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Verschiedene Verhältnisse vergleichen 06:13 min

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Transkript Verschiedene Verhältnisse vergleichen

Bei Tag führen Lorenzo und Yoko ein ziemlich biederes Leben, aber bei Nacht machen sie elektronische Musik und nehmen in ihrem Kellerstudio wilde Tracks auf. Im Moment arbeiten sie mit voller Kraft an ihrem jüngsten Meisterwerk, für das sie selbstgebaute Instrumente benutzen wollen. Da sie die noch nie ausprobiert haben, müssen die beiden Verhältnisse vergleichen, um sicherzugehen, dass sie den gleichen Beat haben. Wenn sie nicht wie eine Katze klingen sollen, der man auf den Schwanz getreten hat, müssen Lorenzos und Yokos Instrumente mit dem gleichen Verhältnis von Beats zu Minuten spielen. Lorenzos digitales Schlagzeug schlägt mit 15 einhalb Beats pro 15 Sekunden. Aber wie viele Beats sind das pro Minute? Nun, schreiben wir das Verhältnis zunächst einmal als Bruch. Da wir uns für die "Beats pro Minute" interessieren, stellen wir die Minute, also die 60 Sekunden, als Kreisdiagramm dar. So können wir die Beats pro Sekunde leicht auf Beats pro Minute umrechnen. Da sich Lorenzos Beat alle 15 Sekunden wiederholt und da wir wissen, dass 15 Sekunden ein Viertel einer Minute sind, teilen wir unser Diagramm in Viertel. In jedem der 15-Sekunden-Sektoren spielt Lorenzos Schlagzeug 15 einhalb Beats. Die Gesamtzahl der Beats pro Minute finden wir ganz einfach, indem wir alle vier Sektoren addieren. So erhalten wir 62 Beats pro Minute. Vergleichen wir dieses Tempo mit dem von Yoko, um zu sehen, ob sie synchron sind. Yokos selbstgebauter Synthesizer spielt 5 "vier Fünftel' Beats alle 12 Sekunden. Um das mit Lorenzos Tempo vergleichen zu können, müssen wir den Wert auf Beats pro Minute umrechnen. Wieder können wir mithilfe der gegebenen Werte ein Kreisdiagramm erstellen. Da sich Yokos Beat alle 12 Sekunden wiederholt, teilen wir 60 Sekunden durch 12 und erhalten so für eine Minute 5 Sektoren von je 12 Sekunden. In jedem dieser Sektoren spielt Yokos Synthesizer 5 vier Fünftel Beats. Wir addieren die fünf Sektoren und erhalten 29 Beats pro Minute. Hören wir doch mal, ob die beiden Beats zusammenpassen. Bah, das geht ja gar nicht. Aber Lorenzo und Yoko sind noch nicht bereit aufzugeben. Lorenzo dreht die Geschwindigkeit seines Schlagzeuges hoch: 35 einhalb Beats alle 15 Sekunden. Wie viele Beats das pro Minute sind, können wir gut mit einem weiteren Hilfsmittel herausfinden: mit einer Doppelleiste. Bei diesem Modell können wir die Beats in die obere Leiste und die Sekunden in die untere schreiben. Um Sekunden zu Minuten umzurechnen, nutzen wir wiederholte Additionen, bis wir ein Verhältnis finden, bei dem der Nenner 60 Sekunden – also eine Minute – beträgt. Lorenzos Beats erhöhen sich also in Schritten von je 35 einhalb. Wir addieren also 35 einhalb, und gelangen zu 35 einhalb. Dann zählen wir nochmals 35 einhalb hinzu. Das Ergebnis lautet 71. So geht es dann weiter. Die Zeit wiederum erhöht sich in Schritten von je 15 Sekunden. Wenn wir uns die 60-Sekunden-Marke anschauen, finden wir dort ein Tempo von 142 Beats pro Minute. Yoko stellt ihren Synthesizer nun auf 23 zwei Drittel Beats pro 10 Sekunden ein. Finden Lorenzo und sie dann ein gemeinsames Tempo? Wieder können wir eine Doppelleiste mit Beats in der oberen und Sekunden in der unteren Leiste nutzen, um herauszufinden, ob Yoko das gleiche Verhältnis von Beats zu Minuten nutzt. Wir wissen, dass Yokos Synthesizer 23 zwei Drittel Beats pro 10 Sekunden spielt. Das sind also die ersten Einträge auf der Doppelleiste. Jetzt gehen wir in Schritten von je 23 zwei Dritteln auf der Leiste für die Beats entlang. 23 zwei Drittel plus 23 zwei Drittel ergibt 47 ein Drittel. Addieren wir noch mal 23 zwei Drittel, erhalten wir 71. Das können wir so bis zum Ende der oberen Leiste fortsetzen. Dann füllen wir die untere Leiste mit Schritten von 10 Sekunden, bis wir 60 Sekunden erreichen. Schau sich das einer an. Wenn wir die Beats pro Minute vergleichen, sehen wir, dass unser Duo es geschafft hat: 142 Beats pro Minute sowohl für das Schlagzeug als auch für den Synthesizer. Lorenzo und Yoko haben sich wirklich eingegroovet. Fassen wir zusammen: Wenn du Verhältnisse vergleichst, um zu überprüfen, ob sie äquivalent sind, bekommst du es vielleicht mit komplizierten Brüchen zu tun. Mit einem Kreisdiagramm kannst du in solchen Fällen Brüche mit gleichem Wert finden, die einen Vergleich einfacher machen. Mit einer Division kannst du herausfinden, wie oft dein Nenner in dein Ganzes passt. Dann addierst du die Zähler, um ein äquivalentes Verhältnis in der Einheit zu finden, die du vergleichen willst. Doppelleisten können ebenfalls sinnvoll sein, um Verhältnisse, die Brüche enthalten, zu vergleichen. Zunächst addierst du den Zähler deines Bruches immer wieder und bekommst so die ersten Einträge auf der Doppelleiste. Die passenden Nenner findest du auch durch wiederholte Addition. Addiere so lange, bis du ein Ergebnis bekommst, das du leicht vergleichen kannst. Lorenzo und Yoko haben sich eingegroovt. Zeit für die große Premiere! Für ihren, ähm, größten Fan.

