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Zinsrechnung 05:33 min

Textversion des Videos

Transkript Zinsrechnung

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video geht es um die Zinsrechnung. Sicherlich hast Du ein Sparbuch und bekommst jedes Jahr Zinsen gutgeschrieben. Weißt Du, wie die Bank die Zinsen berechnet? Wir werden die Begriffe der Zinsrechnung von den Begriffen der Prozentrechnung ableiten, die Grundformen der Zinsrechnung kennen- und umformen lernen sowie typische Aufgabenstellungen zur Zinsrechnung betrachten. Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Da es aber immer um Geld geht, verwendet man eigene Begriffe. Man spricht vom Kapital K und nicht vom Grundwert G. Man spricht von den Zinsen Z statt vom Prozentwert W. Und vom Zinssatz p % statt vom Prozentsatz p %. Wofür benötigst Du die Zinsrechnung? Zahlst Du Geld auf Dein Sparkonto ein, erhältst Du Zinsen. Leihst Du Dir Geld von der Bank, musst Du Zinsen bezahlen. Die Höhe der Zinsen Z auf das Kapital K hängt vom Zinssatz p % und von der Zeitdauer ab. Der Zinssatz bezieht sich meist auf ein Jahr, also pro anno, abgekürzt p.a.. Für alle Basisaufgaben der Zinsrechnung verwendest Du folgende Verhältnisformel: Das Kapital K verhält sich zu 100 wie die Zinsen Z zu p. Diese Verhältnisformel kannst Du nach der gesuchten Größe umformen und erhältst so die Grundformeln zur Berechnung des Kapitals, der Zinsen oder des Zinssatzes. Wie das genau geht, schauen wir uns jetzt an drei Beispielen an. Lena legt 300 Euro auf ihrem Sparbuch an, zu einem Zinssatz zu zwei Prozent. Wie viel Zinsen erhält sie nach einem Jahr? Gegeben ist das Kapital K = 300 Euro. Und der Zinssatz ist zwei Prozent. Gesucht ist Z. Du formst die Verhältnisformel nach Z um, indem Du beide Seiten mit p multiplizierst. Du erhältst: Z = (K * p)/100. Nun setzt Du die gegebenen Größen ein und erhältst Z = sechs Euro. Lena bekommt also sechs Euro Zinsen. Bilal legt 700 Euro auf seinem Sparbuch an und bekommt nach einem Jahr 21 Euro Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz vom Sparbuch? Gegeben ist das Kapital K = 700 Euro und die Zinsen Z = 21 Euro. Gesucht ist p. Du formst die Verhältnisformel nach p um. Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit p und erhältst (p * K)/100 = Z. Nun multiplizierst Du beide Seiten mit 100 und teilst danach die Gleichung durch K. Du erhältst p = (Z * 100)/K. Nun setzt Du die gegebenen Größen ein und erhältst p = 3. Das Sparbuch hat einen Zinssatz von drei Prozent. Nastasia bekommt bei einem Zinssatz von vier Prozent nach einem Jahr 15 Euro Zinsen. Was für ein Kapital hat sie auf ihrem Sparbuch angelegt? Gegeben sind p = 4 und die Zinsen Z = 15 Euro. Gesucht ist K. Du formst die Verhältnisformel nach K um, indem Du beide Seiten der Gleichung mit 100 multiplizierst. Du erhältst K = (Z * 100)/p. Nun setzt Du die gegebenen Größen ein und erhältst K = 375 Euro. Nastasia hat ein Kapital von 375 Euro angelegt. Wie Du gesehen hast, lohnt es sich, Deine Ersparnisse bei einer Bank anzulegen. Durch die Zinsen wachsen Deine Ersparnisse von Jahr zu Jahr. Mit den drei Grundformeln bist Du in der Lage, das Kapital, die Zinsen und den Zinssatz zu berechnen.

62 Kommentare
  1. Breuchte am rand ein Taschenrechner

    Von Julia B., vor 9 Tagen
  2. @Nicolesteffen:
    meinst du die zweite Beispielaufgabe im Video oder Aufgabe 2 aus der interaktiven Übung?

    Von Jenny Marq, vor etwa einem Monat
  3. Ich verstehe die 2 Aufgabe nicht richtig.

    Von Nicolesteffen1, vor etwa einem Monat
  4. Nice Stimä

    Von Jaspi, vor etwa 2 Monaten
  5. Sehr gutes Video!

