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Verhältnisse und ihre Umkehrungen 05:44 min

Textversion des Videos

Transkript Verhältnisse und ihre Umkehrungen

Das ist Johann Sebastian Krach, der brillanteste Orchesterkomponist der Welt. Nicht nur ist er für seine virtuosen Kompositionen bekannt er stellt die Instrumente für seine Orchester auch stets selbst zusammen. Jeder in der Welt der klassischen Musik weiß, dass Johann immer das perfekte Verhältnis zwischen Holzbläsern, Blechbläsern, Streichern und Schlaginstrumenten findet. Wir können Johanns Genialität besser verstehen, wenn wir uns Verhältnisse und ihre Umkehrungen anschauen. Für ein perfekt klingendes Orchester wählt Johann 5 Holzbläser, 4 Blechbläser, 20 Streicher und 1 Schlaginstrument aus. Schauen wir uns die Verhältnisse zwischen den Instrumentenfamilien an, um Johanns musikalische Genialität besser verstehen zu können. Nehmen wir zum Beispiel das Verhältnis zwischen der Anzahl an Holzbläsern und der an Blechbläsern. Wir können es als 5 durch 4 schreiben. Aber wie ist das Verhältnis zwischen Blechbläsern und Holzbläsern? Dazu drehen wir das Verhältnis ganz einfach um. 4 Blech- zu 5 Holzbläsern. Diese beiden Verhältnisse stehen in einem umgekehrten Zusammenhang. Wenn wir eines der Verhältnisse kennen, können wir darum ganz einfach das andere herausfinden. Aber Achtung: Die Reihenfolge, in der wir ein Verhältnis schreiben, macht einen Unterschied. Man kann Verhältnisse auch als Brüche schreiben. Die erste Zahl wird immer zum Zähler und die zweite wird zum Nenner. Schauen wir uns mal ein zweites Beispiel an: Etwa das von Blechbläsern zu Streichern. Wir kennen schon zwei Arten, Verhältnisse zu notieren: Mit einem Doppelpunkt oder als Bruch. Wenn wir die Symbole so wie zuvor durch die entsprechenden Zahlen ersetzen, erhalten wir das gleiche Verhältnis, ausgedrückt auf zwei Arten. Wir können das so lesen: 4 Blechbläser zu 20 Streicher. Oder wir sagen: Für je 4 Blechbläser sind 20 Streicher im Orchester. Da man Verhältnisse als Brüche notieren kann, glaubst du vielleicht, dass man sie auch kürzen kann so wie Brüche. Da hast du vollkommen recht. Wenn man ein Verhältnis angibt, kürzt man es am besten so weit wie möglich; genau wie bei einem Bruch. Wie macht man das? Zuerst müssen wir nach dem größten gemeinsamen Teiler von 4 und von 20 suchen. Der ist in diesem Fall 4. Genau wie beim Kürzen eines Bruchs teilen wir beide Seiten also durch 4. So erhalten wir das Verhältnis 1 zu 5. Können wir mit den Informationen, die wir haben, noch weitere Verhältnisse finden? Zum Beispiel das zwischen einer Instrumentenfamilie und dem gesamten Orchester? Kein Problem! Mal schauen, wie viele Holzbläser es im Verhältnis zur Gesamtzahl der Instrumente im Orchester gibt. Wir kennen die Anzahl der Holzbläser, nämlich 5. Um die Gesamtzahl der Instrumente zu finden, addieren wir alle Instrumente. Wir haben 5 Holzbläser, 4 Blechbläser, 20 Streicher und 1 Schlaginstrument. Macht insgesamt 30 Instrumente im Orchester. Das Verhältnis ist also 5 zu 30. Momentchen! So soll das nicht bleiben! Du musst das Verhältnis noch kürzen, indem du es durch den größten gemeinsame Teiler teilst. Wie lautet der größte gemeinsame Teiler von 5 und von 30? 5! Wir teilen also beide Seiten durch 5 und bekommen ein Verhältnis von 1 zu 6. Das bedeutet: Von 6 Instrumenten im Orchester ist eines ein Holzbläser. Können wir auch herausfinden, wie viele Instrumente keine Holzbläser sind? Wir rechnen einfach 6 minus 1, denn 6 entspricht der Gesamtzahl an Instrumenten und 1 der Anzahl an Holzbläsern. 5 von 6 Instrumenten sind also keine Holzbläser. Wir können also ein Verhältnis von 5 zu 6 für die Instrumente, die KEINE Holzbläser sind, und das Gesamtorchester angeben. Wiederholen wir noch mal: Verhältnisse kann man auf verschiedene Arten notieren: Zum Beispiel mit einem Doppelpunkt oder als Bruch. Je nachdem, was für Informationen man bekommt, können Verhältnisse oder ihre Umkehrungen nützlicher sein. Verhältnisse schreibt man am besten in ihrer gekürzten Form. Und nicht vergessen: Die Reihenfolge, in der man ein Verhältnis angibt, macht einen Unterschied. Zurück zu unserem Maestro Johann Sebastian Krach. Wieder hat er ein Orchester mit einem perfekten Verhältnis zwischen den verschiedenen Instrumenten zusammengestellt. Was für eine Darbietung! Verbeuge dich, Johann!

