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Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Wenn Jugendliche erwachsen werden, dann erreichen sie immer wieder Meilensteine. Viele davon haben mit einem ersten Mal zu tun. Ich möchte nur einen wichtigen Schritt hin zum Erwachsenwerden herausgreifen und das ist zweifellos der, dass man Winkel nicht mehr im Gradmaß, sondern im Bogenmaß angibt. Natürlich scherze ich. Dennoch ist dieses Thema für das Rechnen mit den trigometrischen Funktionen ( Sinus und Kosinus ) eminent wichtig. Deshalb werde ich dir nun das Gradmaß in das Bogenmaß umrechnen. Zunächst haben wir die Gleichung 2•pi = 360°. Diese können wir mithilfe des Dreisatzes umformen. Im Video zeig ich dir, wie!

Transkript Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Hallo! Wenn Jugendliche erwachsen werden, dann erreichen sie immer wieder Meilensteine. Viele davon haben mit einem ersten Mal zu tun. Da möchte ich jetzt im Allgemeinen gar nicht weiter drauf eingehen. Ich möchte nur einen wichtigen Schritt hin zum Erwachsenwerden herausgreifen und das ist zweifellos der, dass man Winkel nicht mehr im Gradmaß, sondern im Bogenmaß angibt. Und wie das funktioniert, möchte ich jetzt mal zeigen. Es geht also darum, wie kann man Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und umgekehrt. Unsere Ausgangsgleichung hierfür ist die: 2π entspricht 360°. Wie komme ich da drauf? Wir erinnern uns, was das Bogenmaß bedeutet. Wir teilen den gesamten Kreis nicht in Grad ein, sondern wir orden einem Winkel hier den zugehörigen Kreisbogen zu und die Länge des Kreisbogens geben wir als Vielfaches des Radius an. Hier haben wir einen Winkel, er geht von da bis da zum Beispiel, hier ist die Länge des Radius und der passt jetzt 2-mal circa auf diesen Bogen drauf und deshalb hat dieser Winkel hier, der Winkel von da bis da, das Bogenmaß 2, weil der Radius dieses Kreises 2-mal hier drauf passt. Wenn der Winkel 1-mal ganz rum geht, dann entspricht das dem Gradmaß 360 und im Bogenmaß ist es dann 2π, weil wir ja wissen: Den Kreisumfang berechnet man nach der Formel 2×π×r, also 2×π mal passt der Radius auf den gesamten Kreisbogen, also auf den gesamten Kreisumfang. Daher kommt diese Gleichung zustande. Wenn wir jetzt wissen wollen, wie sieht ein Winkel von 37° zum Beispiel im Bogenmaß aus, dann können wir das einfach mit dem Dreisatz machen, indem wir nämlich hier auf beiden Seiten durch 360 teilen und dann hier stehen haben 1° entspricht dann: 2×π/360=π/180, mit der 2 kann man ja kürzen - π/180. Wenn wir jetzt einen Winkel von x° haben, dann müssen wir noch mit x multiplizieren und dann haben wir hier (π/180)×x. Das ist unsere Umrechnung. π/180 ist circa 0,0175, das ist diese Zahl hier. Also, man kann sich merken, wenn man einen Winkel im Gradmaß hat, zum Beispiel 37°, dann muss man 37° oder die Zahl 37 mit dieser Zahl multiplizieren und erhält den Winkel im Bogenmaß. Wie funktioniert das umgekehrt? Ich kann jetzt auch hier wieder losgehen mit dem Denken und auf das Bogenmaß 1 umrechnen hier. Das Bogenmaß 1 entspricht dann einem Winkel von 360°/2π und mit der 2 kürzt man wieder und hat dann hier stehen 180°/π und auch, wenn man hier einen allgemeinen Winkel von x hat, x im Bogenmaß. Bogenmaß ist jetzt hier keine benannte Zahl. Sie hat keine Einheit, es ist nicht Grad oder so was, es ist einfach diese Zahl x. Diese Zahl x muss man dann mit 180°/π multiplizieren. Also (180°/π)×x ist dann der Winkel im Gradmaß. Diese Zahl ist ungefähr - ich habe es aufgeschrieben - 57,3°. Wenn man diese Zahl einfach mit 57,3° ungefähr multipliziert, dann hat man den Winkel im Bogenmaß. 