Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung

Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen – Übung Übung

• Ergänze die Erklärung zur graphischen Ableitung.

  Tipps

  Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle.

  Um die Steigung einer Tangente zu bestimmen, zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck ein und ermittelt die Steigung als Quotient der Katheten.

  Die Steigung dieser Geraden ist zum Beispiel $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

  Lösung

  Wenn man anhand eines Funktionsgraphen den Graphen der Ableitungsfunktion zeichnen möchte, dann kann man an verschiedenen Stellen des Graphen Steigungsdreiecke anlegen.

  Somit erhält man die Steigungen an diesen Stellen, welche man dann auf die Ableitungsfunktion übertragen kann.

  Bei dem hier zu sehenden Beispiel erhält man Bereiche mit positiver Steigung und solche mit negativer. Eine sehr spannende Stelle ist die, an welcher die Steigung $0$ ist.

• Ermittle den Graphen der Ableitungsfunktion.

  Tipps

  Wenn der Graph der Funktion steigt (fällt), ist die Ableitung positiv (negativ).

  Wenn der Graph eine höchste (oder auch tiefste) Stelle hat, hat die Ableitungsfunktion eine Nullstelle.

  Die Ableitungsfunktion hat nur eine Nullstelle.

  Lösung

  Hier ist der korrekte Graph der Ableitungsfunktion zu sehen.

  Wie kann man diesen erkennen?

  Zunächst schaut man sich die charakteristischen Stellen an. Der Funktionsgraph besitzt eine höchste Stelle. Die Tangente an dieser Stelle des Funktionsgraphen hat die Steigung $0$. Also hat die Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle.

  Links von der höchsten Stelle ist die Funktion steigend, die Ableitung also positiv, und rechts davon fallend, die Ableitung also negativ.

  Man kann sich sicher auch noch anschauen, wie stark die Funktion steigt oder fällt. Dazu dienen Steigungsdreiecke.

  Für einen ersten Überblick ist die obige Betrachtung ausreichend.

• Prüfe die folgenden Aussagen zu Ableitungsfunktionen.

  Tipps

  Hier siehst du den Graphen einer Funktion und den der zugehörigen Ableitungsfunktion.

  Prüfe die Aussagen an diesem Beispiel.

  Wenn der Graph einer Funktion steigt, kannst du mithilfe von Steigungsdreiecken ermitteln, dass die entsprechende Tangente steigend ist.

  Eine Gerade, welche steigt, hat eine positive Steigung.

  Lösung

  Schauen wir uns die Zusammenhänge einmal an und überprüfen, welche korrekt sind und welche nicht.

  • Wenn der Graph der Funktion steigt, steigt dann auch die Ableitungsfunktion? Nein. Was man jedoch feststellen kann, ist, dass in dem Bereich, in dem der Graph der Funktion steigt, die Ableitungsfunktion positiv ist.
  • Ebenso muss ein fallender Graph nicht zu einer fallenden Ableitung führen. Was aber wiederum richtig ist, ist, dass die Ableitungsfunktion dann negativ ist.
  • Die Anzahl der Nullstellen von Funktion und Ableitungsfunktion stimmen überein!? Das kann schon mal der Fall sein, muss allerdings nicht. Bei dem hier zu sehenden Bild hat der Graph der Funktion zwei Nullstellen, der der Ableitungsfunktion allerdings nur eine. Wir haben also ein Gegenbeispiel, welches beweist, dass diese Aussage nicht immer gilt.
  • Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit dem Graphen der Funktion zusammen? Wenn die Ableitung an einer Stelle $0$ ist, bedeutet dies, dass bei der ursprünglichen Funktion an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vorliegt. Dies ist zum Beispiel der Fall bei höchsten oder auch bei tiefsten Punkten. Es kann jedoch auch vorkommen, wenn weder ein höchster noch ein tiefster Punkt vorliegt sondern ein Punkt, der als Sattelpunkt bezeichnet wird.

• Untersuche die Zusammenhänge zwischen dem Funktionsgraphen und dem Graphen der Ableitungsfunktion.

