sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Was ist ein Abstand? 06:21 min

Textversion des Videos

Transkript Was ist ein Abstand?

Hallo, schön dich mal wieder hier zu sehen. Was ein Abstand zwischen zwei Objekten ist und wie du ihn abmisst, wirst du vermutlich intuitiv richtig beantworten. Mathematisch ist der Abstand entsprechend definiert:

Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen.

Das erscheint logisch, denn wenn du spontan mal nachmessen möchtest, wie groß eigentlich der Abstand zwischen dir und dem weißen Hai dort im Wasser ist, dann wirst du die kürzeste Entfernung messen und die Entfernung nicht so oder so messen!

Aber zurück zur Geometrie: In diesem Video wirst du als erstes lernen, den Abstand eines Punktes zu einer Geraden zu bestimmen – anschießend den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.

Abstand von einem Punkt zu einer Geraden

In unserem ersten mathematischen Beispiel – ohne Wasser und Haie und so – sind die zwei geometrischen Objekte, der Punkt P und die Gerade g, gegeben. Unsere Aufgabe lautet: Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g.

Wir sollen also die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt P und der Geraden g ermitteln. Dazu müssen wir eine Senkrechte durch den Punkt P zu der Geraden g zeichnen. Ich zeig dir wie:

Wir brauchen das Geodreieck und legen es mit der Mittellinie auf die Gerade g. Dann verschieben wir das Geodreieck so lange, bis wir mit der Zeichenkante den Punkt P erreichen. Die Mittellinie des Geodreiecks muss immernoch auf der Geraden sein.

Nun zeichnen wir entlang der Zeichenkante Punkt P mit der Geraden g eine Hilfslinie ein. Diese schneidet die Gerade g in einem Punkt - wir nennen den Punkt S. S wie Schnittpunkt.

Vielleicht fällt dir auf, dass die Strecke PS, senkrecht zur Geraden g steht. Die Hilfslinie ist die Senkrechte zur Geraden g durch den Punkt P.

Die Strecke PS ist die kürzeste Entfernung des Punktes P zur Geraden g. Es ist der gesuchte Abstand. Wir können nun die Länge der Strecke PS messen. 5 cm. Der Abstand des Punktes P zur Geraden g beträgt also 5 cm.

Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Nun zum nächsten Beispiel. Unsere zwei geometrischen Obkjekte sind nun zwei parallele Geraden. Du weißt bestimmt noch, wann zwei Geraden parallel sind. Dies ist dann der Fall, wenn sich 2 Geraden nicht schneiden. Da Geraden unendlich lang sind, darf das auch nicht außerhalb des Bildausschnittes passieren.

Zurück zur unseren eigentlichen Aufgabe: Bestimme den Abstand zwischen der parallelen Geraden g und h.

Wichtig ist zunächst eines zu klären. Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, haben sie an jeder Stelle denselben Abstand. Deshalb wählen wir nun als erstes einen Punkt Punkt auf einer der beiden Geraden - nehmen wir die Gerade h. Den Punkt nennen wir P.

Nun gehen mit demselben Verfahren wie beim letzten Beispiel vor. Um den Abstand zu bestimmen, müssen wir eine Senkrechte durch den Punkt P zu der Geraden g zeichnen.

Dafür brauchen wir das Geodreieck und legen es mit der Mittellinie auf die Gerade g. Dann verschieben wir das Geodreieck so lange, bis wir mit der Seitenkante den Punkt P erreichen. Wir zeichnen dann die senkrechte Hilfslinie, die die Gerade g im Punkt S schneidet.

Nun müssen wir lediglich die Länge der Strecke PS messen und erhalten den Abstand des Punktes P zur Geraden g und damit gleichzeitig den Abstand der Geraden g und h: 3,5 cm. Der Abstand zwischen den parallelen Gerade g und g beträgt also 3,5 cm.

Zwei parallele Geraden mit einem bestimmten Abstand konstruieren

Übrigens: Wir können mit einem ähnlichen Verfahren zwei zueinander parallele Geraden in einem bestimmten Abstand konstruieren. Angenommen der Auftrag lautet: Zeichne zwei parallele Geraden g und h mit einem Abstand von 6 cm.

Zunächst zeichnen wir mit dem Geodreieck eine Gerade a. Danach zeichnen wir an irgendeinem Punkt P auf der Geraden a eine senkrechte Hilfslinie.

Dafür legen wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade g und ziehen mit Hilfe der Seitenkante eine Linie. Die sollte natürlich länger als 6 cm nach oben bzw. unten verlaufen. Wir können uns ja ausssuchen, ob wir die Parallele oberhalb oder unterhalb der Geraden g zeichnen. Wir zeichnen sie oberhalb. Also muss unsere senkrechte Hilfslinie über 6 cm nach oben ragen.

Nun zeichnen wir auf der Hilfslinie einen neuen Punkt S ein, der einen Abstand von 6 cm zu P hat. Jetzt geht alles ganz schnell: Wir legen das Geodreieck mit der Mittellinie genau auf die Senkrechte und mit der Zeichenkante an den Punkt S. Wir ziehen die Gerade b und fertig. Unser Ergebnis sind zwei parallele Geraden a und b in einem Abstand von 6 cm.