1 oder 2 Anmerkungen noch dazu: Weil wir hier durch π teilen und hier und hier irrationale Zahlen stehen und die irrationalen Zahlen immer ein bisschen blöd sind zu schreiben - man muss immer etwas runden, man muss sich immer überlegen, auf welche Stelle runde ich denn, was brauche ich denn hier - weil das alles ein bisschen blöd ist, hat man sich gedacht, man könnte doch einfach das Bogenmaß als Vielfaches von π ausdrücken. Dann haben wir jetzt nicht ein Bogenmaß von 1 oder 2 oder 3, sondern wir haben dann ein Bogenmaß von 1π, 1/2π, 2π, und so weiter. Das führt dazu, wenn wir zum Beispiel einen Winkel im Bogenmaß haben, und der 1,3π ist, und wir den ins Gradmaß umrechnen möchten, dann müssen wir ja mit 180°/π multiplizieren und dann sieht man, was passiert. 180°/π - das π kürzt sich raus. Wir müssen nur noch 180°×1,3 rechnen oder 1,3×180°, ist ja egal. Es kommt heraus: 1×180°=180°, (1/10)×180°=18°, (3/10)×180°=3×18°=54°, 180+54=234. 234° kommt raus. Ich habe jetzt eine extra etwas krumme Zahl genommen hier, 1,3, um auch zu zeigen: Das geht ganz einfach, wenn man jetzt hier das π rauskürzen kann. Noch eine Sache ist dazu zu sagen, weil viele Schüler ja Brüche diskriminieren. Das ist nicht in Ordnung, denn sie helfen sehr viel. Also es ist überhaupt nicht in Ordnung, jemanden, oder Brüche auch zu diskriminieren, aber zu dem wollte ich noch anmerken, dass die Brüche sehr hilfreich sind, und zwar, wenn man das Vielfache von π als Bruch angibt. Warum hilft das so viel? Weil 180 durch so schön viele Zahlen teilbar ist. Wenn wir zum Beispiel den Winkel von ½π haben und den umrechnen wollen ins Gradmaß, dann müssen wir ja ×180°/π rechnen. Also, π kürzt sich raus und wir müssen nur noch rechnen: 1/2×180°, und das ist 90°. Das geht auch mit 1/3 und ich fasse mich da jetzt mal ein bisschen kürzer. (1/3)×180° zum Beispiel. Das π schreibe ich nicht mehr hin, weil es sich auch so andauernd rauskürzt. (1/3)×180° ist - ich muss ja 180 durch 3 teilen - 60°. Und dann haben wir 1/4×180°, das ist 45°, also 180/2=90, noch mal durch 2 ist 45. Das geht auch mit 1/5, das ist 36°. Man muss ja nur (180/10)×2 rechnen, also 1/5×180°=36° und 1/6, das geht auch noch, das ist dann 30°, 1/7 ist eine Ausnahme, ist egal. 1/8 sind noch 22,5° und durch 10 kann man auch gut teilen, durch 9 kann man auch teilen, durch 12 kann man 180 teilen und dann kriegt man immer schön glatte Gradzahlen. Man kann das dann schnell im Kopf umrechnen und darum geht es ja eigentlich, dass man sich gut vorstellen kann: Wie groß sind ungefähr Winkel, wenn sie welches Gradmaß und welches Bogenmaß haben, damit man sich das schnell und gut und sauber vorstellen kann. Viel Spaß damit. Tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Endlich verstehe ich das wieder :) danke

    Von Pwh283, vor etwa 7 Jahren
  2. Danke! Hab das jetzt richtig gut verstanden mit dem Grad- und Bogenmaß! Super erklärt!