9 Kommentare
  1. nice

    Von Omid T., vor 2 Monaten
  2. Video = PERFEKT!!!

    Von Katrin Winter, vor 3 Monaten
  3. WOW😀😎👍🏻Cooles Viedeo 😝☀️😎🙂👍🏻😀👻😺😸😃🌞🐱🐭🐹🐈🌺🌻🌷🌹

    Von Lianakatze, vor 3 Monaten
  4. Hallo Sanel, bitte beschreibe genauer, was Du nicht verstanden hast. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 4 Monaten
  5. Ich verstehe diese Übung nicht

    Von Sanel B., vor 4 Monaten
  1. R
    I
    C
    H
    T
    I
    G

    N
    I
    C
    E

    Von Yiren Y., vor 7 Monaten
  2. Ist in ordnung

    Von Cdk 100, vor 11 Monaten
  3. Egal, hatte meine Kopfhörer nicht richtig angesteckt xD!!!

    Von Tesla0305, vor etwa einem Jahr
  4. War am Anfang ziemlich leise sonst OK!

    Von Tesla0305, vor etwa einem Jahr
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Verhältnisse und ihre Umkehrungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verhältnisse und ihre Umkehrungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die zutreffenden Verhältnisse an.

    Tipps

    Das Verhältnis von $3$ Liter weißer Farbe zu $1$ Liter blauer Farbe kannst du wie folgt angeben:

    • $3$ zu $1$,
    • $3:1$ oder
    • $\frac 31$.

    Du solltest Verhältnisse so weit wie möglich kürzen. Hierzu bestimmst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$. Betrachte folgendes Beispiel:

    • $9:3$.
    Mit dem $\text{ggT}(9;3)=3$ folgt:

    • $\frac 93:\frac 33$ $\rightarrow$ $3:1$.
    Lösung

    Aus folgenden Instrumenten setzt sich das Orchester zusammen:

    • $5$ Holzbläser,
    • $4$ Blechbläser,
    • $20$ Streicher und
    • $1$ Schlaginstrument.
    Wir suchen das Verhältnis Blechbläser zu Streicher. Dieses lautet wie folgt:
    • $4:20$.
    Für die Schreibweise als Bruch erhalten wir:
    • $\frac 4{20}$.
    Da Nenner und Zähler einen gemeinsamen Teiler besitzen, kann man diesen Bruch noch kürzen. Mit dem $\text{ggT}(4;20)=4$ folgt:
    • $\frac 15$,
    • $1:5$.

  • Bestimme die gesuchten Verhältnisse.

    Tipps

    Um die Gesamtzahl der Instrumente zu finden, addierst du die Anzahl aller Instrumente.

    Das Verhältnis von $a=5$ zu $b=25$ lautet

    • $5:25$.
    Dieses kann man kürzen zu
    • $1:5$.

    Du kürzt ein Verhältnis so weit wie möglich, indem du beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilst. Es ist zum Beispiel:

    • $\text{ggT}(5;25)=5$.

    Lösung

    Aus folgenden Instrumenten setzt sich das betrachtete Orchester zusammen:

    • $5$ Holzbläser,
    • $4$ Blechbläser,
    • $20$ Streicher und
    • $1$ Schlaginstrument.
    Wir bestimmen zunächst das Verhältnis von Holzbläsern zur Gesamtzahl der Instrumente im Orchester. Diese erhalten wir, indem wir die Anzahl aller Instrumente addieren. Es folgt dann:

    $5+4+20+1=30$.

    So erhalten wir das folgende Verhältnis: $5:30$.

