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Zinsrechnung

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Mathe-Team
Zinsrechnung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Zinsrechnung

Was versteht man unter dem Begriff der Zinsrechnung? Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Es werden dir Begriffe wie Kapital, Zinsen und Zinssatz begegnen. Zu Beginn des Videos zeigen wir dir drei Grundformeln, welche du zum Lösen von Aufgaben im Bereich der Zinsrechnung benötigst. Im zweiten Abschnitt des Lehrfilmes zeigen wir dir, wie du zukünftig die drei Grundformeln der Zinsrechnung anwenden kannst. An einigen Beispielen zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du zur Lösung kommst. Viel Spaß!

Transkript Zinsrechnung

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video geht es um die Zinsrechnung. Sicherlich hast Du ein Sparbuch und bekommst jedes Jahr Zinsen gutgeschrieben. Weißt Du, wie die Bank die Zinsen berechnet? Wir werden die Begriffe der Zinsrechnung von den Begriffen der Prozentrechnung ableiten, die Grundformen der Zinsrechnung kennen- und umformen lernen sowie typische Aufgabenstellungen zur Zinsrechnung betrachten. Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Da es aber immer um Geld geht, verwendet man eigene Begriffe. Man spricht vom Kapital K und nicht vom Grundwert G. Man spricht von den Zinsen Z statt vom Prozentwert W. Und vom Zinssatz p % statt vom Prozentsatz p %. Wofür benötigst Du die Zinsrechnung? Zahlst Du Geld auf Dein Sparkonto ein, erhältst Du Zinsen. Leihst Du Dir Geld von der Bank, musst Du Zinsen bezahlen. Die Höhe der Zinsen Z auf das Kapital K hängt vom Zinssatz p % und von der Zeitdauer ab. Der Zinssatz bezieht sich meist auf ein Jahr, also pro anno, abgekürzt p.a.. Für alle Basisaufgaben der Zinsrechnung verwendest Du folgende Verhältnisformel: Das Kapital K verhält sich zu 100 wie die Zinsen Z zu p. Diese Verhältnisformel kannst Du nach der gesuchten Größe umformen und erhältst so die Grundformeln zur Berechnung des Kapitals, der Zinsen oder des Zinssatzes. Wie das genau geht, schauen wir uns jetzt an drei Beispielen an. Lena legt 300 Euro auf ihrem Sparbuch an, zu einem Zinssatz zu zwei Prozent. Wie viel Zinsen erhält sie nach einem Jahr? Gegeben ist das Kapital K = 300 Euro. Und der Zinssatz ist zwei Prozent. Gesucht ist Z. Du formst die Verhältnisformel nach Z um, indem Du beide Seiten mit p multiplizierst. Du erhältst: Z = (K * p)/100. Nun setzt Du die gegebenen Größen ein und erhältst Z = sechs Euro. Lena bekommt also sechs Euro Zinsen. Bilal legt 700 Euro auf seinem Sparbuch an und bekommt nach einem Jahr 21 Euro Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz vom Sparbuch? Gegeben ist das Kapital K = 700 Euro und die Zinsen Z = 21 Euro. Gesucht ist p. Du formst die Verhältnisformel nach p um. Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit p und erhältst (p * K)/100 = Z. Nun multiplizierst Du beide Seiten mit 100 und teilst danach die Gleichung durch K. Du erhältst p = (Z * 100)/K. Nun setzt Du die gegebenen Größen ein und erhältst p = 3. Das Sparbuch hat einen Zinssatz von drei Prozent. Nastasia bekommt bei einem Zinssatz von vier Prozent nach einem Jahr 15 Euro Zinsen. Was für ein Kapital hat sie auf ihrem Sparbuch angelegt? Gegeben sind p = 4 und die Zinsen Z = 15 Euro. Gesucht ist K. Du formst die Verhältnisformel nach K um, indem Du beide Seiten der Gleichung mit 100 multiplizierst. Du erhältst K = (Z * 100)/p. Nun setzt Du die gegebenen Größen ein und erhältst K = 375 Euro. Nastasia hat ein Kapital von 375 Euro angelegt. Wie Du gesehen hast, lohnt es sich, Deine Ersparnisse bei einer Bank anzulegen. Durch die Zinsen wachsen Deine Ersparnisse von Jahr zu Jahr. Mit den drei Grundformeln bist Du in der Lage, das Kapital, die Zinsen und den Zinssatz zu berechnen.

66 Kommentare

66 Kommentare
  1. Endlich verstanden!
    :)

    Von Soether, vor 3 Monaten
  2. Danke!!!!!!!!!!

    Von Christopher Anton04, vor 4 Monaten
  3. hab es verstanden

    Von Tristanschoettker, vor 5 Monaten
  4. echt gut :)

    Von Sterni 13, vor etwa einem Jahr
  5. Breuchte am rand ein Taschenrechner

    Von Julia B., vor mehr als einem Jahr
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Zinsrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zinsrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Begriffe aus der Prozentrechnung den Begriffen aus der Zinsrechnung entsprechen.

