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Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi

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Martin Wabnik
Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi

Im Video „ Winkel im Bogenmaß – anschaulich “ habe ich bereits damit begonnen, den Winkel im Bogenmaß mit dir zu erforschen. Wir haben dabei den Zusammenhang von Radius und Winkel herausgefunden. Nun möchte ich an dieser Stelle ansetzen und den Gedanken etwas weiterführen. Ich möchte dir nämlich nun den Zusammenhang mit der Kreiszahl pi erklären. Dazu ist die Formel des Kreisumfangs U = 2 • pi • r wichtig. Du wirst erkennen: Drückt man die Winkel im Kreis als Vielfache oder Teile von pi aus, dann erhält man glatten Winkel.

Transkript Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi

Hallo, wir haben Winkel im Bogenmaß. Wir müssen den Radius, hier ist die Radiuslänge dieses Kreises hier eingetragen. Wir können ihn also hier rum legen diesen Radius und kommen dann hier zu einem Winkel von ca. 57,3°. Das entspricht also der Bogenlänge 1×Radius. Jetzt ist hier 57,3 eine nicht ganz glatte Zahl. Falls wir jetzt mal unterscheiden wollen zwischen glatten und unglatten Zahlen. Wir hätten auch gerne Maße für 90°, 180° und so was. Also hier für diesen Winkel, der einmal so bis dahin geht. Einmal hier diesen 90° Winkel, 45°, 30° und so was. Wie kommen wir dahin, wenn wir das jetzt im Bogenmaß messen wollen? Das ist nicht ganz einfach. Wir wissen die Kreisumfangsformel lautet: U=2×pi×r. Das bedeutet, wenn ich also ganz um den Kreis herumgehe, dann hab ich 2×pi×Radius. Das geht ganz rum, das bedeutet, ich kann schreiben: der Winkel von 360° entspricht nun im Bogenmaß das 2×pi-fache des Radius'. Ja, das ist ein bisschen lang. Das ist in jedem Kreis so. Auch in dem hier. Ich kann auch diesen kleineren Kreis nehmen, wenn ich hier den Radius nehme und den 2×pi mal hier rumlege, dann bin ich auch einmal ganz rum. Also einmal ganz um den Kreis. Circa das 6,28 fache des Radius'. Gilt in jedem Kreis, ist immer so. Wenn ich jetzt den Winkel von 180° haben möchte, also einmal von hier bis da rum, ja, das wie viel Fache vom Radius ist es dann wohl? Wenn ich ganz rum komme, dann ist es das 2×pi fache des Radius' und wenn ich nur halb rumkomme, dann ist es einfach nur das pi fache des Radius'. 180° ist also das pi fache des Radius, bedeutet einfach im Bogenmaß der Winkel heißt pi. Das ist jetzt neu. Das ist neu, dass der Winkel jetzt nicht Grad heißt, sondern pi heißt, aber wie du ja weißt, pi ist auch eine ganz normale Zahl. Vielleicht was besonders, wie du auch, aber es ist auch ein Winkel. Wenn man das im Bogenmaß nimmt, ist es auch ein Winkel. Das pi fache des Radius' passt zur Hälfte um den Kreis. Wenn wir jetzt einen Winkel von 90° haben wollen, also von hier bis da, ja ich brauche es gar nicht mehr nachmessen. Wie oft muss ich dann den Radius rumlegen. pi/2 mal. Wir wissen pi ist ungefähr 3,14, die Hälfte davon ist ungefähr 1,57 mal. Gucken wir mal. 1,57×Radius. Ich greif das mal ab und du siehst hier ist einmal der Radius und noch einmal mehr als die Hälfte des Radius' dazu. Das ist ungefähr das 1,57 fache des Radius'. Das ist der Winkel von 90° und dann mach ich mir die Sache einfach. Der Winkel von 90°, der entspricht dem Bogenmaß von pi/2. Also die pi/2 einfach. Das ist der 90° Winkel gemessen im Bogenmaß. Und weil da so schön glatte Zahlen rauskommen, misst man, wenn man die Winkel im Bogenmaß misst, drückt man sie aus, das wollte ich sagen. Man drückt die Winkel aus als vielfache von pi , beziehungsweise als Teile von pi und macht man deshalb, weil man dann hier diese glatten Winkel bekommt. Diese glatten Zahlen. Ja und das wars eigentlich dazu, ich glaub mehr gibt es dazu nicht zu sagen. Ich glaub, du hast alles verstanden und diese Zahlen, die benutzt man dann eher selten. Viel Spaß mit dem Bogenmaß, bis bald, tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Ausgezeichnet

    Von Ekonzelmann, vor fast 8 Jahren
  2. Große Klasse!

    Von Deleted User 56513, vor mehr als 8 Jahren
  3. Ich muss sagen ein sehr charismatischer Mensch und auserdem hat er das Thema noch anschaulich erklärt.Top

    Von Philipp Mamier, vor mehr als 9 Jahren

Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum Bogenmaß.

    Tipps

    Wenn ein Bogen der Länge $r$ dem Winkel $57,3^\circ$ entspricht, dann entspricht ein Bogen der Länge $2r$ dem Winkel $2\cdot 57,3^\circ=114,6^\circ$.

