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Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen

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Martin Wabnik
Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen

Zu den Grundlagen der Analysis gehört im Wesentlichen das Ableiten von Funktionen. Deshalb solltest du dieses Thema unbedingt beherrschen. Das ist aber gar nicht so kompliziert. Also hab keine Angst! In zwei Videos möchte ich dir den Zusammenhang einer Funktion und ihrer Ableitung graphisch erklären. In diesem Video werde ich dir deshalb demonstrieren, wie vom Graphen einer Funktion auf deren Ableitung geschlossen werden kann. Dazu habe ich mir ein Schaubild ausgedacht. Die Funktionsgleichung soll uns nun ausnahmsweise egal sein. Das nächste Video heißt dann „Vom Graphen einer Ableitung auf die Funktion schließen “.

Transkript Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen

Hallo, wenn du Ableitungen verstehen möchtest und überhaupt so die Grundlagen der Analysis verstehen möchtest, was ja dann im Wesentlichen Ableitungen sind, dann wäre es also sehr hilfreich wenn du aus einem gegebenen Funktionsgraphen, wie dem hier zum Beispiel, wenn du daraus die Ableitung direkt sehen könntest. Das heißt natürlich nicht auf die Nachkommastelle genau, sondern so ungefähr eine Ableitungsfunktion darin erkennen kannst und das geht ganz einfach mit solchen Steigungsdreiecken, die ich hier mal vorbereitet habe. Wenn du so eine Sammlung von Steigungsdreiecken hast, dann kannst du hier diese Steigungsdreiecke an so eine Funktion anlegen und diese Funktion durch mehrere Steigungsdreiecke annähern und hier habe ich schon mal ein paar vorbereitet. Das ist ein Steigungsdreieck, ich zeige es noch mal etwas näher, ja, muss ich hierhin halten, sonst sieht man es nicht. Das ist also ein Steigungsdreieck und ich lege das jetzt mal hier hin, weil diese Funktion ungefähr eine Steigung hat, die -1 ist, da kannst du es sehen. Das ist das Steigungsdreieck -1, also es geht nach unten, wir haben ein Gefälle. Dann kann ich diese Funktion hier annähern, den Funktionsverlauf annähern durch das Steigungsdreieck -0,5, das sieht ungefähr so aus, dann hat die Funktion hier sehr wenig Steigung und deshalb bekommt sie das Steigungsdreieck, das nämlich überhaupt gar keines ist. So da kann man es sehen hoffe ich. Das ist kein Steigungsdreieck, weil hier die Steigung ganz einfach =0 ist, aber so etwas kommt ja auch vor und deshalb braucht man so ein Nulldreieck auch. Ein Nulldreieck, welches keines ist, naja, wie auch immer. Jetzt haben wir wieder eine positive Steigung, hier in dem Bereich von 3 bis 4, also für die x-Werte 3 bis 4 ... und ich habe den Funktionsgraphen hier verwischt, da kommt er wieder hin ... und danach haben wir eine Steigung ungefähr von 1,5, das möchte ich mal so hier annähern und damit ist also der Funktionsgraph durch Steigungsdreiecke angenähert worden. Wir können den Funktionsverlauf hier also ganz gut erkennen. Ja, was ist jetzt die Ableitung? Die Werte der Ableitung sind jetzt also diese roten Striche hier, das sind die Höhen der Dreiecke, das sind die Werte der Ableitung, denn so groß ist jeweils die Steigung. Also hier kann man eher von einer Tiefe der Ableitung sprechen, weil ja dieser rote Strich nach unten geht und ich kann jetzt dieses Steigungsdreieck einfach mal hier dransetzen und das ist dann der Ableitungswert. Das mache ich mit den anderen Dreiecken auch. Dieser rote Strich hier ist also