formel funktioniert, mir leuchtet aber nicht ein wie ich sie anwenden kann, da bei mir immer die falschen Ergebnisse rauskommen

    Von ilaria n., vor mehr als 2 Jahren
Mehr Kommentare

Zweite binomische Formel – Anwendung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweite binomische Formel – Anwendung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die zweite binomische Formel wieder.

    Tipps

    Beispiel: $(x - y)^{2}$ = $x^{2} - 2xy + y^{2}$

    $(5 - 3)^{2}$ kann auch in zwei Klammern geschrieben werden.

    $(5 - 3)^{2} = (5 - 3)(5 - 3)$

    Drei der sechs Antworten sind richtig.

    Lösung

    Die zweite binomische Formel lautet: $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab + b^{2}$.

    Wir können $(a - b)^{2}$ auch in zwei Klammern schreiben und erhalten: $(a - b)^{2}$ = $(a - b)(a - b)$.

    Die Klammern können wir ausmultiplizieren und erhalten: $(a - b)(a - b)$ = $a^{2} - ab - ab + b^{2}$.

    Zusammengefasst ergibt das $-ab - ab = -2ab$. Daraus erhalten wir die zweite binomische Formel: $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab + b^{2}$.

    Bei allen weiteren in der Aufgabe dargestellten Gleichungen sind die Klammerregeln falsch angewendet worden. Bei der Umformung von Termen musst du immer aufpassen, dass du dich an alle Rechenregeln hältst.

  • Vereinfache den Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel.

    Tipps

    Beginne mit dem Ausmultiplizieren des Zählers, damit du die binomische Formel auf den Zähler anwenden kannst.

    Die zweite binomische Formel lautet:

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Man kann die zweite binomische Formel an einem Beispiel so anwenden:

    $(x-2)^2=x^2-2\cdot x \cdot 2 +2^2=x^2-4x+4$.

    Nach dem Kürzen kannst du den Term mit $(-1)$ multiplizieren.

    Lösung

    Wir wollen den Term $\frac {x^{2}(1 - 2y +y^{2})}{(xy - x)}$ mit Hilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen. Dazu müssen wir den Term zunächst so umformen, dass wir die binomische Formel anwenden können.

    • Wir multiplizieren den Zähler dafür aus und erhalten $\frac {x^{2}(1 - 2y +y^{2})}{(xy - x) = \frac {x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2}}{(xy - x)}}$.
    Wenn wir uns nun die zweite binomische Formel $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab +b^{2}$ ansehen, erkennen wir, dass der Term im Zähler die ausmultiplizierte Form besitzt.

    Ersetzen wir nun in der zweiten binomischen Formel $a$ durch $x$ und $b$ durch $xy$, erhalten wir:

    • $x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2} = (x - xy)^{2}$.
    Wir können also den Term $x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2}$ durch $(x - xy)^{2}$ ersetzen und erhalten:

    • $\frac {x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2}}{(xy - x)} = \frac {(x - xy)^{2}}{xy -x}$.
    Um kürzen zu können, müssen wir nun $(-1)$ im Nenner ausklammern und erhalten:
    • $\frac{(x - xy)^{2}}{-1\cdot (x - xy)}$.
    Nun können wir den Zähler und den Nenner durch $(x - xy)$ teilen und erhalten:
    • $ -(x - xy)$.
    Jetzt multipliziert wir den Term mit $(-1)$ und erhalten unser vereinfachtes Ergebnis: $(xy -x)$.

    Durch die Umformungen und die Anwendung der zweiten binomischen Formel haben wir den Term vereinfacht.

    $\frac {x^{2}(1 - 2y +y^{2})}{(xy - x)} = (xy -x)$

  • Bestimme die passende Umformung mit Hilfe der zweiten binomischen Formel.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Was verändert sich bei $(a-b)^2$?

    Bestimmte zu jedem Term das $a$ und das $b$ in der zweiten binomischen Formel und multipliziere den Term dann entsprechend aus.

    Lösung

    Die zweite binomische Formel lautet allgemein:

    • $(a - b)^{2} = a^2-ab-ab+b^2=a^{2} -2ab + b^{2}$.
    Wenn wir für $a = x$ und $b = 3$ einsetzen, erhalten wir:
    • $(x - 3)^{2} =x^2-2\cdot x \cdot 3 + 3^2= x^{2} - 6x + 9$.
    Wenn wir für $a = 8$ und $b = 3$ einsetzen, erhalten wir:
    • $(8 - 3)^{2} =8^2-2\cdot 8 \cdot 3+3^2= 64 - 48 + 9 = 25$.
    Wenn wir für $a = x$ und $b = xy$ einsetzen, erhalten wir:
    • $(x - xy)^{2} =x^2-2\cdot x \cdot xy+(xy)^2= x^{2} - 2x^{2}y + x^2 y^2$.
    Wenn wir für $a = x^{2}$ und $b = y$ einsetzen, erhalten wir:
    • $(x^{2} - y)^{2} =(x^2)^2-2\cdot x^2\cdot y+(y^2)^2= x^{4} - 2x^{2}y + y^{2}$.