    Von Dragon Ball Fan, vor etwa 2 Monaten
  1. Hallo Daniela Utz,
    grundsätzlich handelt es ich dann ja um Zinseszinsen, anders als in diesem Video.
    Bei einer mehrjährigen Laufzeit gilt folgende Formel:
    K = K₀·(1 + p/100)ⁿ. Dabei ist K das Endkapital, K₀ das Anfangskapital, p der Zinssatz und n die Jahre. Wenn nun alle Werte außer der Laufzeit n gegeben sind, musst du sie einsetzen und dann mit Hilfe des Logarithmus nach n lösen.
    Wie sowas geht, kannst du dir mal hier anschauen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/exponentialgleichungen-loesungsmethoden
    Gleich die erste Methode in dem Video ist dabei sehr hilfreich.
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Florian H., vor 6 Monaten
  2. Was mache ich wenn mir das Jahr fehlt also wie viele Jahre man das Geld anlegt

    Von Daniela Utz, vor 6 Monaten
  3. Hallo N2019,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 6 Monaten
  4. Ich verstehe das irgendwie nicht!!😞😥😥😓😓😢😢

    Von N2019, vor 6 Monaten
  5. die 15 euro haben sich gelohnt

    Von Enzacardillo, vor 7 Monaten
  6. super Tolles Video !!!

    Von A Olenberg80, vor 8 Monaten
  7. das ist echt gut erklärt

    Von Dervodeli, vor 9 Monaten
  8. Ich habs mir ein 2 mal angeguckt dann hab ich es verstanden

    Von Silas 4, vor 10 Monaten
  9. Ich habs naja verstanden

    Von Silas 4, vor 10 Monaten
  10. Hallo Luc O.,
    hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Womit genau hast du denn noch Schwierigkeiten?
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 12 Monaten
  11. Hab nichts verstanden

    Von Luc O., vor 12 Monaten
  12. Sehr tolles Video 👍👍 ich habe es verstanden könnt ihr ein Video über MrSt???

    Von Riengkt, vor etwa einem Jahr
  13. Das ist perfekt!👍

    Von Nimesayoezgoeren, vor etwa einem Jahr
  14. Schöne Schrift

    Von Jan F., vor etwa einem Jahr
  15. Geiles Viedeo 👌😎🤩

    Von Jan F., vor etwa einem Jahr
  16. @Olgameyer:
    Hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Womit genau hast du denn noch Schwierigkeiten? Geht es um die Bestimmung der Größen p, Z und K aus der Textaufgabe? Oder das Umstellen der Formel? Oder ein bisschen von allem?
    Ich hoffe, dass wir dir noch weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  17. das video ist scheisse und ich habe keinen plan was in der letzten aufgabe kommt den das ist noch schlechter erklärt als unsere lehrerin es tut obwohl sie es garnicht tut und uns sofatutor videos gucken lässt damit wir des thema lernen

    Von Olgameyer, vor etwa einem Jahr
  18. zu lang und bin nicht sicher ob es mir in KA am MI hilft

    Von Olgameyer, vor etwa einem Jahr
  19. good

    Von Luis W., vor etwa einem Jahr
  20. Das Video war Gut .
    KURZ und GUT

    Von Baum 77717, vor mehr als einem Jahr
  21. Wirklich sehr gut erklärt und nicht so ewig lang!
    SUPER!

    Von annika m., vor fast 2 Jahren
  22. Hat mir sehr geholfen

    Von Paul K., vor fast 2 Jahren
  23. Hat mir sehr gut geholfen , danke :)

    Von Cwcsgame, vor fast 2 Jahren
  24. Macht mal ein Video über Promille weil wir haben das grade im Unterricht und ich verstehe gar nichts von dem

    Von Persis S., vor fast 2 Jahren
  25. Super Video! Danke :)

    Von Idaluzies, vor etwa 2 Jahren
  26. perfekt, auf den Punkt erklärt. Danke

    Von B J Niesel, vor etwa 2 Jahren
  27. Nice

    Von Bianca Schroeder 1, vor etwa 2 Jahren
  28. Hat mir geholfen 👍🏻

    Von Wenyan Zhong, vor etwa 2 Jahren
  29. Könnte man ein Video über Promille machen

    Von Tim A., vor etwa 2 Jahren
  30. War eigentlich richtig gut erklärt :) Das einzige was für mich verwirrend war, war dass wir die Rechnungen für Kapital, Zinsen und Zinssatz anders auszurechnen gelernt haben

    Von Linam68, vor etwa 2 Jahren
  31. Cool

    Von Kjell W., vor mehr als 2 Jahren
  32. ein richtig gutes Video top!!!eines der besten von den Mathevideos