    $\pi$ ist die sogenannte Kreiszahl. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Die ersten kannst du hier sehen:

    $\pi=3,141592...$

    $e$ ist die Euler'sche Zahl:

    $e=2,171828...$

    Überlege dir, wie groß der Winkel des gesamten Kreises ist.

    Lösung

    Wir wollen das Bogenmaß näher betrachten.

    Wenn man einen Kreis mit dem Radius $r$ betrachtet, dann ist der zugehörige Umfang gegeben durch die Formel

    $U=2\pi ~r \approx 6,28 r$.

    Was passiert, wenn man von einem Punkt des Kreisrandes aus die Strecke mit der Länge $r$ auf dem Kreis geht? Es entsteht ein Winkel, welcher zu dem Kreisbogen $r$ gehört.

    Wenn man diesen Winkel misst oder berechnet, erhält man ungefähr $57,3~^\circ$. Dies ist anschaulich hier zu sehen.

    Da der Winkel $57,3^\circ$ eher ein sehr ungewöhnlicher Winkel ist (er ist nicht „glatt“), kann man sich fragen, wie man im Bogenmaß solche Winkel wie $90^\circ$, $180^\circ$ oder $45^\circ$ darstellen kann?

    Die Idee ist, Winkel als Vielfaches von $\pi$ auszudrücken.

  • Gib den jeweiligen Winkel als Vielfaches von $\pi$ an.

    Tipps

    Wie oft passt $90^\circ$ in den gesamten Winkel $360^\circ$?

    Der Umfang des Kreises ist gegeben durch $2\pi~r$.

    $180^\circ$ ist die Hälfte von $360^\circ$. Ebenso verhält es sich mit den zugehörigen Bögen.

    Lösung

    Zu dem gesamten Umfang eines Kreises $U=2\pi~r$ gehört der gesamte Winkel $360^\circ$. Das bedeutet, dass dem Winkel $360^\circ$ das $2\pi$-fache des Radius entspricht.

    Wie können nun andere (kleinere) Winkel ebenfalls als Vielfaches von $\pi$ dargestellt werden?

    Man überlegt sich zunächst, wie oft der Winkel in den gesamten Winkel von $360^\circ$ passt. Dieser Faktor gibt ebenfalls an, wie oft das Vielfache des Winkels in $2\pi$ passt. Anders ausgedrückt: Hier liegt eine proportionale Zuordnung vor.

    • $360^\circ = 2\pi~~~ \Leftrightarrow ~~~180^\circ = \pi$. Der Winkel $180^\circ$ ist die Hälfte von $360^\circ$. Ebenso dividieren wir $2\pi$ durch $2$ und erhalten $\pi$. Das bedeutet, dass dem Winkel $180^\circ$ das $\pi$-fache des Radius entspricht.
    • Der Winkel $90^\circ$ ist ein Viertel von $360^\circ$: $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}2$.

  • Ergänze den zugehörigen Winkel oder das Bogenmaß.

    Tipps

    Der gegebene Winkel passt ebenso oft in $360^\circ$ wie der zugehörige Bogen in den gesamten Umfang $2\pi~r$.

    Im Bogenmaß werden immer die entsprechenden Vielfachen von $\pi$ als Vielfaches des Radius $r$ angegeben.

    Sei zum Beispiel das Bogenmaß $1,5\pi$ gegeben. Um den dazugehörigen Winkel zu berechnen, geht man wie folgt vor:

    $\large{\frac{1,5\pi~r}{2\pi~r}=\frac34}$.

    Mit diesem Quotienten multipliziert man den Winkel $360^\circ$ und gelangt zu dem Winkel

    $\frac34\cdot 360^\circ=270^\circ$.

    Lösung

    Zu dem Winkel $360^\circ$ gehört das $2\pi$-fache des Radius $r$. Wenn man einen beliebigen Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ betrachtet, so kann man auch das zugehörige Vielfache von $r$ ermitteln.

    Da $\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14$ ist, folgt, dass der zugehörige Bogen als Länge das

    $\frac14\cdot 2\pi=\frac12\pi=0,5\pi$-fache von $r$ hat.

    Ist umgekehrt der Bogen bekannt, kann man auch den zugehörigen Winkel berechnen.

    Wenn der Bogen als Länge das $0,25\pi$-fache von $r$ hat, kann man dies in Relation zum gesamten Umfang setzen und erhält

    $\frac{0,25\pi~r}{2\pi~r}=\frac18$.

    Damit multipliziert man den Winkel $360^\circ$ und gelangt zu dem Winkel $\frac18\cdot 360^\circ=45^\circ$.

    Ebenso kann der Winkel zu $0,75\pi$ berechnet werden:

    $\frac{0,75\pi~r}{2\pi~r}=\frac38$.

    Damit multipliziert man den Winkel $360^\circ$. Wir berechnen:

    $\frac38\cdot 360^\circ=135^\circ$.

  • Ermittle zu jedem der gegebenen Winkel das zugehörige Vielfache von $\pi$.

