Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung 06:23 min

Hallo, hier habe ich einmal wieder einen kleinen Funktionsgraphen vorbereitet. An dem möchte ich jetzt zeigen, wie du die Ableitung aus diesem Graphen direkt erkennen kannst. Und um diesen Prozess des graphischen, intuitiven Ableitens handwerklich begreifbar zu machen, habe ich diese Steigungsdreiecke hier vorbereitet. Das ist meine Sammlung von Steigungsdreiecken und mit denen werde ich jetzt zeigen, was sich bei dir eigentlich im Kopf abspielen soll, wenn du eine solche Ableitung machst - wenn du ungefähr abschätzt, wie groß die Ableitung ist. Du betrachtest also hier ein Intervall und stellst dir vor, wie das Steigungsdreieck ungefähr aussehen könnte. Das werde ich jetzt ein bisschen unterstützen und das näher heranzoomen. Dann kannst du das hoffentlich besser sehen. Das ist ein Steigungsdreieck, das habe ich hier drangesetzt. Dann kommt noch eins. Hier ist die Steigung - auf dem Gebiet - ungefähr 3. Hier ist sie ungefähr 1,5. Auf dem Bereich ist sie ungefähr 0. Da ist der Gipfel des Berges. Wenn man auf dem Gipfel des Berges ist, geht es auch nicht mehr höher. Dann kommt hier das nächste Steigungsdreieck. Das hat ein Gefälle von ungefähr 1,5. So verläuft hier ungefähr die Funktion. Dann kommt ein Steigungsdreieck mit dem Gefälle 1. Da kann ich ungefähr die Funktion so annähern. Und hier haben wir ungefähr -0,5, denn die Funktion fällt. Und das Nächste ist dann -0,25. Das ist also die Funktion mit den Steigungsdreiecken. Wenn du jetzt die Ableitungsfunktion sehen willst, dann kannst du einfach diese Steigungsdreiecke hier unten anlegen. Auf dem Intervall von 0 bis 1 ist die Steigung also ca. 3. Diese roten Balken an den Steigungsdreiecken geben an, wie groß die Ableitung ist. Da ist die Ableitung +1,5. Hier ist sie 0 auf dem Intervall von 2 bis 3. Dann ist sie negativ. Hier also -1,5. -1. Und der Letzte auch noch. So sieht jetzt ungefähr die Ableitung aus. Das werde ich jetzt einmal nachmalen. Hier ist der Ableitungswert ca. 3, 1,5, dort 0, -1,5, -1, -0,5 und -0,25. Das ist vielleicht ein bisschen umständlich, aber wenn du solche Dinge neu lernst, dann nimm dir ruhig etwas Zeit. Mache nicht alles so "hopplahopp", denn die genaue Denkweise spart dann hinterher viel Zeit. Weil du dann nämlich sehr genau erkennen kannst, wie Ableitungen aussehen. Wir haben hier also einen kühnen Schwung der Ableitung. So verläuft sie ungefähr. Hier geht es nach unten mit der Ableitung, da hat sie ihren tiefsten Punkt und dann geht es hier wieder hoch. So ungefähr sieht die Ableitung aus. Was haben wir jetzt erreicht? Worauf ich hinweisen möchte, ist: Die Ausgangsfunktion steigt, die Ableitungsfunktion fällt. Hier in dem Bereich fällt die Ausgangsfunktion und die Ableitungsfunktion steigt wieder. Hier hatte die Ableitungsfunktion einen tiefsten Punkt, hier fällt einfach die Ausgangsfunktion. Die Nullstellen der Ausgangsfunktion haben nichts mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion zu tun. Ich wollte nur einmal darauf hinweisen, denn viele Menschen versuchen Bezüge zu sehen, wenn sie etwas lernen. Das ist im Prinzip richtig. Nur: Viele Bezüge, die man hier sehen könnte, die man vielleicht gerne hätte, die sind einfach nicht da und deshalb wollte ich das noch einmal sagen. Das ist wieder eine ungefähre Ableitung konstruiert mit den Steigungsdreiecken. Dann viel Spaß damit. Bis bald, tschüss.