    Von Flora R., vor mehr als 2 Jahren
  33. Sehr verständliges Video mit einer außergewöhnlich schönen Handschrift und eine Knapp gehaltene Erklärung ,welche ich sehr angebracht und deutlich fand, das nenn ich mal ist ein gut gelungenes Video und ein gutes Lernportal noch dazu.
    Weiter so Leute!!!
    MFG ein netter Schüler

    Von Husseinsalum55, vor mehr als 2 Jahren
  34. gutes video
    guteres Video
    gutestest Video;)
    spaß besseres video

    Von Gebrekidanketema, vor mehr als 2 Jahren
  35. gut

    Von Gebrekidanketema, vor mehr als 2 Jahren
  36. Gut gemacht weiter so

    Von Lucas H., vor mehr als 2 Jahren
  37. Supi ;)

    Von Ahlefeldt, vor mehr als 2 Jahren
  38. schon gute vids die ihr hier macht aber . nach einem mathe vid hab ich bei euch mehr gelernt als in einem Monat in der schule lol ! am liebsten würd ich nicht mehr zur schule gehen weil des nur Zeitverschwendung ist und ich dort eh nix versteh und stattdessen nur noch zuhause mit sofatutor lernen.

    Von Daniellareich2016, vor fast 3 Jahren
  39. Danke ich habe es jetzt verstanden meine Mathelehrerin konnte es mir nicht so verständlich erklären. Danke Mathe Team richtig super von euch

    Von B J Wehmeier, vor fast 3 Jahren
  40. Sehr gut erklärt und eine schöne Schrift!

    Von Marie M., vor fast 3 Jahren
  41. es ist sehr gut erklärt wurden und es war sehr hilfreich

    Von Izem şirin çeliktaş, vor etwa 3 Jahren
  42. sehr gur erklärt :D

    Von Ralfso, vor etwa 3 Jahren
  43. super gut erklärt

    Von Julienne N., vor etwa 3 Jahren
  44. super erklärt!

    Von Jukie12, vor etwa 3 Jahren
  45. sehr hilfreiches video

    Von Funk Huber, vor mehr als 3 Jahren
  46. Danke hat super geholfen. Daumen hoch

    Von Sarah Jedego, vor fast 4 Jahren
  47. Danke, dank dir denkt mein Vater jetzt das ich lerne :)

    Von Minh Thanh T., vor fast 4 Jahren
  48. danke hat mir sehr viel geholfen ihr macht eine super arbeit

    Von Adibecker, vor fast 4 Jahren
  49. Danke,habe es nun dank der dazugehörigen Übung verstanden

    Von Sylvia Bollek, vor fast 4 Jahren
  50. Echt gut ! So checkt man das lëiçht

    Von Lumel, vor etwa 4 Jahren
  51. SUPER erklärt besser als alle anderen ich habe es erst bei euch vrestanden!!! Macht weiter so!

    Von Mosers Home, vor etwa 4 Jahren
  52. Eine super Erklärung, welche sehr gut verständlich ist !!!
    Verstehen-Leicht gemacht :)

    Von Deleted User 319414, vor etwa 4 Jahren
  53. Sehr gut Mathe team

    Von Phillip S., vor mehr als 4 Jahren
  54. Ist richtig gut erklärt danke Mathe-Team ;D

    Von Deleted User 248943, vor fast 5 Jahren
  55. Sehr schön erklärt nun habe ich es verstanden

    Von NJNS J., vor etwa 5 Jahren
  56. es hat mir geholfen
    danke :-)
    XD

    Von Mtpalacin, vor etwa 5 Jahren
  57. gutes video!!
    schöne Schrift !

    Von C Jacoy, vor etwa 5 Jahren
Mehr Kommentare

Zinsrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zinsrechnung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Begriffe aus der Prozentrechnung den Begriffen aus der Zinsrechnung entsprechen.

    Tipps

    Vergegenwärtige dir, welche Bedeutung die einzelnen Begriffe haben.

    Formuliere eigenständig Beispielaufgaben zur Prozent- bzw. Zinsrechnung und vergleiche anschließend, welche Werte welchem Begriff entsprechen.

    Manche Bezeichnungen stimmen sogar überein.

    Lösung

    Der Grundwert $G$ ist die gesamte Grundmenge, welche $100\%$ entspricht. In der Zinsrechnung gibt das Kapital $K$ die gesamte Geldmenge an.

    Der Prozentsatz $p~\%$ beschreibt den Anteil, der von der gesamten Menge zu bilden ist, ausgedrückt als Anteil von Hundert. In der Zinsrechnung spricht man dabei vom Zinssatz $p~\%$. Wie du siehst, ist die Bezeichnung $p$ dieselbe und somit leicht zu merken.