    Von Marina Schiera, vor mehr als 7 Jahren
  3. Super super Video von einem super super Mathegenie!!!!!!!!!!!!

    Von Rocky99, vor mehr als 10 Jahren

Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Umrechnung von Winkelmaß in Bogenmaß und umgekehrt an.

    Tipps

    Du kannst jede der Formeln an Beispielen überprüfen. Das Bogenmaß zu $180^\circ$ beträgt $\pi$.

    Der Winkel zu $\frac32\pi$ ist $270^\circ$.

    Das Verhältnis von Winkelmaß zu Bogenmaß ist proportional. Die Umrechnung erfolgt wie du es beim Dreisatz gelernt hast.

    Du siehst hier ein Beispiel.

    Unterscheide die Angaben mit und ohne Gradzeichen $\large{°}$.

    Lösung

    Zu jedem Winkel $\alpha$ gehört ein Kreisbogen der Länge $b$. Wie kann man von dem Winkel zu der Bogenlänge gelangen und umgekehrt?

    Man beginnt in jedem Fall mit der folgenden Entsprechung:

    $2\pi~\hat =~360^\circ$.

    Dem gesamten Umfang des Kreises entspricht also der gesamte Kreiswinkel. Nun kann man auf beiden Seiten durch $360$ dividieren, um die Entsprechung zu einem Winkel von $1^\circ$ zu erhalten:

    • $\frac{2\pi}{360}~\hat=~1^\circ$.
    Man erhält durch Kürzen:

    • $\frac{\pi}{180}~\hat=~1^\circ$.
    Wenn man also zu einem allgemeinen Winkel $\alpha=x^\circ$ das Bogenmaß berechnen möchte, muss man nur noch mit $x$ multiplizieren:

    • $\frac{\pi}{180}x~\hat=~x^\circ$.

    Ebenso kann man auch die Umrechnung vom Bogenmaß ins Winkelmaß angeben:

    • $2\pi~\hat =~360^\circ$.
    Nun wird durch $2\pi$ dividiert und gekürzt zu

    • $1~\hat= ~\frac{180^\circ}{\pi}$.
    Habe der Bogen die Länge $b=x$, so muss mit $x$ multipliziert werden zu

    • $x~\hat= ~\frac{180^\circ}{\pi}x$.
  • Berechne den jeweiligen Winkel.

    Tipps

    Verwende diese Formel zum Umrechnen von Bogenmaß in Winkelmaß. Dabei ist $b=x$ der gegebene Bogen:

    $x~\hat=~\frac{180^\circ}{\pi}x$.

    Jedes Mal kann $\pi$ gekürzt werden. Es genügt also, den Winkel mit dem entsprechenden Bruch zu multiplizieren.

    Betrachte zum Beispiel das Bogenmaß

    $b=\frac19\pi$,

    dann ist der zugehörige Winkel gegeben durch

    $\frac{180^\circ}{\pi}\frac19\pi=\frac19 180^\circ=20^\circ$.

    Lösung

    Die folgende Formel wird verwendet, wenn der Kreisbogen $b=x$ bekannt ist und der entsprechende Winkel gesucht wird:

    $x~\hat=~\frac{180^\circ}{\pi}x$.

