Zweite binomische Formel – Anwendung

Zweite binomische Formel – Anwendung Übung

• Gib die zweite binomische Formel wieder.

  Tipps

  Beispiel: $(x - y)^{2}$ = $x^{2} - 2xy + y^{2}$

  $(5 - 3)^{2}$ kann auch in zwei Klammern geschrieben werden.

  $(5 - 3)^{2} = (5 - 3)(5 - 3)$

  Drei der sechs Antworten sind richtig.

  Lösung

  Die zweite binomische Formel lautet: $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab + b^{2}$.

  Wir können $(a - b)^{2}$ auch in zwei Klammern schreiben und erhalten: $(a - b)^{2}$ = $(a - b)(a - b)$.

  Die Klammern können wir ausmultiplizieren und erhalten: $(a - b)(a - b)$ = $a^{2} - ab - ab + b^{2}$.

  Zusammengefasst ergibt das $-ab - ab = -2ab$. Daraus erhalten wir die zweite binomische Formel: $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab + b^{2}$.

  Bei allen weiteren in der Aufgabe dargestellten Gleichungen sind die Klammerregeln falsch angewendet worden. Bei der Umformung von Termen musst du immer aufpassen, dass du dich an alle Rechenregeln hältst.

• Vereinfache den Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel.

  Tipps

  Beginne mit dem Ausmultiplizieren des Zählers, damit du die binomische Formel auf den Zähler anwenden kannst.

  Die zweite binomische Formel lautet:

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Man kann die zweite binomische Formel an einem Beispiel so anwenden:

  $(x-2)^2=x^2-2\cdot x \cdot 2 +2^2=x^2-4x+4$.

  Nach dem Kürzen kannst du den Term mit $(-1)$ multiplizieren.

  Lösung

  Wir wollen den Term $\frac {x^{2}(1 - 2y +y^{2})}{(xy - x)}$ mit Hilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen. Dazu müssen wir den Term zunächst so umformen, dass wir die binomische Formel anwenden können.

  • Wir multiplizieren den Zähler dafür aus und erhalten $\frac {x^{2}(1 - 2y +y^{2})}{(xy - x) = \frac {x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2}}{(xy - x)}}$.

  Wenn wir uns nun die zweite binomische Formel $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab +b^{2}$ ansehen, erkennen wir, dass der Term im Zähler die ausmultiplizierte Form besitzt.

  Ersetzen wir nun in der zweiten binomischen Formel $a$ durch $x$ und $b$ durch $xy$, erhalten wir:

  • $x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2} = (x - xy)^{2}$.

  Wir können also den Term $x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2}$ durch $(x - xy)^{2}$ ersetzen und erhalten:

  • $\frac {x^{2} - 2x^{2}y +x^{2}y^{2}}{(xy - x)} = \frac {(x - xy)^{2}}{xy -x}$.

  Um kürzen zu können, müssen wir nun $(-1)$ im Nenner ausklammern und erhalten:

  • $\frac{(x - xy)^{2}}{-1\cdot (x - xy)}$.

  Nun können wir den Zähler und den Nenner durch $(x - xy)$ teilen und erhalten:

  • $ -(x - xy)$.

  Jetzt multipliziert wir den Term mit $(-1)$ und erhalten unser vereinfachtes Ergebnis: $(xy -x)$.

  Durch die Umformungen und die Anwendung der zweiten binomischen Formel haben wir den Term vereinfacht.

  $\frac {x^{2}(1 - 2y +y^{2})}{(xy - x)} = (xy -x)$

• Bestimme die passende Umformung mit Hilfe der zweiten binomischen Formel.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Was verändert sich bei $(a-b)^2$?

  Bestimmte zu jedem Term das $a$ und das $b$ in der zweiten binomischen Formel und multipliziere den Term dann entsprechend aus.

  Lösung

  Die zweite binomische Formel lautet allgemein:

  • $(a - b)^{2} = a^2-ab-ab+b^2=a^{2} -2ab + b^{2}$.

  Wenn wir für $a = x$ und $b = 3$ einsetzen, erhalten wir:

  • $(x - 3)^{2} =x^2-2\cdot x \cdot 3 + 3^2= x^{2} - 6x + 9$.

  Wenn wir für $a = 8$ und $b = 3$ einsetzen, erhalten wir:

  • $(8 - 3)^{2} =8^2-2\cdot 8 \cdot 3+3^2= 64 - 48 + 9 = 25$.

  Wenn wir für $a = x$ und $b = xy$ einsetzen, erhalten wir:

  • $(x - xy)^{2} =x^2-2\cdot x \cdot xy+(xy)^2= x^{2} - 2x^{2}y + x^2 y^2$.