auf dem Intervall von 1 bis 2 so ungefähr die Ableitung. Diese Größe, das ist der Ableitungswert auf dem Intervall bei den x-Werten von 2 bis 3 die Steigung ist 0, das lege ich auch mal hier so mittig drauf, oder so ungefähr 0 ist die Steigung zumindest, es geht ja wirklich nur um das optische Verständnis hier. Auf dem Intervall ist also ungefähr die Steigung 1 und da ist sie ungefähr 1,5. So, und wenn ich diese Steigungsdreiecke jetzt da liegen habe, das zeige ich noch mal in der Nahaufnahme, dann kann ich eigentlich hier schon die Ableitungswerte selber eintragen. Das ist also hier, da muss ich das bisschen umständlich hochheben: ein Punkt, noch einer, da ist 0, das weiß ich, hier haben wir +1 und da ungefähr +1,5. Jetzt nehme ich die Steigungsdreiecke wieder weg ... so, dann mache ich auch die Achse gleich mit kaputt hier, macht nichts ... und so habe ich jetzt eine Ableitung gefunden, die sieht ungefähr so aus: Da muss sie durch 0 gehen, habe ich gesagt und da verläuft sie ungefähr so, das ist die Ableitungsfunktion, ich mache sie mal noch etwas dicker, so ungefähr sieht das aus und jetzt kannst du also hier die Ausgangsfunktion und die Ableitungsfunktion gleichzeitig sehen. Worauf ich hier auf jeden Fall noch gerne hinweisen möchte, ist: Die Ausgangsfunktion fällt in diesem Bereich und die Ableitungsfunktion steigt in diesem Bereich. Es ist nicht so, dass wenn die Ausgangsfunktion fällt, die Ableitungsfunktion auch fallen soll, das ist nicht so. Viele Menschen meinen, wenn das Gefälle erst stark ist und dann wenig wird, dann muss die Ableitung auch erst groß sein und dann kleiner werden oder so was, die muss also mitfallen dann, das ist also nicht der Fall. Ableitungen bekommt man mit solchen Steigungsdreiecken und die produzieren diese Werte. Es ist dieses rein formale Verfahren, was solche Ableitungsgraphen produziert. Gut, bis dahin so gut, ich wünsche dir viel Spaß damit. Bis dann, Tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Narasalia:
    Man kann den Graph der Ableitungsfunktion ohne genaue Angaben nur skizzieren. Hilfreich sind dabei die folgenden Eigenschaften des ursprünglichen Funktionsgraphen: Steigungsverhalten (Monotonie), Extrem- und Wendepunkte.
    (1) Extremstellen: Wenn der Funktionsgraph an einer bestimmten Stelle (x-Wert) eine Extremstelle besitzt, so entspricht das der Nullstelle des Graphen der Ableitungsfunktion.
    Also markierst du dir zuerst die x-Werte, an denen Extremstellen existieren als Nullstellen.
    (2) Wendestellen: Wenn der Funktionsgraph an einer bestimmten Stelle (x-Wert) eine Wendestelle besitzt, so befindet sich an der gleichen Stelle (x-Wert) bei dem Grpah der Ableitungsfunktion eine Extremstelle.
    (3) Wenn du die Extremstellen ablesen kannst, so kannst du insbesondere sehen, ob es sich bei dem dazugehörigen Extrempunkt um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Desweiteren kannst du das Steigungs-(Monotonie-)verhalten des Funktionsgraphen ablesen. Wenn der Graph fällt, so sind die Funktionswerte der Ableitungsfunktion negativ (Der Graph verläuft unter der X-Achse). Wenn der Graph steigt, so sind die Funktionswerte der Ableitungsfunktion poatitiv (Der Graph verläuft oberhalb der X-Achse).
    (4) Mit den drei Angaben, kannst du den Graphen der Ableitungsfunktion dann skizzieren.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 6 Jahren
  2. Super erklärt, aber in der Arbeit darf ich natürlich keine Steigungsdreiecke benutzen. Wie geht es ohne?