    Tipps

    Vergegenwärtige dir, welche Bedeutung die einzelnen Begriffe haben.

    Formuliere eigenständig Beispielaufgaben zur Prozent- bzw. Zinsrechnung und vergleiche anschließend, welche Werte welchem Begriff entsprechen.

    Manche Bezeichnungen stimmen sogar überein.

    Lösung

    Der Grundwert $G$ ist die gesamte Grundmenge, welche $100\%$ entspricht. In der Zinsrechnung gibt das Kapital $K$ die gesamte Geldmenge an.

    Der Prozentsatz $p~\%$ beschreibt den Anteil, der von der gesamten Menge zu bilden ist, ausgedrückt als Anteil von Hundert. In der Zinsrechnung spricht man dabei vom Zinssatz $p~\%$. Wie du siehst, ist die Bezeichnung $p$ dieselbe und somit leicht zu merken.

    Der Prozentwert $W$ steht für den genauen anteiligen Wert. In der Zinsrechnung nennt man diesen anteiligen Wert Zinsen $Z$.

  • Bestimme die gesuchten Werte mittels der Zinsrechnung.

    Tipps

    In der Verhältnisformel ist das Verhältnis von $\frac{K}{100}$ bereits vorgegeben. Welches Verhältnis der verbleibenden Größen entspricht diesem?

    Wenn du eine der vier Formeln hast, kannst du die anderen drei durch Äquivalenzumformungen herleiten.

    Lösung

    Die Verhältnisformel besagt, dass das Verhältnis von der gesamten Geldmenge (Kapital $K$) zu $100$ dem Verhältnis eines Geldanteils (Zinsen $Z$) zum dementsprechenden Prozentanteil $p$ entspricht, also $\frac{K}{100}= \frac{Z}{p}$.

    Nun können wir die Verhältnisformel jeweils nach jeder Größe einmal umstellen:

    $ \begin{align*} \frac{K}{100} &= \frac{Z}{p} &|& \cdot 100 \\ K &= \frac{Z\cdot 100}{p} \end{align*} $

    Analog erhalten wir die Formel für die Zinsen $Z= \frac {K \cdot p}{100}$ und für den Zinssatz $p=\frac{Z \cdot 100}{K}$.

    Mit diesen Formeln können wir schnell die Beispielaufgaben berechnen:

    Aufgabe:

    Lena hat $300 ~\text{€}$ auf ihrem Sparbuch und hat einen Zinssatz von $2\%$.

    Gegeben hat sie also:

    • $K= 300~\text{€}$
    • $p= 2$
    Da $K$ und $p$ gegeben sind, benötigt sie folgende Formel, um die Höhe der Zinsen nach einem Jahr zu berechnen:
    • $Z =\frac{K \cdot p}{100}$
    Setzt sie ihre Werte ein, so erhält sie den Wert ihrer Zinsen:
    • $Z =6 ~\text{€}$
    Aufgabe:

    Bilal legt $700~\text{€}$ an und erhält $21~\text{€}$ Zinsen. Gegeben hat er somit:

    • $K=700~\text{€}$
    • $Z= 21$
    Um die Höhe des Zinssatzes zu ermitteln, benötigt er folgende Formel:
    • $p =\frac{Z \cdot 100}{K}$
    Setzt Bilal seine Werte in die Formel ein, so erhält er den Zinssatz:
    • $p=3$.
    Das Sparbuch hat also einen Zinssatz von $3~\%$. Würde Bilal aus einem bekannten Zinssatz und den zugehörigen Zinsen das Kapital berechnen wollen, so bräuchte er die folgende Grundformel:

    $K =\frac{Z \cdot 100}{p}$

  • Bestimme die richtigen Rechenwege zur Zinsrechnung.

    Tipps

    Was ist jeweils gesucht? Wie sieht die Grundformel zur Berechnung der gesuchten Größen aus?

    Berechne die Aufgaben eigenständig und vergleiche deinen Rechenweg mit den gegebenen.

    Die Verhältnisformel zur Prozentrechnung lautet: $\frac{G}{100}=\frac{W}{p}$.

    Lösung

    Wir lesen den Aufgabentext aufmerksam und notieren, welche Werte gegeben und gesucht sind. Anschließend berechnen wir die gesuchten Werte für jede Aufgabe.