    Dieses Verhältnis können wir noch so weit wie möglich kürzen zu $1:6$.

    Wir können auch bestimmen, in welchem Verhältnis die Nicht-Holzbläser zur Gesamtzahl der Instrumente im Orchester stehen. Im Orchester gibt es $30-5=25$ Instrumente, die keine Holzbläser sind.

    Somit erhalten wir das folgende Verhältnis: $25:30$.

    Vollständig gekürzt entspricht dies $5:6$.

  • Ermittle die gesuchten Verhältnisse.

    Tipps

    Kürze die Verhältnisse so weit wie möglich, indem du beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilst. Schau dir hierzu das folgende Beispiel an: $~4:28$.

    Mit dem $\text{ggT}(4;28)=4$ folgt das gekürzte Verhältnis: $~1:7$.

    Das gekürzte Verhältnis von $100\ \text{g}$ Butter zu $200\ \text{g}$ Mehl entspricht $1:2$.

    Lösung

    Wir betrachten eine Gruppe bestehend aus:

    • $18$ Schülerinnen,
    • $12$ Schülern,
    • $2$ Lehrerinnen und
    • $3$ Lehrern.
    Ausgehend von diesen Angaben wollen wir einige Verhältnisse aufstellen. Diese möchten wir so weit wie möglich kürzen, indem wir beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilen.

    Verhältnis von Schülerinnen zu Schülern

    Dieses Verhältnis entspricht $18:12$. Mit dem $\text{ggT}(18;12)=6$ erhalten wir $3:2$.

    Verhältnis von Lehrerinnen zu Schülern

    Hier lautet das Verhältnis $2:12$. Der $\text{ggT}(2;12)=3$ liefert das gekürzte Verhältnis $1:6$.

    Verhältnis von Schülern zu Schülerinnen

    Das Verhältnis $12:18$ können wir mit dem $\text{ggT}(12;18)=6$ zu $2:3$ kürzen.

    Verhältnis von Lehrern zu Schülern

    Dieses Verhältnis lautet $3:12$ und mit dem $\text{ggT}(3;12)=3$ erhalten wir $1:4$.

    Verhältnis von Schülerinnen zu Lehrern

    Wir stellen das Verhältnis $18:3$ aus. Dieses kürzen wir mit dem $\text{ggT}(18;3)=3$ zu dem Verhältnis $6:1$.

  • Bestimme die gesuchten Verhältnisse.

    Tipps

    Das Verhältnis von der Anzahl oranger Perlen zu der Anzahl weißer Perlen entspricht $12:10$. Mit dem $\text{ggT}(12;10)=2$ kann dieses Verhältnis so weit wie möglich gekürzt werden zu $6:5$.

    Achte auf die Reihenfolge! Verhältnis von der...

    • ... Anzahl oranger Perlen zu der Anzahl weißer Perlen: $6:5$,
    • ... Anzahl weißer Perlen zu der Anzahl oranger Perlen: $5:6$.
    Lösung

    Wir kennen folgende Angaben für die Zusammenstellung einer Perlenkette:

    • $10$ weiße Perlen,
    • $4$ blaue Perlen,
    • $6$ grüne Perlen und
    • $12$ orange Perlen.
    Mit diesen Angaben können wir die gesuchten Verhältnisse bestimmen.

    Verhältnis von der Anzahl weißer zu der Anzahl blauer Perlen

    • Das Verhältnis $10:4$ können wir mit dem $\text{ggT}(10;4)=2$ kürzen zu $5:2$.
    Verhältnis von der Anzahl grüner zu der Anzahl weißer Perlen
    • Wir betrachten das Verhältnis $6:10$. Dieses kürzen wir mit dem $\text{ggT}(6;10)=2$ zu $3:5$.
    Verhältnis von der Anzahl oranger zu der Anzahl blauer Perlen
    • Das Verhältnis entspricht $12:4$. Gekürzt mit dem $\text{ggT}(12;4)=4$ erhalten wir $3:1$.
    Verhältnis von der Anzahl blauer zu der Gesamtzahl der Perlen
    • Das Verhältnis $4:32$ wird mit dem $\text{ggT}(4;32)=2$ gekürzt. Es folgt dann $1:8$.

  • Gib die Eigenschaften von Verhältnissen und ihren Umkehrungen an.