4 Kommentare
  1. Hallo Gerti525, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 4 Tagen
  2. ich fand es nicht hilfreich

    Von Gerti525, vor 5 Tagen
  3. .

    Von Roseprinz, vor 19 Tagen
  4. BOA IST DAS COOOOOOOOOLLLLLLL

    Von Ol1980, vor 10 Monaten

Verschiedene Verhältnisse vergleichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verschiedene Verhältnisse vergleichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Vergleich von Verhältnissen.

    Tipps

    Eine Minute hat $60$ Sekunden. Um zu bestimmen, in wie viele Abschnitte das Kreisdiagramm eingeteilt werden muss, musst du die Anzahl der Sekunden in einer Minute durch die Anzahl der Sekunden in einem Abschnitt teilen.

    Verhältnisse kannst du nur vergleichen, wenn du sie so umrechnest, dass der Wert durch den geteilt wird, in beiden Verhältnissen gleich ist. Hier rechnen wir alle Verhältnisse so um, dass durch eine Minute geteilt wird.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Lorenzos erster Beat hat einen Takt von $\dfrac{15\frac{1}{2} ~\text{Beats}}{15 ~\text{Sekunden}}$. Um ihn mit dem von Joko zu vergleichen, berechnen sie, wie viele Beats pro Minute das sind. Dazu erstellen sie ein Kreisdiagramm. Dieses wird in vier Abschnitte unterteilt.“

    • Eine Minute hat $60$ Sekunden. Um zu bestimmen, in wie viele Abschnitte das Kreisdiagramm eingeteilt werden muss, rechnen wir: $\frac{60}{15}=4$
    „Jeder dieser Abschnitte entspricht also $15$ Sekunden und gleichzeitig $15\frac{1}{2} $ Beats. Um die Anzahl an Beats pro Minute zu berechnen, addieren sie alle Einträge des Kreises. So erhalten sie:

    $15\frac{1}{2} +15\frac{1}{2} +15\frac{1}{2} +15\frac{1}{2} =62$

    $\dfrac{15\frac{1}{2} ~\text{Beats}}{15 ~\text{Sekunden}}$ entsprechen also $62~\dfrac{\text{Beats}}{\text{Minute}}$.“

    • Die Beats pro $12$ Sekunden haben wir in Beats pro Minute umgerechnet, damit wir sie mit Jokos Beat vergleichen können. Möchtest du Verhältnisse vergleichen, musst du sie so umrechnen, dass sie den gleichen Nenner haben.
    „Jokos Beat hat einen Takt von $\dfrac{5\frac{4}{5} ~\text{Beats}}{12~\text{Sekunden}}$. Auch diesen rechnen sie in Beats pro Minute um.“

    • Da wir den ersten Beat in Beats pro Minute umgerechnet haben, müssen wir den zweiten ebenfalls in diese Einheit umrechnen. Nur so können wir die beiden Beats vergleichen.
    „Diesmal teilen sie das Kreisdiagramm in fünf gleich große Teile ein.“

    • Hier erhalten wir: $\frac{60}{12}=5$
    „Jeder dieser Abschnitte entspricht also $12$ Sekunden und gleichzeitig $5\frac{4}{5} $ Beats. Wieder addieren sie alle Einträge des Kreises. So erhalten sie:

    $5\frac{4}{5} +5\frac{4}{5} +5\frac{4}{5} +5\frac{4}{5} +5\frac{4}{5} =29$.

    $\dfrac{5\frac{4}{5} ~\text{Beats}}{12 ~\text{Sekunden}}$ entsprechen also $29~\dfrac{\text{Beats}}{\text{Minute}}$.“

    • Jetzt können wir die Beats vergleichen. Lorenzos Beat ist um einiges größer und damit schneller als Jokos.
  • Beschreibe den Vergleich von Verhältnissen.

    Tipps

    Durch wiederholte Addition kannst du die Verhältnisse auf den gleichen Nenner bringen.

    Du kannst jeweils die Beats und die Sekunden auf einer Leiste auftragen und die jeweiligen Werte zu sich selbst addieren.

    Lösung

    Durch wiederholte Addition kannst du die Verhältnisse auf den gleichen Nenner bringen. Hier tragen wir jeweils die Beats und die Sekunden auf einer Leiste auf und addieren den Wert zu sich selbst. Lorenzos Beat müssen wir vier mal zu sich selbst addieren. Denn:

    $15+15+15+15=60$

    Nach viermaliger Addition sind wir also bei einer Minute.

    Addieren wir die Beats viermal, erhalten wir:

    $35\frac{1}{2}+35\frac{1}{2}+35\frac{1}{2}+35\frac{1}{2}= 142$

    Wir haben also ein Beat von $\frac{142~\text{Beats}}{\text{Minute}}$.

    Beim zweiten Beat gehen wir genauso vor. Hier addieren wir jeweils sechsmal. Denn:

    $10+10+10+10+10+10=60$

    Also erhalten wir für die Beats:

    $23 \frac{2}{3}+23 \frac{2}{3}+23 \frac{2}{3}+23 \frac{2}{3}+23 \frac{2}{3}+23 \frac{2}{3}=142$

    Die beiden Beats haben also den gleichen Takt von $\frac{142~\text{Beats}}{\text{Minute}}$.

  • Ermittle einen äquivalenten Wert des Verhältnisses.

    Tipps

    Du kannst die Verhältnisse umrechnen, indem du entweder ein Kreisdiagramm oder eine Doppelleiste anfertigst und die entsprechenden Zahlen einträgst.

    Beachte, dass $60$ Minuten einer Stunde entsprechen.

