Zweite binomische Formel – anschauliche Erklärung

Zweite binomische Formel – anschauliche Erklärung Übung

• Benenne die Teilflächen des Quadrates mit der Seitenlänge $a^2$.

  Tipps

  Die Fläche eines Rechteckes berechnest du aus dem Produkt der Seitenlängen. Haben die beiden Seiten zum Beispiel die Längen $f$ und $g$, hat das Rechteck die Fläche $f \cdot g$.

  Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

  Lösung

  Das Quadrat hat die Seitenlänge $a$ und damit die Fläche $a^2$. Um das Quadrat $(a-b)^2$ zu erhalten, kann vom großen Quadrat den rechten und den unteren Streifen mit der Fläche $a \cdot b$ abschneiden. Diese Flächen werden also von dem großen Quadrat subtrahiert. In beiden Flächen $a \cdot b$ ist das kleine Quadrat $b^2$ enthalten. Da man dieses also zweimal subtrahiert, muss es wieder einmal addiert werden. So hat man es insgesamt nur einmal abgezogen. Insgesamt erhält man dann die Fläche des Quadrates $(a-b)^2$:

  $(a-b)^2 = a^2 - a \cdot b - a \cdot b + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$.

• Erkläre, wie du aus dem Quadrat mit der Seitenlänge $a$ das Quadrat $(a-b)^2$ erhältst.

  Tipps

  Von einer Seite $a$ wird rechts die Länge $b$ abgeschnitten. Der übrige Teil ist dann $a$ vermindert um $b$.

  Die Fläche eines Rechteckes mit den Seiten $f$ und $g$ ist $A= f \cdot g$. Im Falle eines Quadrates mit der Seitenlänge $q$ ergibt sich $A = q \cdot q = q^2$.

  Lösung

  Die beschriebene Zerlegung des Quadrates ist die geometrische Interpretation der 2. binomischen Formel. Das bedeutet, dass der Ausdruck $(a-b)^2$ als Fläche eines geometrischen Objektes, nämlich eines Quadrates mit der Seitenlänge $a-b$, interpretiert wird.

  Man kann die 2. binomische Formel auch nur durch elementare Rechnungen herleiten. $(a-b)^2$ bedeutet, dass der Term $a-b$ mit sich selbst multipliziert wird. Die Klammern kann man dann ausmultiplizieren und vereinfachen:

  $\begin{align} (a-b)^2 &= (a-b) \cdot (a-b)\\ &= (a + (-b)) \cdot (a + (-b))\\ &= a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)\\ &= a^2 + (-a \cdot b) + (-a \cdot b) + b^2\\ &= a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{align}$

• Berechne die Fläche des hervorgehobenen Quadrates mit Hilfe der 2. binomischen Formel.

  Tipps

  Wie berechnest du die Fläche eines Rechteckes?

  Ein Quadrat ist übrigens ein spezielles Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

  Zur Erinnerung: Die zweite binomische Formel lautet:

  $(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$.

  Lösung

  Diese Aufgabe ist eine Anwendung der 2. binomischen Formel.

  Mit der 2. binomischen Formel rechnet man die Fläche über die Größen der Teilflächen aus: $(7~cm)^2 - 2 \cdot 7~cm \cdot 3~cm + (3~cm)^2 = 49~cm^2 - 42~cm^2 + 9~cm^2 = 16~cm^2$.

  Die Seiten des markierten Quadrates sind insgesamt $7~cm - 3~cm = 4~cm$ lang. Man könnte die Fläche also auch direkt ausrechnen: $(7~cm - 3~cm)^2 = (4~cm)^2 = 16~cm^2$. Natürlich liefern beide Rechnungen das gleiche Ergebnis.

  Wenn man die 2. binomische Formel mal vergessen hat, kann man sie auch durch einfaches Ausmultiplizieren erhalten:

  $(a-b)^2 = (a-b)\cdot (a-b) = a\cdot a - b\cdot a - a \cdot b + b\cdot b = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2$.

• Vergleiche die Terme miteinander.

  Tipps

  Du kannst die 2. binomische Formel umstellen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addierst bzw. subtrahierst.

  Durch Äquivalenzumformungen kannst du dir das Ausmultiplizieren der einzelnen Terme sparen:

  Lösung

  Man kann Gleichungen umformen, indem man auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addiert oder subtrahiert. Das ändert nichts an der Richtigkeit der Gleichung. So kann man zum Beispiel die 2. binomische Formel $(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$ umformen zu:

  • $(a-b)^2 - a^2 = - 2 \cdot a \cdot b + b^2$,
  • $(a-b)^2 - b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b$ oder auch
  • $(a-b)^2 + 2 \cdot a \cdot b = a^2 + b^2$.