    Tipps

    Betrachtest du $3$ Pkw und $5$ Lkw, so liegt folgendes Verhältnis von Pkw zu Lkw vor:

    • $3:5$.
    Dieses Verhältnis kannst du auch umkehren, sodass es das Verhältnis von Lkw zu Pkw beschreibt:
    • $5:3$.

    Das Rezept für ein Plätzchenteig enthält $200\ \text{g}$ Butter und $400\ \text{g}$ Mehl. Das Verhältnis von Zucker zu Mehl entspricht also $200:400$. Dieses können wir auch als $1:2$ angeben.

    Beide Verhältnisse verraten, dass die Mehlmenge doppelt so groß ist wie die Zuckermenge.

    Lösung

    Wir suchen das Verhältnis von $10$ Holzbläsern zu $8$ Blechbläsern. Dieses entspricht:

    $10:8\quad $ oder $\quad \frac {10}8$.

    Das bedeutet, dass für je $10$ Holzbläser $8$ Blechbläser im Orchester spielen.

    Ein Verhältnis sollte so weit wie möglich gekürzt werden. Hierzu teilen wir beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Mit dem $\text{ggT}(10;8)=2$ erhalten wir das Verhältnis $5:4$.

    Kehrt man ein Verhältnis um, so geht die darin enthaltene Information nicht verloren. Die Umkehrung entspricht hier $4:5$. Nun wissen wir, dass für je $4$ Blechbläser $5$ Holzbläser im Orchester spielen.

  • Ermittle die fehlenden Werte ausgehend von den vorgegebenen Verhältnissen.

    Tipps

    Wenn Butter zu Mehl in einem Verhältnis von $1:2$ gemischt werden soll, so kannst du für $100\ \text{g}$ Mehl die Buttermenge bestimmen, indem du dieses Verhältnis auf $100$ erweiterst: $50:100$.

    Also entspricht die Buttermenge $50\ \text{g}$.

    Wenn du ein Verhältnis erweiterst, musst du beide Zahlen mit derselben Zahl multiplizieren.

    Lösung

    Im Folgenden betrachten wir einige Mischungsverhältnisse, zu welchen wir jeweils die fehlende Farbmenge bestimmen möchten. Für die Berechnung einer fehlenden Menge wird das angegebene Verhältnis als Bruch geschrieben und dieser durch Erweitern oder Kürzen auf die gewünschte Menge gebracht.

    Mischungsverhältnis für die hellblaue Farbe $10:1$

    Gesucht ist die Menge der blauen Farbe für $500\ \text{ml}$ weiße Farbe und einem Mischungsverhältnis von weißer zu blauer Farbe von $10:1$.

    $\frac{\text{Menge weißer Farbe}}{\text{Menge blauer Farbe}}=\frac {10}1=\frac{10\cdot 50}{1\cdot 50}=\frac {500}{50}$

    Amelia benötigt also $50~\text{ml}$ blaue Farbe.

    Mischungsverhältnis für die himmelblaue Farbe $5:1$

    Wir bestimmen die Menge der weißen Farbe für $40\ \text{ml}$ blaue Farbe und einem Mischungsverhältnis von weißer zu blauer Farbe von $5:1$.

    $\frac{\text{Menge weißer Farbe}}{\text{Menge blauer Farbe}}=\frac {5}1=\frac{5\cdot 40}{1\cdot 40}=\frac {200}{40}$

    Amelia benötigt also $200~\text{ml}$ weiße Farbe.

    Mischungsverhältnis für die taubenblaue Farbe $2:1$

    Wir betrachten das Mischungsverhältnis von weißer zu blauer Farbe von $2:1$. Es ist für $750\ \text{ml}$ weiße Farbe die Menge an blauer Farbe gesucht.

    $\frac{\text{Menge weißer Farbe}}{\text{Menge blauer Farbe}}=\frac {2}1=\frac{2\cdot 375}{1\cdot 375}=\frac {750}{375}$

    Amelia benötigt also $375~\text{ml}$ blaue Farbe.

    Mischungsverhältnis für die dunkelblaue Farbe $1:3$

    Wir möchten die Menge der blauen Farbe bestimmen. Dabei gehen wir von $25\ \text{ml}$ weißer Farbe und einem Mischungsverhältnis von weißer zu blauer Farbe von $1:3$ aus.

    $\frac{\text{Menge weißer Farbe}}{\text{Menge blauer Farbe}}=\frac 13=\frac{1\cdot 25}{3\cdot 25}=\frac {25}{75}$

    Amelia benötigt also $75~\text{ml}$ blaue Farbe.