    • $b=\frac12\pi$ führt zu dem Winkel $\frac{180^\circ}{\pi}\frac12\pi$. $\pi$ kann gekürzt und dann $180^\circ$ durch $2$ dividiert werden. Der resultierende Winkel ist $90^\circ$.
    • $b=\frac13\pi$ führt zu dem Winkel $\frac{180^\circ}{\pi}\frac13\pi$. $\pi$ kann gekürzt und dann $180^\circ$ durch $3$ dividiert werden zu $60^\circ$.
    • $b=\frac14\pi$ führt zu dem Winkel $\frac{180^\circ}{\pi}\frac14\pi$. Auch hier kann $\pi$ gekürzt werden. Schließlich wird $180^\circ$ durch $4$ dividiert und man erhält den $45^\circ$.
    • $b=\frac15\pi$ führt zu dem Winkel $\frac{180^\circ}{\pi}\frac15\pi$. Kürzen durch $\pi$ sowie Division durch $5$ führt zu dem Winkel $36^\circ$.

  • Ermittle den jeweiligen Winkel zu dem gegebenen Bogenmaß.

    Tipps

    Verwende diese Formel zum Umrechnen von Bogenmaß in Winkelmaß. Dabei ist $b=x$ der gegebene Bogen:

    $x~\hat=~\frac{180^\circ}{\pi}x$.

    Alle Winkel sind ganzzahlig.

    Es genügt den Winkel $180^\circ$ mit dem entsprechenden Bruch zu multiplizieren.

    Sei der Bogen $\frac35\pi$ gegeben, dann lässt sich der zugehörige Winkel wie folgt berechnen:

    $\frac{180^\circ}{\pi}\frac35\pi=\frac35\cdot 180^\circ=108^\circ$.

    Lösung

    Wenn das Bogenmaß als Vielfaches von $\pi$ gegeben ist, also $k\cdot \pi$, kann der zugehörige Winkel wie folgt berechnet werden:

    $\frac{180^\circ}{\pi}k\cdot \pi=k\cdot 180^\circ$.

    Das bedeutet, es genügt den Winkel $180^\circ$ mit dem entsprechenden Vielfachen von $\pi$ zu multiplizieren.

    1. $\frac23\pi$ führt zu dem Winkel $\frac23\cdot 180^\circ=120^\circ$
    2. $\frac34\pi$ führt zu dem Winkel $\frac34\cdot 180^\circ=135^\circ$
    3. $\frac25\pi$ führt zu dem Winkel $\frac25\cdot 180^\circ=72^\circ$
    4. $\frac49\pi$ führt zu dem Winkel $\frac49\cdot 180^\circ=80^\circ$

  • Leite zu dem gegebenen Winkelmaß das Bogenmaß als Vielfaches von $\pi$ her.

    Tipps

    Du kannst die abgebildete Umformung benutzen, um schnell zu einem Ergebnis zu gelangen.

    Kürze das Vielfache so weit wie möglich.

    Betrachten wir das folgende Beispiel. Sei $\alpha=90^\circ$, dann ist das Bogenmaß wie hier abgebildet zu sehen.

    Lösung

    Alle Bogenmaße sind als Vielfache von $\pi$ angegeben.

    Wenn man die Formel $\frac{\pi}{180}x~\hat=~x^\circ$ betrachtet, kann man also feststellen, dass das gesuchte Vielfache gerade das Verhältnis des gegebenen Winkels zu $180^\circ$ ist.

    1. Das Bogenmaß zu $40^\circ$ ist somit $\frac{40^\circ}{180^\circ}\pi= \frac{2}{9}\pi$.
    2. Das Bogenmaß zu $150^\circ$ ist somit $\frac{150^\circ}{180^\circ}\pi=\frac{5}{6}\pi$.
    3. Das Bogenmaß zu $210^\circ$ ist somit $\frac{210^\circ}{180^\circ}\pi=\frac{7}{6}\pi$.
    4. Das Bogenmaß zu $225^\circ$ ist somit $\frac{225^\circ}{180^\circ}\pi=\frac{5}{4}\pi$.

  • Beschreibe, wie man zu dem gegebenen Bogenmaß den Winkel berechnen kann.

    Tipps

    Wenn der Winkel $x^\circ$ gegeben und das Bogenmaß gesucht ist, verwendet man diese Formel

    $\frac{\pi}{180}x~\hat=~x^\circ$.