Zusammenfassung

So , damit hast du in wenigen Minuten alles Wichtige dazu gelernt, wie du den Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten bestimmst.

Du bezeichnest einfach den Hai als Punkt H, er schwimmt stur gerade aus auf der Geraden g. Dich selbst bezeichnen wir als Punkt I – I für Ich will nicht gefressen werden. Deshalb sollte sich I nun möglichst schnell und möglichst senkrecht von der Bahn, die der Hai im Wasser zieht – die Gerade g –, entfernen.

Dabei wird der Abstand zwischen H und I immer größer. Natürlich nur, wenn der Hai nicht von seiner Bahn abweicht. Hoffen wir also, dass der Hai entweder völlig vollgefressen ist – vielleicht auch blind und taub oder sogar Vegetarier ist.

39 Kommentare
  1. wow...nur wow ich finde diese viedios einfach toll!
    und es ist auch toll das man ausuchen kann, in welche klasse man ist.
    ich finde das echt toll!
    :)

    Von Mitra D., vor etwa einem Monat
  2. Das Video war einfach super.

    Von Ahlie, vor 2 Monaten
  3. Vielen Dank für euer positives Feedback! Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 3 Monaten
  4. Sehr Gut erklärt hab kapiert

    Von Batiahe17, vor 3 Monaten
  5. Das wieder ist sehr hilfsreich 👍👍👌👌👑👑🤺🏅🤺🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅🏅😜

    Von Nadineweidermann, vor 7 Monaten
Mehr Kommentare

Was ist ein Abstand? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Abstand? kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was parallele Geraden sind.

    Tipps

    Wie viele Schnittpunkte haben zwei parallele Geraden?

    Wenn du parallel zum Hai schwimmst, kann er dich nicht fressen, da sich eure Schwimmbahnen nicht kreuzen.

    Eine Strecke hat immer einen Anfangs- und einen Endpunkt. Wie ist es bei einer Geraden?

    Lösung

    Der Begriff „parallel“ für zwei Geraden bedeutet, dass sie in einer Ebene liegen und sich nie kreuzen. Beachte, dass die unendlich langen Geraden sich nicht außerhalb des Papiers schneiden.

    Parallele Geraden haben an allen Stellen immer den gleichen Abstand, da sie sich nie schneiden und nicht näherkommen.

    Um parallele Geraden einzuzeichnen, kannst du dein Geodreieck nutzen. Die Hilfslinien auf diesem sind parallel und können dir helfen, deine Geraden auch parallel zueinander zu zeichnen.

  • Bestimme die Begriffe Hilfspunkt, Hilfslinie und Abstand in der Beschreibung.

    Tipps

    Hilfspunkte werden, wie für Punkte üblich, mit einem Großbuchstaben bezeichnet.

    Hilfslinien sind Geraden, die du zusätzlich einzeichnest.

    Wenn Hilfspunkte bzw. -linien mehrfach auftauchen, musst du sie auch mehrmals markieren.

    Lösung

    Den Abstand zwischen zwei Geraden g und h kannst du folgendermaßen bestimmen. Du arbeitest dabei mit Hilfspunkten und einer Hilfslinie:

    • Zuerst brauchst du einen Hilfspunkt P auf einer der beiden Geraden, z.B. auf h. Den kannst du auf der Geraden einzeichnen, wo du willst.
    • Von diesem aus musst du eine senkrechte Hilfslinie b durch die andere Gerade zeichnen. Beschrifte den Punkt mit einem großen Buchstaben. Zum Beispiel mit einem S. Das ist dein zweiter Hilfspunkt.
    • Die Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{PS}}$ zwischen P und S ist dann dein Abstand.
    Merke dir also immer: Hilfspunkte und Hilfslinie helfen dir, den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden zu zeichnen.

  • Entscheide, in welchen Bildern Abstände eingezeichnet wurden.

    Tipps

    Bei zwei parallelen Geraden denke an die Beckenränder eines Schwimmbads. Wie würdest du hier schwimmen, wenn du ein Wettschwimmen machst?

    Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen.

    Die Hilfslinie muss im 90°-Winkel eingezeichnet werden, damit sie die kürzeste Verbindung ist.

    Lösung

    Der Abstand ist immer die kürzeste Entfernung.

    • Denke immer an ein Wettschwimmen. Wenn du von dem einen Beckenrand zum anderen Beckenrand schwimmen willst, musst du die kürzeste Strecke schwimmen, damit du keine Zeit verlierst. Die kürzeste Strecke schwimmst du, wenn du in deiner Schwimmbahn bleibst und ganz gerade ohne Zick-Zack-Linien schwimmst.
    • Um zwischen zwei parallelen Geraden oder zwischen einem Punkt und einer Geraden die kürzeste Strecke einzuzeichnen, nutze eine Hilfslinie, die im 90°-Winkel eingezeichnet sein muss.
  • Erkläre, wie du zwei parallelen Geraden im Abstand von 3 cm einzeichnen kannst.