    $~$

    Erste Aufgabe:

    • Gegeben: $K = 250~€$ und $p = 3$
    • Gesucht: Zinsen $Z$
    • Rechnung:$ Z = \frac{250~€ \cdot 3} { 100} = 7,50~€$
    • Antwort: Ben erhält $7,50~€$ Zinsen nach einem Jahr.
    $~$

    Zweite Aufgabe:

    • Gegeben: $G = 130~€$ und $W = 130~€ - 104~€ = 26~€$
    • Gesucht: Prozentsatz $p\%$
    • Rechnung: $p = \frac{26~€ \cdot 100} {130~€} = 20$
    • Antwort: Lana hat $20~\%$ Nachlass erhalten.
    $~$

    Dritte Aufgabe:

    • Gegeben: $p = 2,5$ und $Z = 125~€$
    • Gesucht: Kapital $K$
    • Rechnung: $K = \frac{125~€ \cdot 100}{ 2,5} = 5000~€$
    • Antwort: Ein Kapital von $5000~€$ wächst bei einem Zinssatz von $2,5~\%$ pro Jahr um $125~€$.
    $~$

    Vierte Aufgabe:

    • Gegeben: $G_g = 1420~€$, $G_1 = 500~€$, $G_2 = 1420~€ - 500~€ = 920~€$, $p_1 = 5$, $p_2 = 3$
    • Gesucht: Prozentwert $W$
    • Rechnung: $W = \frac{500~€ \cdot 5}{100} + \frac{920~€ \cdot 3}{100} = 25,00~€ + 27,60~€ = 52,60~€$
    • Antwort: Chris bekommt $52,60~€$ Finderlohn.

  • Berechne folgende Aufgaben zur Zinsrechnung.

    Tipps

    Welche Größen sind gegeben und gesucht?

    Welche Grundformel benötigst du zur Berechnung?

    Lösung

    Gesucht ist das Kapital, das die Bank Herrn Schramm zur Verfügung stellt. Wir verwenden die Grundformel für das Kapital $K=\frac{Z\cdot 100}{p}$ und setzen die gegebenen Werte $p = 14$ und $Z = 679~€$ ein.

    $K=\frac{679~€ \cdot 100}{14}=4850~€$

    Herr Schramm hat bei der Bank Schulden in Höhe von $4850~€$.

    Frau Bauer muss nach einem Jahr $22~400~€ - 20~000~€ = 2400~€$ Zinsen zahlen. Gesucht ist der Zinssatz $p~\%$. Die Grundformel dafür lautet:

    $p= \frac {Z\cdot 100}{K}$.

    Wir setzen $Z = 2400~€$ und $K = 20~000~€$ in die Formel ein und erhalten somit einen Zinssatz von

    $p= \frac {2400~€ \cdot 100}{20~000~€}=12$.

    Es wurden also $12~\%$ Zinsen berechnet.

  • Bestimme in den folgenden Aufgaben den Zinssatz, das Kapital und die Zinsen.

    Tipps

    Markiere die gegebenen und auch die gesuchten Größen sowie die Größen im Antwortsatz entsprechend.

    Welche Maßeinheiten haben Kapital, Zinssatz und Zinsen?

    Sind deine ausgewählten Zahlen bezüglich der zugeordneten Größen realistisch?

    Lösung

    Der Zinssatz wird als einzige Größe stets in Prozent angegeben, daher kannst du diesen in Aufgabenstellungen leicht am Prozentzeichen % erkennen.

    Das Kapital erkennst du daran, dass es die gesamte Menge an Geld ist, welche angelegt wird und die Zinsen sind das Geld, welches Bilal, Lena und Nastasia von ihren Banken nach einem Jahr bekommen.

  • Berechne die Lösung der Textaufgabe.

    Tipps

    Berechne schrittweise in der oben angegebenen Reihenfolge die gesuchten Lösungen.

    Wie viele Monate hat ein Jahr?

    Von welchem Geld werden $30~\%$ Steuern abgezogen?

    Lösung

    Wir notieren als erstes, welche Werte gegeben und gesucht sind.

    Gegeben: $K=2~100~000~€$, $p_b=5$, $p_s=30$

    Gesucht: $Z_j$ (Zinsen p.a.), $Z_m$ (monatliche Zinsen), $W_s$ (Steuerabgaben) und $E$ (monatlich verfügbares Geld)

    Rechnung:

    Mit der Grundformel für Zinsen $Z$ berechnen wir die jährlichen Zinsen von Herrn Happy:

    $Z_j=\frac{K\cdot p_b}{100}=\frac{2~100~000~€ \cdot 5}{100}= 105~000~€$.

    Für die Berechnung der Steuerabgaben in Höhe von $30~\%$ müssen wir beachten, dass die Grundmenge (Kapital) hier die jährlichen Zinsen sind, da wir von diesen $30~\%$ berechnen wollen:

    $W_s= \frac{Z_m \cdot p_s}{100}=\frac{105~000~€ \cdot 30}{100}=31~500~€$.

    Damit verbleiben ihm noch $73~500~€$ im Jahr.

    Zum Schluss müssen wir nur noch das monatlich zur Verfügung stehende Geld bestimmen.

    $E= \frac{Z_J - W_s}{12} =\frac{105~000~€ - 31~500~€}{12} = 6125~€$.

    Herr Happy hat $70~%$ der monatlichen Zinsen zur Verfügung, daher kann man auch alternativ $E$ mit $p=70$ berechnen:

    $E = \frac{Z_m \cdot p}{100}=\frac{8750~€\cdot 70}{100} = 6125~€$.

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