    Der Prozentwert $W$ steht für den genauen anteiligen Wert. In der Zinsrechnung nennt man diesen anteiligen Wert Zinsen $Z$.

  • Bestimme in den folgenden Aufgaben den Zinssatz, das Kapital und die Zinsen.

    Tipps

    Markiere die gegebenen und auch die gesuchten Größen sowie die Größen im Antwortsatz entsprechend.

    Welche Maßeinheiten haben Kapital, Zinssatz und Zinsen?

    Sind deine ausgewählten Zahlen bezüglich der zugeordneten Größen realistisch?

    Lösung

    Der Zinssatz wird als einzige Größe stets in Prozent angegeben, daher kannst du diesen in Aufgabenstellungen leicht am Prozentzeichen % erkennen.

    Das Kapital erkennst du daran, dass es die gesamte Menge an Geld ist, welche angelegt wird und die Zinsen sind das Geld, welches Bilal, Lena und Nastasia von ihren Banken nach einem Jahr bekommen.

  • Bestimme die gesuchten Werte mittels der Zinsrechnung.

    Tipps

    In der Verhältnisformel ist das Verhältnis von $\frac{K}{100}$ bereits vorgegeben. Welches Verhältnis der verbleibenden Größen entspricht diesem?

    Wenn du eine der vier Formeln hast, kannst du die anderen drei durch Äquivalenzumformungen herleiten.

    Lösung

    Die Verhältnisformel besagt, dass das Verhältnis von der gesamten Geldmenge (Kapital $K$) zu $100$ dem Verhältnis eines Geldanteils (Zinsen $Z$) zum dementsprechenden Prozentanteil $p$ entspricht, also $\frac{K}{100}= \frac{Z}{p}$.

    Nun können wir die Verhältnisformel jeweils nach jeder Größe einmal umstellen:

    $ \begin{align*} \frac{K}{100} &= \frac{Z}{p} &|& \cdot 100 \\ K &= \frac{Z\cdot 100}{p} \end{align*} $

    Analog erhalten wir die Formel für die Zinsen $Z= \frac {K \cdot p}{100}$ und für den Zinssatz $p=\frac{Z \cdot 100}{K}$.

    Mit diesen Formeln können wir schnell die Beispielaufgaben berechnen:

    Aufgabe:

    Lena hat $300 ~\text{€}$ auf ihrem Sparbuch und hat einen Zinssatz von $2\%$.

    Gegeben hat sie also:

    • $K= 300~\text{€}$
    • $p= 2$
    Da $K$ und $p$ gegeben sind, benötigt sie folgende Formel, um die Höhe der Zinsen nach einem Jahr zu berechnen:
    • $Z =\frac{K \cdot p}{100}$
    Setzt sie ihre Werte ein, so erhält sie den Wert ihrer Zinsen:
    • $Z =6 ~\text{€}$
    Aufgabe:

    Bilal legt $700~\text{€}$ an und erhält $21~\text{€}$ Zinsen. Gegeben hat er somit:

    • $K=700~\text{€}$
    • $Z= 21$
    Um die Höhe des Zinssatzes zu ermitteln, benötigt er folgende Formel:
    • $p =\frac{Z \cdot 100}{K}$
    Setzt Bilal seine Werte in die Formel ein, so erhält er den Zinssatz:
    • $p=3$.
    Das Sparbuch hat also einen Zinssatz von $3~\%$. Würde Bilal aus einem bekannten Zinssatz und den zugehörigen Zinsen das Kapital berechnen wollen, so bräuchte er die folgende Grundformel:

    $K =\frac{Z \cdot 100}{p}$

  • Berechne die Lösung der Textaufgabe.

    Tipps

    Berechne schrittweise in der oben angegebenen Reihenfolge die gesuchten Lösungen.

    Wie viele Monate hat ein Jahr?

    Von welchem Geld werden $30~\%$ Steuern abgezogen?

    Lösung

    Wir notieren als erstes, welche Werte gegeben und gesucht sind.

    Gegeben: $K=2~100~000~€$, $p_b=5$, $p_s=30$

    Gesucht: $Z_j$ (Zinsen p.a.), $Z_m$ (monatliche Zinsen), $W_s$ (Steuerabgaben) und $E$ (monatlich verfügbares Geld)

    Rechnung:

    Mit der Grundformel für Zinsen $Z$ berechnen wir die jährlichen Zinsen von Herrn Happy:

    $Z_j=\frac{K\cdot p_b}{100}=\frac{2~100~000~€ \cdot 5}{100}= 105~000~€$.