    Tipps

    Die Hilfspunkte P und S und die Hilfslinie sind wichtig, damit du den Abstand einzeichnen kannst.

    An der Hilfslinie trägst du 3 cm für den Abstand ab.

    Der Abstand ist immer die kürzeste Verbindung. Du musst mit deinem Geodreieck den Abstand also im 90°-Winkel einzeichnen.

    Lösung

    Wir wollen zwei parallele Geraden im Abstand von $3~cm$ einzeichnen. Dabei gehst du folgendermaßen vor:

    • Zunächst musst du auf der Geraden g einen Punkt P einzeichnen. Es ist egal, wo du diesen Punkt einzeichnest, da er dir nur dazu hilft, eine Hilfslinie einzuzeichnen.
    • Diese Hilfslinie zeichnest du dann durch den Punkt P. Dabei muss die Mittellinie des Geodreiecks genau auf der Geraden g liegen. Es ist egal, ob du diese nach unten oder nach oben zeichnest. Wichtig ist aber, dass sie länger als der Abstand von 3 cm ist. Denk daher daran, immer genügend Platz auf deiner Seite im Heft zu lassen.
    • Um nun den genauen Abstand einzuzeichnen, musst du das Geodreieck auf deiner Hilfslinie anlegen und $3~cm$ abtragen. Nenne den markierten Punkt S.
    • Um nun eine parallele Gerade einzuzeichnen, musst du das Geodreieck mit der Zeichenkante auf S legen. Dabei muss die Mittellinie des Geodreiecks mit der Hilfslinie zur Deckung kommt.
    • Nun zeichnest du deine neue Gerade b. Sie hat nun einen Abstand von 3 cm und ist parallel zur Geraden g.
    Allgemein: Denke immer daran, dass du dein Geodreieck gut festhältst und es nicht verrutscht. Achte auch darauf, dass du immer mit einem angespitzten Bleistift zeichnest.

  • Gib an, welche Aussagen zum Abstand zutreffend sind.

    Tipps

    Wenn du in einem Schwimmbecken von einem Beckenrand zum anderen schwimmst, ist der Abstand immer die direkte und schnellste Verbindung.

    Zwei parallele Geraden kommen sich nicht näher und gehen auch nicht weiter auseinander.

    Du kannst auch zwischen deiner Sonnenliege und der Wasserrutsche, zwischen Berlin und Rom, zwischen zwei parallelen Beckenrändern im Schwimmbad oder deinem Bett und dem Badezimmer den Abstand messen.

    Lösung

    Ein Abstand ist immer die kürzeste Entfernung zwischen zwei Objekten.

    • Es handelt sich quasi um die schnellste Verbindung, um von einem Objekt zu einem anderen Objekt zu kommen. Zum Beispiel: Wenn du im Freibad ein Wettschwimmen von einem Beckenrand zum anderen Beckenrand machen willst, musst du immer in einer geraden Bahn schwimmen. Mache keine Zick-Zack-Linie und verlasse nie deine Bahn, denn sonst schwimmst du eine längere Strecke und verlierst viel Zeit. Das wäre bei einem Wettschwimmen sehr ärgerlich.
    • Du kannst Abstände zwischen beliebigen geometrischen Objekten messen, z.B. zwischen deiner Sonnenliege und der Wasserrutsche, zwischen Berlin und Rom, zwischen zwei parallelen Beckenrändern im Schwimmbad oder deinem Bett und dem Badezimmer.
    • Zur Messung kannst du ein Lineal, Geodreieck oder einen Zollstock nehmen. Für größere Entfernungen eignet sich auch die Entfernungsmessung mit Satelliten.
  • Ermittle die Abstände.

    Tipps

    Mache dir eine kleine Skizze, um dir den Inhalt besser vorzustellen oder schreibe dir die Zahlen aus dem Text noch einmal auf ein Stück Papier.

    Was ist die gesamte Strecke? Wie viel wurde von dieser Strecke schon geschafft?

    Subtrahiere dann von der gesamten Strecke den Teil, der schon geschafft wurde. Als Ergebnis bekommst du den noch benötigten Abstand.

    Lösung

    Lies dir immer die Aufgabe genau durch. Überlege dir, welche Angaben für dich relevant sind.

    Mache dir eine kleine Skizze, um dir den Inhalt besser vorzustellen oder schreibe dir die Zahlen aus dem Text noch einmal auf ein Stück Papier.

    Überlege dir bei jeder Aufgabe:

    • Was ist die gesamte Strecke?
    • Wie viel wurde von dieser Strecke schon geschafft?
    • Subtrahiere dann von der gesamten Strecke den Teil, der schon geschafft wurde.
    • Als Ergebnis bekommst du den noch benötigten Abstand.
    Zum Beispiel: Emma hat einen Schulweg von $8~km$. Sie fährt jeden Tag mit dem Bus. Der Bus hält bei $5~km$ an einer Bushaltestelle. Wie viele Kilometer kann Emma mit dem Bus fahren? Die gesamte Strecke sind $8~km$ und sie muss $5~km$ per Fuß zurücklegen. Wir rechnen also $8-5=3$. Emma kann also $3~km$ mit dem Bus fahren.