    Von Narasalia, vor mehr als 6 Jahren
  3. Ja, simple Erklärung - Danke!

    Von Vivi10, vor fast 9 Jahren
  4. Tolle Erklärung und super einleuchtend durch die umgeklebten Steigungsdreiecke!

    Von Schlaumeier, vor mehr als 10 Jahren

Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur graphischen Ableitung.

    Tipps

    Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle.

    Um die Steigung einer Tangente zu bestimmen, zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck ein, dessen Hypotenuse an dem Funktionsgraphen anliegt, und ermittelt die Steigung als Quotient der beiden Katheten. Es wird die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagerechten Kathete dividiert.

    Hier sind solche Steigungsdreiecke zu erkennen, deren Hypotenuse als Tangente an dem Funktionsgraphen anliegt.

    Lösung

    Wenn man graphisch die Ableitung einer Funktion bestimmen möchte, benötigt man Steigungsdreiecke.

    Mithilfe dieser Dreiecke kann man – wie der Name bereits vermuten lässt – Steigungen an bestimmten Stellen ermitteln.

    Die Steigung wird im Allgemeinen durch den Quotienten der beiden Katheten beschrieben, wobei die Länge der senkrechten durch die Länge der waagerechten Kathete dividiert wird. Da die waagerechte Kathete hier stets die Länge $1$ besitzt, wird die Steigung tatsächlich durch die Höhe (dividiert durch $1$) beschrieben. An den einzelnen Punkten des Graphen liegen unterschiedliche Steigungsdreiecke an, die für jeweils unterschiedliche Steigungen stehen. Überträgt man die Werte der Steigungen von den verschiedenen Punkten des Graphen in ein anderes Koordinatensystem, erhält man die Werte der Ableitungsfunktion. Durch Verbinden dieser Punkte erhält man den zugehörigen Graphen der Ableitungsfunktion.

    Wichtig ist, dabei zu beachten, dass dies natürlich nur ein ungefähres Verfahren ist, um den Graphen der Ableitungsfunktion zu ermitteln. Genauer geht dies, indem man tatsächlich ableitet und dann den Graphen der Ableitungsfunktion – zum Beispiel mithilfe einer Wertetabelle – zeichnet.

  • Leite die Funktion graphisch ab.

    Tipps

    Zunächst benötigt man einen Graphen.

    Durch Steigungsdreiecke kann die Steigung an gewissen Stellen ermittelt werden.

    Die entsprechenden Steigungen werden übertragen.

    Durch Verbinden der Punkte erhält man den Graphen der Ableitungsfunktion.

    Lösung

    Es soll graphisch eine Funktion abgeleitet werden. Also benötigt man zunächst eine solche Funktion. Dies ist die blaue Funktion.

    Nun werden Steigungsdreiecke eingezeichnet. So kann man an gewissen Stellen die Steigungen ermitteln.

    Diese Steigungsdreiecke und natürlich die Steigungen werden übertragen. So erhält man Punkte des Graphen der Ableitungsfunktion.

    Wenn man diese Punkte miteinander verbindet, erhält man den Graphen der Ableitungsfunktion. In diesem Beispiel ist dies eine Gerade, welche von unten links nach oben rechts verläuft.

  • Entscheide, welcher der Graphen die Ableitung der Funktion darstellen könnte.

    Tipps

    Schau dir zunächst den Scheitelpunkt an. Dort muss eine waagerechte Tangente vorliegen.

    Wenn der Funktionsgraph eine Parabel ist, dann ist der Graph der Ableitung eine Gerade.

    Der Scheitelpunkt ist hier der höchste Punkt: Links davon steigt und rechts davon fällt die Funktion.

    Die Gerade kommt also von links oben und verläuft nach rechts unten.

    Lösung

    Hier ist der Graph der Ableitung zu sehen.

    Die obige Parabel ist nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt $S(3|3)$ ist also der höchste Punkt der Parabel.

    • Im Scheitelpunkt ist die Steigung $0$. Somit ist $x=3$ eine Nullstelle der Ableitung.
    • Links vom Scheitelpunkt steigt der Funktionsgraph der Parabel – die Ableitung ist also positiv. Und rechts davon fällt die Funktion – die Ableitung ist in diesem Bereich somit negativ.
    Der Graph der Ableitungsfunktion ist also eine Gerade, welche die $x$-Achse bei $x=3$ schneidet und von links oben nach rechts unten verläuft.

  • Untersuche, welche der Aussagen zu Ableitungsfunktionen stimmen.

    Tipps

    Wenn du glaubst, dass eine Aussage falsch ist, genügt ein Gegenbeispiel.

    Hier siehst du den Graphen einer Funktion sowie deren Ableitung.

    Der blaue Graph ist der Graph der Funktion und die Gerade der Graph der Ableitungsfunktion.

    Lösung

    Anhand dieses Beispiels der blauen Parabel, dem Graphen der Funktion, sowie der schwarzen Gerade, dem Graphen der Ableitungsfunktion, kann man sich die obigen Aussagen klar machen.