  Wenn wir für $a = x^{2}$ und $b = y$ einsetzen, erhalten wir:

  • $(x^{2} - y)^{2} =(x^2)^2-2\cdot x^2\cdot y+(y^2)^2= x^{4} - 2x^{2}y + y^{2}$.

• Bestimme den vereinfachten Term unter Anwendung der zweiten binomischen Formel.

  Tipps

  Um die zweite binomische Formel anwenden zu können, musst du den Zähler zunächst ausmultiplizieren.

  Bestimme die Werte für $a$ und $b$.

  $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

  Du kannst einen Bruch kürzen, indem du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl oder den gleichen Term teilst.

  Lösung

  Hier soll der Term $\frac{x^{2} + 7(7 - 2x)}{(7 - x)}$ vereinfacht werden. Um die binomische Formel anwenden zu können, musst du den Term im Zähler zunächst ausmultiplizieren.

  • $\frac{x^{2} + 7(7 - 2x)}{(7 - x)} = \frac{x^{2} + 49 - 14x}{(7 - x)} = \frac{x^{2} - 14x + 49}{(7 - x)}$

  Nun hat dein Term die Form $a^{2} - 2ab + b^{2}.$ Wenn du jetzt für $a = x$ und $b = 7$ einsetzt, kannst du die zweite binomische Formel anwenden.

  • $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ $\to$ $x^{2} - 14x + 49 = (x - 7)^{2}$

  Jetzt können wir diese Vereinfachung in unseren Ausgangsterm einsetzen und erhalten:

  • $\frac{x^{2} - 14x + 49}{(7 - x)} = \frac{ (x - 7)^{2}}{(7 - x)}$.

  Um den Term kürzen zu können, musst du zuvor $(-1)$ im Nenner ausklammern und erhältst:

  • $\frac{ (x - 7)^{2}}{(7 - x)} = \frac{ (x - 7)^{2}}{-(x - 7)}$.

  Anschließend können wir den Zähler und den Nenner mit $(x - 7)$ kürzen und erhalten:

  • $\frac{ (x - 7)^{2}}{-(x - 7)} = -(x -7) = (7 - x)$.

• Ergänze die Anwendung der zweiten binomischen Formel.

  Tipps

  In dem zweiten Formel mit Zahlen wurde $a$ durch $5$ und $b$ durch $3$ ersetzt.

  Lösung

  Die zweite binomische Formel lautet:

  • $(a - b)^{2}$ = $a^{2} - 2ab + b^{2}$.

  Hier einige Beispiele, wie du quadrierte Terme und eben auch Summen umformen kannst:

  • $a^{2} = a\cdot a$
  • $ab^{2} = a\cdot b\cdot b$
  • $(ab)^{2} = a^{2}b^{2} = a\cdot a\cdot b\cdot b$
  • $(a + b)^{2} = (a + b)(a + b)$
  • $(a - b)^{2} = (a - b)(a - b)$

  Bei der Gleichung $(5 - 3)^{2}$ kannst du $a$ mit $5$ und $b$ mit $3$ ersetzen und die zweite binomische Formel anwenden.

  $(5 - 3)^{2}= 5^{2} - 2\cdot 5 \cdot 3 + 3^{2} = 25 - 30 + 9 = 4$

• Bestimme die vereinfachten Terme mit Hilfe der zweiten binomischen Formel.

  Tipps

  Versuche die zweite binomischen Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ in dem Term zu erkennen.

  Lösung

  Um den Term $\frac{-(x^{2} -10x + 25)}{-(x - 5)}$ zu vereinfachen, wenden wir die zweite binomische Formel an.

  • $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ $\to$ $(x^{2} -10x + 25) = (x - 5)^{2}$

  Nun können wir $(x^{2} -10x + 25)$ durch $(x - 5)^{2}$ ersetzen. Wir erhalten:

  • $\frac{-(x^{2} -10x + 25)}{-(x - 5)} = \frac{-(x - 5)^{2}}{-(x - 5)}$.

  Die beiden Minuszeichen im Zähler und im Nenner heben sich auf und wir können den Term mit $(x - 5)$ kürzen.

  • $\frac{-(x - 5)^{2}}{-(x - 5)} = (x - 5)$

  Den Term $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x^{2} -6x + 9)}$ vereinfachen wir ebenfalls mit Hilfe der zweiten binomischen Formel. Hier können wir die zweite binomische Formel im Nenner anwenden,

  • da $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ $\to$ $x^{2} -6x + 9 = (x - 3)^{2}$.

  Nun können wir $x^{2} -6x + 9$ durch $(x - 3)^{2}$ ersetzen. Wir erhalten:

  • $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x^{2} -6x + 9)} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^{2}}$.

  Jetzt können wir den Zähler und den Nenner durch $(x - 3)$ teilen und erhalten:

  • $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^{2}} = \frac{(x + 3)}{(x - 3)}$.

  Dieser Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.