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Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung

Hallo. In diesem Video möchte ich noch einmal über das Thema Ableitung einer Funktion sprechen. Indem wir einmal Funktionsgleichungen und Zahlen ganz außenvorlassen, möchte ich mit dir gemeinsam auf Entdeckungstour gehen. In diesem Video werde ich dir zeigen, wie eine Ableitung graphisch bestimmt werden kann. Dadurch wirst du ein tieferes Verständnis darüber entwickeln, was eigentlich die Ableitung ist und wofür sie gut ist. Beachte dabei allerdings, dass es nicht möglich ist eine Ableitung graphisch zu bestimmen. Man kann sie lediglich skizzieren. Um sie korrekt anzugeben, muss man dann doch rechnen!

Transkript Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung

Hallo, hier habe ich einmal wieder einen kleinen Funktionsgraphen vorbereitet. An dem möchte ich jetzt zeigen, wie du die Ableitung aus diesem Graphen direkt erkennen kannst. Und um diesen Prozess des graphischen, intuitiven Ableitens handwerklich begreifbar zu machen, habe ich diese Steigungsdreiecke hier vorbereitet. Das ist meine Sammlung von Steigungsdreiecken und mit denen werde ich jetzt zeigen, was sich bei dir eigentlich im Kopf abspielen soll, wenn du eine solche Ableitung machst - wenn du ungefähr abschätzt, wie groß die Ableitung ist. Du betrachtest also hier ein Intervall und stellst dir vor, wie das Steigungsdreieck ungefähr aussehen könnte. Das werde ich jetzt ein bisschen unterstützen und das näher heranzoomen. Dann kannst du das hoffentlich besser sehen. Das ist ein Steigungsdreieck, das habe ich hier drangesetzt. Dann kommt noch eins. Hier ist die Steigung - auf dem Gebiet - ungefähr 3. Hier ist sie ungefähr 1,5. Auf dem Bereich ist sie ungefähr 0. Da ist der Gipfel des Berges. Wenn man auf dem Gipfel des Berges ist, geht es auch nicht mehr höher. Dann kommt hier das nächste Steigungsdreieck. Das hat ein Gefälle von ungefähr 1,5. So verläuft hier ungefähr die Funktion. Dann kommt ein Steigungsdreieck mit dem Gefälle 1. Da kann ich ungefähr die Funktion so annähern. Und hier haben wir ungefähr -0,5, denn die Funktion fällt. Und das Nächste ist dann -0,25. Das ist also die Funktion mit den Steigungsdreiecken. Wenn du jetzt die Ableitungsfunktion sehen willst, dann kannst du einfach diese Steigungsdreiecke hier unten anlegen. Auf dem Intervall von 0 bis 1 ist die Steigung also ca. 3. Diese roten Balken an den Steigungsdreiecken geben an, wie groß die Ableitung ist. Da ist die Ableitung +1,5. Hier ist sie 0 auf dem Intervall von 2 bis 3. Dann ist sie negativ. Hier also -1,5. -1. Und der Letzte auch noch. So sieht jetzt ungefähr die Ableitung aus. Das werde ich jetzt einmal nachmalen. Hier ist der Ableitungswert ca. 3, 1,5, dort 0, -1,5, -1, -0,5 und -0,25. Das ist vielleicht ein bisschen umständlich, aber wenn du solche Dinge neu lernst, dann nimm dir ruhig etwas Zeit. Mache nicht alles so "hopplahopp", denn die genaue Denkweise spart dann hinterher viel Zeit. Weil du dann nämlich sehr genau erkennen kannst, wie Ableitungen aussehen. Wir haben hier also einen kühnen Schwung der Ableitung. So verläuft sie ungefähr. Hier geht es nach unten mit der Ableitung, da hat sie ihren tiefsten Punkt und dann geht es hier wieder hoch. So ungefähr sieht die Ableitung aus. Was haben wir jetzt erreicht? Worauf ich hinweisen möchte, ist: Die Ausgangsfunktion steigt, die Ableitungsfunktion fällt. Hier in dem Bereich fällt die Ausgangsfunktion und die Ableitungsfunktion steigt wieder. Hier hatte die Ableitungsfunktion einen tiefsten Punkt, hier fällt einfach die Ausgangsfunktion. Die Nullstellen der Ausgangsfunktion haben nichts mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion zu tun. Ich wollte nur einmal darauf hinweisen, denn viele Menschen versuchen Bezüge zu sehen, wenn sie etwas lernen. Das ist im Prinzip richtig. Nur: Viele Bezüge, die man hier sehen könnte, die man vielleicht gerne hätte, die sind einfach nicht da und deshalb wollte ich das noch einmal sagen. Das ist wieder eine ungefähre Ableitung konstruiert mit den Steigungsdreiecken. Dann viel Spaß damit. Bis bald, tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Erblina T:
    Schaue dir dazu die folgenden Videos an.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/graph-der-ableitungsfunktion-bestimmen-uebung-1
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/graph-der-ableitungsfunktion-bestimmen-uebung-2
    Ich hoffe, dass die Videos dir helfen werden.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 6 Jahren
  2. Was mache ich wenn ich eine Arbeit schreibe. da habe ich keine soche steifungsdreiecke ?