    Lösung

    Du kannst die Verhältnisse umrechnen, indem du entweder ein Kreisdiagramm oder eine Doppelleiste anfertigst und die entsprechenden Zahlen einträgst. Auf diese Weise erhältst du folgende Verhältnisse:

    Erstellen wir ein Kreisdiagramm für das erste Verhältnis, teilen wir den Kreis in fünf gleich große Teile. Denn $60:12=5$. Da in jedem dieser fünf Teile $12$ Seiten gelesen werden, addieren wir:

    $12+12+12+12+12=60$

    • $\dfrac{12 ~\text{Seiten}}{12 ~\text{Minuten}}$ entsprechen also $60\dfrac{\text{Seiten}}{\text{Stunde}}$.
    Rechts oben siehst du eine Doppelleiste, mit der du eines der Verhältnisse umrechnen kannst. Beachte, dass $60$ Minuten einer Stunde entsprechen.

    • $\dfrac{10 ~\text{Seiten}}{15 ~\text{Minuten}}$ entsprechen $40\dfrac{\text{Seiten}}{\text{Stunde}}$.
    Die anderen Rechnungen kannst du auf eine dieser Arten lösen. So ergibt sich:

    • $\dfrac{5 ~\text{Seiten}}{20 ~\text{Minuten}}$ entsprechen $15\dfrac{\text{Seiten}}{\text{Stunde}}$.
    • $\dfrac{1 ~\text{Seite}}{5 ~\text{Minuten}}$ entsprechen $12\dfrac{\text{Seiten}}{\text{Stunde}}$.
  • Erschließe, welche der Verhältnisse gleich sind.

    Tipps

    Du kannst die Verhältnisse vergleichen, indem du sie auf Bakterien pro Stunde umrechnest. Das tust du, indem du entweder ein Kreisdiagramm oder eine Doppelleiste anfertigst und die entsprechenden Zahlen einträgst.

    Lösung

    Du kannst die Verhältnisse vergleichen, indem du sie auf Bakterien pro Stunde umrechnest. Das tust du, indem du entweder ein Kreisdiagramm oder eine Doppelleiste anfertigst und die entsprechenden Zahlen einträgst. Für das erste Paar erhältst du:

    Fertigst du ein Kreisdiagramm für $\dfrac{300 ~\text{Bakterien}}{12 ~\text{Minuten}}$ an, musst du es in fünf Teile unterteilen, denn $60:12=5$. Da in jedem dieser fünf Teile $300$ Bakterien entstehen, addieren wir:

    $300+300+300+300+300=1500$

    Fertigen wir ein Kreisdiagramm für $\dfrac{500~\text{Bakterien}}{20~ \text{Minuten}}$ an, unterteilen wir es in drei Teile, denn $60:20=3$. Da in jedem dieser Teile $500$ Bakterien entstehen, erhalten wir:

    $500+500+500=1500$

    Somit ergibt sich:

    • $\dfrac{300 ~\text{Bakterien}}{12 ~\text{Minuten}}=\dfrac{500~\text{Bakterien}}{20~ \text{Minuten}}=1500\ \dfrac{\text{Bakterien}}{ \text{Stunde}}$
    Die anderen Paare können wir genauso bestimmen.

    • $\dfrac{900~\text{Bakterien}}{30~ \text{Minuten}}= \dfrac{300 ~\text{Bakterien}}{10 ~\text{Minuten}}=1800\ \dfrac{\text{Bakterien}}{ \text{Stunde}}$
    • $\dfrac{200 ~\text{Bakterien}}{10 ~\text{Minuten}}=\dfrac{100 ~\text{Bakterien}}{5 ~\text{Minuten}}=1200\ \dfrac{\text{Bakterien}}{ \text{Stunde}}$
    • $\dfrac{65 ~\text{Bakterien}}{3 ~\text{Minuten}}=\dfrac{130 ~\text{Bakterien}}{6 ~\text{Minuten}}=1300\ \dfrac{\text{Bakterien}}{ \text{Stunde}}$
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Vergleichen von Verhältnissen.