  • Bestimme den vereinfachten Term unter Anwendung der zweiten binomischen Formel.

    Tipps

    Um die zweite binomische Formel anwenden zu können, musst du den Zähler zunächst ausmultiplizieren.

    Bestimme die Werte für $a$ und $b$.

    $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

    Du kannst einen Bruch kürzen, indem du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl oder den gleichen Term teilst.

    Lösung

    Hier soll der Term $\frac{x^{2} + 7(7 - 2x)}{(7 - x)}$ vereinfacht werden. Um die binomische Formel anwenden zu können, musst du den Term im Zähler zunächst ausmultiplizieren.

    • $\frac{x^{2} + 7(7 - 2x)}{(7 - x)} = \frac{x^{2} + 49 - 14x}{(7 - x)} = \frac{x^{2} - 14x + 49}{(7 - x)}$
    Nun hat dein Term die Form $a^{2} - 2ab + b^{2}.$ Wenn du jetzt für $a = x$ und $b = 7$ einsetzt, kannst du die zweite binomische Formel anwenden.
    • $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ $\to$ $x^{2} - 14x + 49 = (x - 7)^{2}$
    Jetzt können wir diese Vereinfachung in unseren Ausgangsterm einsetzen und erhalten:
    • $\frac{x^{2} - 14x + 49}{(7 - x)} = \frac{ (x - 7)^{2}}{(7 - x)}$.
    Um den Term kürzen zu können, musst du zuvor $(-1)$ im Nenner ausklammern und erhältst:
    • $\frac{ (x - 7)^{2}}{(7 - x)} = \frac{ (x - 7)^{2}}{-(x - 7)}$.
    Anschließend können wir den Zähler und den Nenner mit $(x - 7)$ kürzen und erhalten:
    • $\frac{ (x - 7)^{2}}{-(x - 7)} = -(x -7) = (7 - x)$.

  • Ergänze die Anwendung der zweiten binomischen Formel.

    Tipps

    In dem zweiten Formel mit Zahlen wurde $a$ durch $5$ und $b$ durch $3$ ersetzt.

    Lösung

    Die zweite binomische Formel lautet:

    • $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab + b^{2}$.
    Hier einige Beispiele, wie du quadrierte Terme und eben auch Summen umformen kannst:
    • $a^{2} = a\cdot a$
    • $ab^{2} = a\cdot b\cdot b$
    • $(ab)^{2} = a^{2}b^{2} = a\cdot a\cdot b\cdot b$
    • $(a + b)^{2} = (a + b)(a + b)$
    • $(a - b)^{2} = (a - b)(a - b)$
    Bei der Gleichung $(5 - 3)^{2}$ kannst du $a$ mit $5$ und $b$ mit $3$ ersetzen und die zweite binomische Formel anwenden.

    $(5 - 3)^{2}= 5^{2} - 2\cdot 5 \cdot 3 + 3^{2} = 25 - 30 + 9 = 4$

  • Bestimme die vereinfachten Terme mit Hilfe der zweiten binomischen Formel.

    Tipps

    Versuche die zweite binomischen Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ in dem Term zu erkennen.

    Lösung

    Um den Term $\frac{-(x^{2} -10x + 25)}{-(x - 5)}$ zu vereinfachen, wenden wir die zweite binomische Formel an.

    • $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ $\to$ $(x^{2} -10x + 25) = (x - 5)^{2}$
    Nun können wir $(x^{2} -10x + 25)$ durch $(x - 5)^{2}$ ersetzen. Wir erhalten:
    • $\frac{-(x^{2} -10x + 25)}{-(x - 5)} = \frac{-(x - 5)^{2}}{-(x - 5)}$.
    Die beiden Minuszeichen im Zähler und im Nenner heben sich auf und wir können den Term mit $(x - 5)$ kürzen.
    • $\frac{-(x - 5)^{2}}{-(x - 5)} = (x - 5)$

    Den Term $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x^{2} -6x + 9)}$ vereinfachen wir ebenfalls mit Hilfe der zweiten binomischen Formel. Hier können wir die zweite binomische Formel im Nenner anwenden,

    • da $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ $\to$ $x^{2} -6x + 9 = (x - 3)^{2}$.
    Nun können wir $x^{2} -6x + 9$ durch $(x - 3)^{2}$ ersetzen. Wir erhalten:
    • $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x^{2} -6x + 9)} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^{2}}$.
    Jetzt können wir den Zähler und den Nenner durch $(x - 3)$ teilen und erhalten:

    • $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^{2}} = \frac{(x + 3)}{(x - 3)}$.
    Dieser Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.

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