    Tipps

    Wenn du jeweils den Winkel in Relation zu $360^\circ$ setzt, kannst du dies auch mit dem zugehörigen Bogen und dem gesamten Umfang tun.

    Wenn du das Bogenmaß zweier Winkel kennst und das Bogenmaß der Summe der Winkel berechnen möchtest, musst du nur die bekannten Bogenmaße addieren.

    Zum Beispiel ist das Bogenmaß zu $90^\circ$ gegeben durch $\frac{\pi}2$. Damit kann das Bogenmaß zu $180^\circ$ auch als zweimaliges Bogenmaß von $90^\circ$ berechnet werden:

    $2\cdot \frac{\pi}2=\pi$ $~~~~~$✓

    Lösung

    Wir wissen bereits, dass man bestimmte Winkel als Vielfaches von $\pi$ darstellen kann. Genauer gesagt beschreiben wir den entsprechend zugehörigen Bogen.

    Zu dem gesamten Umfang eines Kreises $U=2\pi~r$ gehört der Winkel $360~^\circ$.

    Damit konnten bereits die folgenden Beziehungen hergeleitet werden:

    • $180^\circ~\hat =~\pi$
    • $90^\circ~\hat =~\frac{\pi}{2}$
    Nun kann man sich weitere Winkel anschauen:
    • $0^\circ$ entspricht $0$.
    • $45^\circ$ entspricht $\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}4$, da $45^\circ$ achtmal in $360^\circ$ passt.
    • $135^\circ$ ist die Summe aus $90^\circ$ und $45^\circ$. Somit kann man auch die zugehörigen Vielfachen von $\pi$ addieren zu $\frac{\pi}2+\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4$.
    • $270^\circ$ erhält man, indem man $360^\circ$ mit $\frac34$ multipliziert. Damit hat der zugehörige Bogen die Länge $\frac34\cdot 2\pi=\frac{3\pi}2$.

  • Beschreibe, warum man das Bogenmaß als Vielfaches von $\pi$ darstellt.

    Tipps

    Dem Winkel $90^\circ$ entspricht das $\frac{\pi}2$-fache von $r$.

    Wenn man den Bogen $1~r$ wählt, erhält man den doch etwas „krummen“ Winkel $57,3^\circ$.

    Dass sehr viele Nachkommastellen von $\pi$ bekannt sind, ist wirklich eine feine Sache, aber für die praktische Rechnung mit Winkeln nicht so wichtig.

    Lösung

    Ausgehend von dem gesamten Umfang eines Kreises, dem $2\pi$-fachen des Radius und dem dazugehörigen Winkel von $360^\circ$, kann man den Winkel und auch den Bogen teilen und erhält weitere Zuordnungen von Winkeln zu Vielfachen von $r$.

    • Wenn man $360^\circ$ durch $2$ teilt, erhält man $180^\circ$ mit dem dazugehörigen Vielfachen von $r$, nämlich $\frac{2\pi}2=\pi$.
    • Wenn man $360^\circ$ durch $4$ teilt, erhält man $90^\circ$ mit dem dazugehörigen Vielfachen von $r$, nämlich $\frac{2\pi}4=\frac{\pi}2$.
    Wenn man also solche Winkel darstellen will, bietet sich die Darstellung als Vielfaches von $\pi$ an.

  • Leite eine Formel zur Berechnung des Bogenmaßes bei gegebenem Winkel her.

    Tipps

    Ebenso oft wie der Winkel in den gesamten Winkel passt, so oft passt der zugehörige Bogen in den gesamten Umfang.

    Du kannst die Formel mit dem Winkel $180^\circ$ überprüfen. Der entsprechende Bogen muss $\pi ~r$ betragen, also das $\pi$-fache von $r$.

    Der gesamte Kreiswinkel beträgt $360^\circ$ und der Umfang $U=2\pi~r$.

    Lösung

    Es ist bekannt, dass dem Winkel $360^\circ$ des gesamten Kreises das $2\pi$-fache des Radius entspricht. Wie kann man zu einem allgemeinen Winkel das Bogenmaß berechnen?

    Zurück zum Anfang: Dem Winkel $360^\circ$ entspricht der gesamte Umfang $U=2\pi~r$.

    Man kann sich auch vor Augen führen, dass zu der Hälfte von $360^\circ$, also $180^\circ$, die Hälfte des Umfangs gehört: $\pi~r$. Dies ist in dem nebenstehenden Bild zu sehen.

    Dies kann man auch verallgemeinern. Es gilt das folgende Verhältnis

    $\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac b{2\pi ~r}$.

    Das bedeutet: Ebenso oft, wie der Winkel in den gesamten Winkel passt, passt der zugehörige Bogen in den gesamten Umfang.

    Diese Gleichung kann nun umgeformt werden, um bei gegebenem Winkel den Bogen zu berechnen. Hierfür wird mit $2\pi r^\circ$ multipliziert

    $b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi ~r$.

    Nun kann diese Formel einmal für $\alpha=180^\circ$ überprüft werden:

    $b=\frac{180^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi ~r=\frac12\cdot 2\pi~r=\pi~r$ $~~~~$✓

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