    Von Erblina T, vor mehr als 6 Jahren
  3. Schön und gut aber solche Steigungsdreiecke hat doch kaum einer?

    Von Philippxl16, vor etwa 8 Jahren

Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur graphischen Ableitung.

    Tipps

    Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle.

    Um die Steigung einer Tangente zu bestimmen, zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck ein und ermittelt die Steigung als Quotient der Katheten.

    Die Steigung dieser Geraden ist zum Beispiel $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

    Lösung

    Wenn man anhand eines Funktionsgraphen den Graphen der Ableitungsfunktion zeichnen möchte, dann kann man an verschiedenen Stellen des Graphen Steigungsdreiecke anlegen.

    Somit erhält man die Steigungen an diesen Stellen, welche man dann auf die Ableitungsfunktion übertragen kann.

    Bei dem hier zu sehenden Beispiel erhält man Bereiche mit positiver Steigung und solche mit negativer. Eine sehr spannende Stelle ist die, an welcher die Steigung $0$ ist.

  • Ermittle den Graphen der Ableitungsfunktion.

    Tipps

    Wenn der Graph der Funktion steigt (fällt), ist die Ableitung positiv (negativ).

    Wenn der Graph eine höchste (oder auch tiefste) Stelle hat, hat die Ableitungsfunktion eine Nullstelle.

    Die Ableitungsfunktion hat nur eine Nullstelle.

    Lösung

    Hier ist der korrekte Graph der Ableitungsfunktion zu sehen.

    Wie kann man diesen erkennen?

    Zunächst schaut man sich die charakteristischen Stellen an. Der Funktionsgraph besitzt eine höchste Stelle. Die Tangente an dieser Stelle des Funktionsgraphen hat die Steigung $0$. Also hat die Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle.

    Links von der höchsten Stelle ist die Funktion steigend, die Ableitung also positiv, und rechts davon fallend, die Ableitung also negativ.

    Man kann sich sicher auch noch anschauen, wie stark die Funktion steigt oder fällt. Dazu dienen Steigungsdreiecke.

    Für einen ersten Überblick ist die obige Betrachtung ausreichend.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu Ableitungsfunktionen.

    Tipps

    Hier siehst du den Graphen einer Funktion und den der zugehörigen Ableitungsfunktion.

    Prüfe die Aussagen an diesem Beispiel.

    Wenn der Graph einer Funktion steigt, kannst du mithilfe von Steigungsdreiecken ermitteln, dass die entsprechende Tangente steigend ist.

    Eine Gerade, welche steigt, hat eine positive Steigung.

    Lösung

    Schauen wir uns die Zusammenhänge einmal an und überprüfen, welche korrekt sind und welche nicht.

    • Wenn der Graph der Funktion steigt, steigt dann auch die Ableitungsfunktion? Nein. Was man jedoch feststellen kann, ist, dass in dem Bereich, in dem der Graph der Funktion steigt, die Ableitungsfunktion positiv ist.
    • Ebenso muss ein fallender Graph nicht zu einer fallenden Ableitung führen. Was aber wiederum richtig ist, ist, dass die Ableitungsfunktion dann negativ ist.
    • Die Anzahl der Nullstellen von Funktion und Ableitungsfunktion stimmen überein!? Das kann schon mal der Fall sein, muss allerdings nicht. Bei dem hier zu sehenden Bild hat der Graph der Funktion zwei Nullstellen, der der Ableitungsfunktion allerdings nur eine. Wir haben also ein Gegenbeispiel, welches beweist, dass diese Aussage nicht immer gilt.
    • Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit dem Graphen der Funktion zusammen? Wenn die Ableitung an einer Stelle $0$ ist, bedeutet dies, dass bei der ursprünglichen Funktion an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vorliegt. Dies ist zum Beispiel der Fall bei höchsten oder auch bei tiefsten Punkten. Es kann jedoch auch vorkommen, wenn weder ein höchster noch ein tiefster Punkt vorliegt sondern ein Punkt, der als Sattelpunkt bezeichnet wird.
  • Untersuche die Zusammenhänge zwischen dem Funktionsgraphen und dem Graphen der Ableitungsfunktion.