    Für die Berechnung der Steuerabgaben in Höhe von $30~\%$ müssen wir beachten, dass die Grundmenge (Kapital) hier die jährlichen Zinsen sind, da wir von diesen $30~\%$ berechnen wollen:

    $W_s= \frac{Z_m \cdot p_s}{100}=\frac{105~000~€ \cdot 30}{100}=31~500~€$.

    Damit verbleiben ihm noch $73~500~€$ im Jahr.

    Zum Schluss müssen wir nur noch das monatlich zur Verfügung stehende Geld bestimmen.

    $E= \frac{Z_J - W_s}{12} =\frac{105~000~€ - 31~500~€}{12} = 6125~€$.

    Herr Happy hat $70~%$ der monatlichen Zinsen zur Verfügung, daher kann man auch alternativ $E$ mit $p=70$ berechnen:

    $E = \frac{Z_m \cdot p}{100}=\frac{8750~€\cdot 70}{100} = 6125~€$.

  • Bestimme die richtigen Rechenwege zur Zinsrechnung.

    Tipps

    Was ist jeweils gesucht? Wie sieht die Grundformel zur Berechnung der gesuchten Größen aus?

    Berechne die Aufgaben eigenständig und vergleiche deinen Rechenweg mit den gegebenen.

    Die Verhältnisformel zur Prozentrechnung lautet: $\frac{G}{100}=\frac{W}{p}$.

    Lösung

    Wir lesen den Aufgabentext aufmerksam und notieren, welche Werte gegeben und gesucht sind. Anschließend berechnen wir die gesuchten Werte für jede Aufgabe.

    $~$

    Erste Aufgabe:

    • Gegeben: $K = 250~€$ und $p = 3$
    • Gesucht: Zinsen $Z$
    • Rechnung:$ Z = \frac{250~€ \cdot 3} { 100} = 7,50~€$
    • Antwort: Ben erhält $7,50~€$ Zinsen nach einem Jahr.
    $~$

    Zweite Aufgabe:

    • Gegeben: $G = 130~€$ und $W = 130~€ - 104~€ = 26~€$
    • Gesucht: Prozentsatz $p\%$
    • Rechnung: $p = \frac{26~€ \cdot 100} {130~€} = 20$
    • Antwort: Lana hat $20~\%$ Nachlass erhalten.
    $~$

    Dritte Aufgabe:

    • Gegeben: $p = 2,5$ und $Z = 125~€$
    • Gesucht: Kapital $K$
    • Rechnung: $K = \frac{125~€ \cdot 100}{ 2,5} = 5000~€$
    • Antwort: Ein Kapital von $5000~€$ wächst bei einem Zinssatz von $2,5~\%$ pro Jahr um $125~€$.
    $~$

    Vierte Aufgabe:

    • Gegeben: $G_g = 1420~€$, $G_1 = 500~€$, $G_2 = 1420~€ - 500~€ = 920~€$, $p_1 = 5$, $p_2 = 3$
    • Gesucht: Prozentwert $W$
    • Rechnung: $W = \frac{500~€ \cdot 5}{100} + \frac{920~€ \cdot 3}{100} = 25,00~€ + 27,60~€ = 52,60~€$
    • Antwort: Chris bekommt $52,60~€$ Finderlohn.

  • Berechne folgende Aufgaben zur Zinsrechnung.

    Tipps

    Welche Größen sind gegeben und gesucht?

    Welche Grundformel benötigst du zur Berechnung?

    Lösung

    Gesucht ist das Kapital, das die Bank Herrn Schramm zur Verfügung stellt. Wir verwenden die Grundformel für das Kapital $K=\frac{Z\cdot 100}{p}$ und setzen die gegebenen Werte $p = 14$ und $Z = 679~€$ ein.

    $K=\frac{679~€ \cdot 100}{14}=4850~€$

    Herr Schramm hat bei der Bank Schulden in Höhe von $4850~€$.

    Frau Bauer muss nach einem Jahr $22~400~€ - 20~000~€ = 2400~€$ Zinsen zahlen. Gesucht ist der Zinssatz $p~\%$. Die Grundformel dafür lautet:

    $p= \frac {Z\cdot 100}{K}$.

    Wir setzen $Z = 2400~€$ und $K = 20~000~€$ in die Formel ein und erhalten somit einen Zinssatz von

    $p= \frac {2400~€ \cdot 100}{20~000~€}=12$.

    Es wurden also $12~\%$ Zinsen berechnet.