  Man kann die 2. binomische Formel noch beliebig weiter umformen, da man zum Beispiel $(a-b)^2 - a^2$ auch als $- a^2 + (a-b)^2$ schreiben kann.

  Für die Anwendungen der 2. binomischen Formel $(9 - 4)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 + 4^2$ und $(7 - 2)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2 + 2^2$ ergeben sich dann zum Beispiel die folgenden Umformungen:

  • $(9 - 4)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 + 4^2$,
  • $- 2 \cdot 7 \cdot 2 + 2^2 = (7 - 2)^2 - 7^2$,
  • $(9 - 4)^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4 = 9^2 + 4^2$,
  • $7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2 = (7 - 2)^2 - 2^2$.

• Bestimme, wie die rechte Seite der 2. binomischen Formel lautet.

  Tipps

  Der Term $(a-b)^2$ kann auch als Produkt $(a-b) \cdot (a-b)$ geschrieben werden. Du kannst ihn ausmultiplizieren.

  Es gilt $(c - d) \cdot (e - f) = ce - cf - de + df$.

  Lösung

  Du kannst die 2. binomische Formel zum Beispiel nutzen, um das Quadrat großer Zahlen zu bestimmen. Dazu zerlegst du eine Zahl in eine Differenz aus zwei Zahlen, deren Quadrat du leicht bestimmen kannst.

  So kannst du beispielsweise das Quadrat von $57$ berechnen, in dem du $57$ in $(60-3)$ zerlegst:

  • $57^2 = (60-3)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 3 + 3^2 = 3.600 - 360 + 9 = 3~249$.

  Oder aber das Quadrat von $99$:

  • $99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10.000 - 200 + 1 = 9~801$.

  Bei $83^2$ wendest du die 2. binomische Formel zweimal an. Dazu brauchst du dann auf jeden Fall etwas zum schreiben, du kommst aber trotzdem ohne Taschenrechner aus:

  $\begin{align} 83^2 &= (100-17)^2 \\ &= 100^2 - 2\cdot 100\cdot 17 +17^2 \\ &= 10~000 - 3~400 + (20-3)^2 \\ &= 6~600 + 20^2 - 2\cdot 20\cdot 3 + 3^2 \\ &= 6~600 + 400 - 120 +9 \\ &= 6~889 \end{align}$

• Berechne, wie lang das Rosenbeet von Herr Quanz ursprünglich war.

  Tipps

  Die Seitenlänge beträgt ursprünglich $a$ Meter. Wie groß ist die Seitenlänge, wenn man sie um 2 verringert? Und wie berechnest du dann die Fläche des verkleinerten Quadrates?

  Ein Quadrat mit der Seitenlänge $(a-4)$ hat die Fläche $(a-4)^2$.

  Das verkleinerte Beet ist $16~m^2$ kleiner als das Beet mit der Fläche $a^2$. Für die größere Fläche gilt also auch $a^2 - 16$.

  Die beiden Terme ergeben dasselbe. Du kannst sie also gleichsetzen:

  $(a-2)^2 = a^2 - 16$.

  Lösung

  Da das Beet quadratisch ist, haben alle Seiten - vor der Verkleinerung - die Seitenlänge $a$. Das Beet hat dann eine Fläche der Größe $a^2$. Beide Seiten des Beetes werden um zwei Meter verkleinert. Damit ist das Beet immer noch quadratisch und hat die Seitenlänge $(a-2)$.

  Die Fläche beträgt dann nach der Verkleinerung $(a-2)^2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass die Fläche $16~m^2$ kleiner als vorher ist, also gilt für die vergrößerte Fläche auch $a^2 - 16$. Die beiden Terme ergeben also den gleichen Wert und können gleichgesetzt werden. $(a-2)^2$ kann mit Hilfe der 2. binomischen Formel ausmultipliziert werden. Anschließend kann die Gleichung umgeformt werden, um den Wert von $a$ zu erhalten:

  $\begin{align} (a-2)^2 &= a^2 - 16 &|& \text{2. binomische Formel} \\ a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 &= a^2 - 16 &|& 2^2=4, 2 \cdot a \cdot 2 = 4 \cdot a \\ - 4\cdot a +4 &= -16 &|& - 4\\ -4 \cdot a &= -20 &|& : (-4)\\ a &= 5 \end{align}$

  Antwort: Das Beet hatte vor der Verkleinerung eine Seitenlänge von $5~m$.

  Es kann auch eine Probe durchgeführt werden: Das Beet hatte dann ursprünglich eine Fläche von $(5~m)^2 = 25~m^2$. Wird es an beiden Seiten um zwei Meter verkleinert hat es eine Seitenlänge von $3~m$ und damit eine Fläche von $(3~m)^2 = 9~m^2$. Damit ist es um $16~m^2$ kleiner als vorher.