    Falls eine Aussage richtig ist, kann dieses Beispiel natürlich keinen Beweis ersetzen. Ist eine Aussage jedoch falsch, so kann als Beweis ein Gegenbeispiel dienen:

    • Wenn man die Parabel auf den Kopf stellt, dann ändert sich auch das Steigungsverhalten der Geraden; diese fällt dann. Eine nach unten geöffnete Parabel besitzt auch einen steigenden Ast... und trotzdem fällt die Ableitung. Die erste Aussage stimmt also nicht.
    • Was jedoch auf jedem Fall stimmt, ist der Zusammenhang zwischen Steigung der Funktion und dem Vorzeichen der Ableitung. Steigt die Funktion, ist die Ableitung positiv, und – umgekehrt – fällt die Funktion, ist die Ableitung negativ.
    • Hier ist das Beispiel einer Funktion, eine Parabel, und deren Ableitung, einer Geraden, gegeben. Dies gilt immer.
    • Umgekehrt gilt dies nicht. Man kann sich merken: Wenn man eine ganzrationale Funktion ableitet, verringert sich der Grad der Funktion um $1$.
    • Hier hat die Funktion einen Tiefpunkt und die Ableitung eine Nullstelle. Ganz allgemein kann man feststellen, dass die Ableitung mindestens so viele Nullstellen besitzt, wie es Hoch- oder Tiefpunkte in der Ursprungsfunktion gibt. Wieso nicht genau so viele? Es gibt ja auch noch Sattelpunkte. Dies sind Punkte mit waagerechter Tangente, die jedoch weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt sind.
    • In diesem Beispiel sieht man: Die Parabel hat keine Nullstellen, die Gerade besitzt eine. Die Anzahl der Nullstellen stimmt also sicher nicht überein.

  • Beschreibe, wie man die Steigung eines Graphen bestimmen kann.

    Tipps

    Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung einer Tangente.

    Die Tangente ist eine Gerade. Die Steigung einer Geraden kann man ermitteln, wenn man zwei Punkte der Geraden kennt.

    Hier siehst du ein Beispiel. Die Steigung ist

    $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

    Lösung

    Die Ableitung einer Funktion an einer beliebigen Stelle ist die Steigung einer Tangente. Kann man da irgendeine Tangente wählen? Nein: Es ist die Tangente gemeint, welche genau an der Stelle des Funktionsgraphen anliegt, welche wir untersuchen wollen.

    Eine Tangente ist eine Gerade und die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines Steigungsdreiecks.

    Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Hier ist ein Steigungsdreieck zu sehen. Die Steigung lässt sich berechnen als Quotient aus der Länge der zur $y$-Achse parallelen Kathete durch die zur $x$-Achse parallele Kathete.

    Hier wäre dies

    $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

    (An alle, die Anna einen Spickzettel empfohlen haben: Dies ist wirklich keine gute Idee...)

  • Begründe, warum der grüne Funktionsgraph nicht die Ableitung des roten Funktionsgraphen beschreiben kann.

    Tipps

    Wenn der Graph der Funktion steigt (fällt), ist die Ableitung positiv (negativ).

    Achte auf die genaue Lage der Nullstelle der vermeintlichen Ableitung.

    Wenn der Graph eine höchste (oder auch tiefste) Stelle hat, hat die Ableitungsfunktion eine Nullstelle.

    Lösung

    Hier ist der korrekte Graph der Ableitungsfunktion in grüner Farbe zu sehen.

    Wie kann man diesen erkennen?

    Zunächst schaut man sich die charakteristischen Stellen des roten Graphen an. Der Funktionsgraph besitzt eine höchste Stelle. Eine Tangente an dieser Stelle hat die Steigung $0$. Also hat die Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle.

    Links von der höchsten Stelle ist die Funktion steigend, die Ableitung müsste also positiv sein. Und rechts davon ist die Funktion fallend, die Ableitung müsste also negativ sein.

    Mit diesen Erkenntnissen können wir erklären, warum der fehlerhafte grüne Graph nicht zu der Ableitungsfunktion gehören kann.

    Die Fehler von links nach rechts:

    • Da der rote Graph bis zum Hochpunkt steigt, muss die Ableitungsfunktion in diesem Bereich positiv sein, das heißt, oberhalb der x-Achse liegen.
    • Die Nullstelle der Ableitung muss die gleiche x-Koordinate besitzen wie der Hochpunkt.
    • Für die beiden übrigen Stellen gilt: Sie liegen beide rechts vom Hochpunkt, also muss die Ableitung negativ sein, das heißt, unterhalb der x-Achse liegen.

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