    Tipps

    Eine quadratische Funktion ist gegeben durch

    $y=ax^2+bx+c$.

    Eine kubische Funktion ist gegeben durch

    $y=ax^3+bx^2+cx+d$.

    Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um $1$.

    Die Hoch- oder Tiefpunkte der Funktion werden über die Nullstellen der Ableitung bestimmt.

    Lösung

    Zur Anschauung der Ableitung ist es wichtig, sich zu merken, dass die Stellen, an welchen der Graph der Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, Nullstellen der Ableitung sind.

    Es gibt nämlich keine Hoch- oder Tiefpunkte, in welchen keine waagerechte Tangente (mit der Steigung $0$) vorliegt. Es gibt allerdings Punkte mit waagerechter Tangente, welche weder Hoch- noch Tiefpunkte sind: Diese nennt man Sattelpunkte. Daraus folgt, dass die Anzahl der Nullstellen der Ableitung mindestens so groß ist wie die Anzahl der Hoch- oder Tiefpunkte der Funktion.

    Wenn man ganzrationale Funktionen ableitet, verringert sich der Grad der Funktion um $1$.

    • Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion, deren Graph eine Gerade ist.
    • Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist.

  • Beschreibe, wie man anschaulich die Ableitung einer Funktion an einer gegebenen Stelle bestimmen kann.

    Tipps

    Die Steigung einer Geraden ist die Differenz der $y$-Koordinaten dividiert durch die Differenz der $x$-Koordinaten.

    Anhand der Zeichnung kannst du erkennen, was benötigt wird.

    Die beiden Punkte bilden eine Strecke. Diese ist die Hypotenuse eines Dreiecks, mit welchem man die Steigung berechnen kann.

    Lösung

    Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung einer Tangente. Dabei handelt es sich natürlich nicht um irgendeine Tangente, sondern um die Tangente an ebendieser Stelle des Funktionsgraphen.

    Eine Tangente ist eine Gerade und die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines Steigungsdreiecks.

    Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Hier ist ein solches Steigungsdreieck zu sehen. Die Steigung lässt sich berechnen als Quotient der Längen der zur y-Achse parallelen Kathete sowie der zur x-Achse parallelen Kathete.

    Hier wäre dies $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

  • Bestimme die jeweilige Ableitungsfunktion.

    Tipps

    Hier sind nur Graphen von quadratischen oder von linearen Funktionen zu sehen.

    Schau dir die jeweiligen x-Koordinaten der Scheitelpunkte an. Dort sind die Nullstellen der Ableitung.

    Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion und die Ableitung einer linearen Funktion ist eine konstante Funktion.

    Lösung

    Wie kann man feststellen, welcher Ableitungsgraph zu welchem Funktionsgraphen gehört?

    Alle Funktionsgraphen sind Parabeln, die zugehörigen Funktionsgleichungen sind somit quadratisch. Die entsprechende Ableitung ist linear, jedoch nicht konstant. Somit kann die zur x-Achse parallele Gerade zu keinem der Funktionsgraphen gehören.

    Nun kann man sich die jeweiligen x-Koordinaten der Scheitelpunkte anschauen. Dort befinden sich die Nullstellen der Ableitung.

    Wenn dies noch nicht genügt, dann schaut man sich die Öffnung der Parabel an, also die Art des Scheitelpunktes: liegt ein höchster oder ein tiefster Punkt vor?

    • Nur eine Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung. Diese gehört zu der blauen Parabel, da der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt.
    • Zwei Geraden haben ihre Nullstelle bei $-2$ und könnten somit zu der grünen Parabel gehören. Da diese nach oben geöffnet ist, ist die Steigung links vom Scheitelpunkt negativ und rechts davon positiv. Dies passt zu der steigenden Geraden.
    • Die zu den beiden übrigen Parabeln gehörenden Geraden kann man jeweils an der x-Koordinate des Scheitelpunktes erkennen. Dies ist die Nullstelle der entsprechenden Geraden.
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