  Tipps

  Eine quadratische Funktion ist gegeben durch

  $y=ax^2+bx+c$.

  Eine kubische Funktion ist gegeben durch

  $y=ax^3+bx^2+cx+d$.

  Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um $1$.

  Die Hoch- oder Tiefpunkte der Funktion werden über die Nullstellen der Ableitung bestimmt.

  Lösung

  Zur Anschauung der Ableitung ist es wichtig, sich zu merken, dass die Stellen, an welchen der Graph der Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, Nullstellen der Ableitung sind.

  Es gibt nämlich keine Hoch- oder Tiefpunkte, in welchen keine waagerechte Tangente (mit der Steigung $0$) vorliegt. Es gibt allerdings Punkte mit waagerechter Tangente, welche weder Hoch- noch Tiefpunkte sind: Diese nennt man Sattelpunkte. Daraus folgt, dass die Anzahl der Nullstellen der Ableitung mindestens so groß ist wie die Anzahl der Hoch- oder Tiefpunkte der Funktion.

  Wenn man ganzrationale Funktionen ableitet, verringert sich der Grad der Funktion um $1$.

  • Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion, deren Graph eine Gerade ist.
  • Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist.

• Beschreibe, wie man anschaulich die Ableitung einer Funktion an einer gegebenen Stelle bestimmen kann.

  Tipps

  Die Steigung einer Geraden ist die Differenz der $y$-Koordinaten dividiert durch die Differenz der $x$-Koordinaten.

  Anhand der Zeichnung kannst du erkennen, was benötigt wird.

  Die beiden Punkte bilden eine Strecke. Diese ist die Hypotenuse eines Dreiecks, mit welchem man die Steigung berechnen kann.

  Lösung

  Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung einer Tangente. Dabei handelt es sich natürlich nicht um irgendeine Tangente, sondern um die Tangente an ebendieser Stelle des Funktionsgraphen.

  Eine Tangente ist eine Gerade und die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines Steigungsdreiecks.

  Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Hier ist ein solches Steigungsdreieck zu sehen. Die Steigung lässt sich berechnen als Quotient der Längen der zur y-Achse parallelen Kathete sowie der zur x-Achse parallelen Kathete.

  Hier wäre dies $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

• Bestimme die jeweilige Ableitungsfunktion.

  Tipps

  Hier sind nur Graphen von quadratischen oder von linearen Funktionen zu sehen.

  Schau dir die jeweiligen x-Koordinaten der Scheitelpunkte an. Dort sind die Nullstellen der Ableitung.

  Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion und die Ableitung einer linearen Funktion ist eine konstante Funktion.

  Lösung

  Wie kann man feststellen, welcher Ableitungsgraph zu welchem Funktionsgraphen gehört?

  Alle Funktionsgraphen sind Parabeln, die zugehörigen Funktionsgleichungen sind somit quadratisch. Die entsprechende Ableitung ist linear, jedoch nicht konstant. Somit kann die zur x-Achse parallele Gerade zu keinem der Funktionsgraphen gehören.

  Nun kann man sich die jeweiligen x-Koordinaten der Scheitelpunkte anschauen. Dort befinden sich die Nullstellen der Ableitung.

  Wenn dies noch nicht genügt, dann schaut man sich die Öffnung der Parabel an, also die Art des Scheitelpunktes: liegt ein höchster oder ein tiefster Punkt vor?

  • Nur eine Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung. Diese gehört zu der blauen Parabel, da der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt.
  • Zwei Geraden haben ihre Nullstelle bei $-2$ und könnten somit zu der grünen Parabel gehören. Da diese nach oben geöffnet ist, ist die Steigung links vom Scheitelpunkt negativ und rechts davon positiv. Dies passt zu der steigenden Geraden.
  • Die zu den beiden übrigen Parabeln gehörenden Geraden kann man jeweils an der x-Koordinate des Scheitelpunktes erkennen. Dies ist die Nullstelle der entsprechenden Geraden.