    Tipps

    Äquivalent bedeutet so viel wie gleichwertig.

    Vergleichst du beispielsweise die Verhältnisse $\frac{5}{12}$ und $\frac{6}{10}$, dann musst du sie so umschreiben, dass jeweils $60$ im Nenner des Bruchs steht.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Sind zwei Verhältnisse nicht gleich, nennt man sie auch äquivalent.“

    • Äquivalent bedeutet so viel wie gleichwertig. Sind zwei Verhältnisse äquivalent, sind sie also gleich.
    „Haben zwei Verhältnisse ungleiche Nenner, kannst du sie prinzipiell nicht vergleichen. Du kannst die Verhältnisse auch nicht umformen, sodass sie vergleichbar sind.“

    • Du kannst Verhältnisse umschreiben, indem du sie erweiterst. Dabei verändern sich die Verhältnisse nicht. Durch dieses Umschreiben kannst du sie anschließend vergleichen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Um Verhältnisse vergleichen zu können, musst du die Verhältnisse auf den gleichen Nenner bringen.“

    • Nur dann kannst du einen Vergleich anstellen.
    „Beim Vergleichen von Verhältnissen kann ein Kreisdiagramm hilfreich sein.“

    „Eine Doppelleiste kann zum Vergleichen von Verhältnissen verwendet werden.“

    • Diese beiden Verfahren kannst du beim Vergleichen von Verhältnissen verwenden.
  • Ermittle, ob die Verhältnisse gleich sind.

    Tipps

    Du kannst herausfinden, ob die Verhältnisse gleich sind, indem du Doppelleisten anfertigst und die jeweiligen Zahlen wiederholt addierst. Findest du eine Stelle auf der Leiste, bei der beide Zahlen den gleichen unteren Wert haben, dann kannst du die Zahlen vergleichen.

    Lösung

    Du kannst herausfinden, ob die Verhältnisse gleich sind, indem du Doppelleisten anfertigst und die jeweiligen Zahlen wiederholt addierst. Findest du eine Stelle auf der Leiste, bei der beide Zahlen den gleichen unteren Wert haben, dann kannst du die Zahlen vergleichen. Hier rechts siehst du die Doppelleisten für die ersten Verhältnisse.

    Auf der unteren Leiste des ersten Verhältnisses $\frac{4}{8}$ addieren wir wiederholt $8$, bis wir bei $40$ angelangt sind. Bei der oberen Leiste addieren wir genauso wiederholt $4$, bis wir bei $20$ angelangt sind.

    Auf der unteren Leiste des zweiten Verhältnisses $\frac{5}{10}$ addieren wir wiederholt $10$, bis wir bei $40$ angelangt sind. Bei der oberen Leiste addieren wir genauso wiederholt $5$, bis wir bei $20$ angelangt sind. Weil wir beide Verhältnisse so umschreiben können, dass genau dasselbe Verhältnis entsteht, müssen die beiden gegebenen Verhältnisse gleich sein.

    Dieses Verfahren können wir für alle Verhältnisse anwenden. Damit erhalten wir, dass diese Verhältnisse nicht gleich sind:

    • $\frac{3}{8} \neq \frac{2}{3}$
    Hier erhalten wir: $\frac{3}{8}= \frac{9}{24}$ und $\frac{2}{3}= \frac{16}{24}$. Die Verhältnisse sind also nicht gleich.

    • $\frac{2}{12} \neq \frac{1}{5}$
    Hier erhalten wir: $\frac{1}{5}= \frac{12}{60}$ und $\frac{2}{12}= \frac{10}{60}$. Die Verhältnisse sind also nicht gleich.

    Diese Verhältnisse sind gleich:

    • $\frac{20}{40}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}$
    • $\frac{12}{30}=\frac{4}{10} = \frac{6}{15}$
    • $\frac{12}{42}=\frac{4}{14}=\frac{6}{21}$