    Betrachten wir das folgende Beispiel mit dem Bogen $\frac12\pi$. Der gesuchte Winkel ist $90^\circ$.

    Gleiche dies mit den obigen Aussagen ab.

    Für $\frac12\pi$ lässt sich der Winkel wie folgt berechnen:

    $\frac12\pi\frac{180^\circ}{\pi}=\frac12\cdot 180^\circ=90^\circ$.

    Lösung

    Die Formel zur Umrechnung eines gegebenen Bogenmaßes $x$ in einen Winkel lautet $x~\hat =~\frac{180^\circ}{\pi}x$.

    Das bedeutet, dass man den gegebenen Bogen - hier $1,3\pi$ - mit $\frac{180^\circ}{\pi}$ multiplizieren muss. Wenn der Bogen als Vielfaches von $\pi$ angegeben ist, kann $\pi$ in der Rechnung gekürzt werden:

    $1,3\pi\frac{180^\circ}{\pi}=1,3\cdot 180^\circ$.

    Das bedeutet, der Winkel $180^\circ$ muss mit dem Vielfachen von $\pi$ multipliziert werden.

    Es ist $1,3\cdot 180^\circ=234^\circ$ der gesuchte Winkel.

  • Vervollständige die Tabelle zu Winkeln im Bogen- und im Winkelmaß.

    Tipps

    Verwende die beiden hier abgebildeten Umrechnungsformeln:

    • $\frac{\pi}{180}x~\hat=~x^\circ$ sowie
    • $x~\hat= ~\frac{180^\circ}{\pi}x$.

    Hier siehst du ein Beispiel zur Umrechnung eines Winkelmaßes in Bogenmaß. Der Winkel sei $60^\circ$. Dann berechnet sich der Bogen wie folgt:

    $\frac{\pi}{180}x=\frac{60}{180}\pi$.

    Der Bruch kann noch gekürzt werden und so erhält man $\frac13\pi$.

    Hier siehst du ein Beispiel, wie man bei gegebenem Bogenmaß zu dem Winkel gelangt. Das Bogenmaß sei $\frac53\pi$. Dann berechnet sich der Winkel wie folgt:

    $\frac{180^\circ}{\pi}\frac53\pi$.

    Da $\pi$ gekürzt werden kann, erhält man den Winkel als $\frac53$-faches von $180^\circ$. Dies ist $300^\circ$.

    Lösung

    Ist das Bogenmaß als Vielfaches von $\pi$ gegeben und der Winkel gesucht, dann genügt es,

    • unter Verwendung der Formel $\frac{180^\circ}{\pi}x$ sowie
    • Kürzen von $\pi$
    den Winkel $180^\circ$ mit dem Vielfachen von $\pi$ zu multiplizieren:
    • $\frac5{12}\pi$ entspricht dem Winkel $\frac5{12}\cdot 180^\circ=75^\circ$.
    • $\frac{17}{30}\pi$ entspricht dem Winkel $\frac{17}{30}\cdot 180^\circ=102^\circ$.
    Umgekehrt - wenn der Winkel gegeben ist - kann man das Vielfache von $\pi$ für das Bogenmaß ermitteln, indem man den gegebenen Winkel durch $180^\circ$ dividiert:
    • Zu dem Winkel $54^\circ$ gehört das Bogenmaß $\frac{54}{180}\pi$. Der Bruch kann noch gekürzt werden zu $\frac{3}{10}\pi$.
    • Zu dem Winkel $84^\circ$ gehört das Bogenmaß $\frac{84}{180}\pi$. Der Bruch kann noch gekürzt werden zu $\frac{7}{15}\pi$.
    • Zu dem Winkel $27^\circ$ gehört das Bogenmaß $\frac{27}{180}\pi$. Der Bruch kann noch gekürzt werden zu $\frac{3}{20}\pi$.

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