Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1)

Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1) Übung

• Ergänze die Fragestellung.

  Tipps

  Beachte: eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen $0$ und $1$. Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten addiert, erhält man $1$.

  Zum Beispiel kann man beim Werfen eines Würfels eine Augenzahl zwischen $1$ und $6$ erzielen. Jede dieser Augenzahlen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.

  Eine mögliche Zusammenfassung zu einer Menge wäre die der geraden Augenzahlen $\{2;4;6\}$.

  Lösung

  Wenn man ein Zufallsexperiment durchführt, kann man sich fragen, welche Wahrscheinlichkeiten man einem Ausgang dieses Zufallsexperimentes, also einem Ergebnis, zuordnet.

  Wenn nun mehrere solcher Ergebnisse zu einer Menge zusammengefasst werden - man nennt dies dann ein Ereignis -, stellt sich die Frage, wie man die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis berechnen kann.

  • Nimmt man etwa die größte der Wahrscheinlichkeiten oder die, die am häufigsten vorkommt?
  • Wie kann man auf sinnvolle Weise dieser Menge an Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen?

• Beschreibe wie man die Wahrscheinlichkeit einer Menge berechnet.

  Tipps

  Auch die Ergebnismenge $\Omega$ ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.

  Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt $1$.

  Die Wahrscheinlichkeit von $\Omega$ ist $1$.

  Lösung

  Wenn mehrere Ergebnisse der Ergebnismenge zu einer Menge zusammengefasst werden, fragen wir uns: Wie kann die Wahrscheinlichkeit für diese Menge berechnet werden?

  Nimmt man die größte der Wahrscheinlichkeiten oder die, die am häufigsten vorkommt? Nein, weder das eine noch das andere.

  Wie kann man auf sinnvolle Weise dieser Menge an Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen?

  Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, welche die Menge bilden, werden addiert. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten wird dann der Menge als Wahrscheinlichkeit zugeordnet.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Mengen.

  Tipps

  Mache dir zunächst die zugehörigen Mengen klar. Zum Beispiel ist die Menge für rot oder grün gegeben durch

  $\{$ rot, grün $\}$.

  Wenn mehrere Ergebnisse eine Menge bilden, werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert.

  Jede der Summen muss kleiner als $1$ sein.

  Lösung

  Die jeweiligen Mengen sind nicht explizit angegeben, sondern in der Form „... oder ...“. Man kann sich zunächst überlegen, wie die zugehörigen Mengen aussehen und dann die Wahrscheinlichkeiten addieren. Dies geht natürlich auch, ohne die Menge vorher aufgeschrieben zu haben.

  • Eine rote oder eine grüne Kugel: $\{$rot, grün$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,4+0,2=0,6$.
  • Eine rote, eine grüne oder eine gelbe: $\{$rot, grün, gelb$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,4+0,2+0,1=0,7$.
  • Eine blaue oder eine grüne Kugel: $\{$blau, grün$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,3+0,2=0,5$.
  • Eine grüne oder eine gelbe Kugel: $\{$grün, gelb$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,2+0,1=0,3$.

• Leite die Wahrscheinlichkeiten der Mengen her.

  Tipps

  Schreibe für jedes der Beispiele zunächst die entsprechende Menge auf.

  Addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die sich in der Menge befinden.

  Primzahlen sind alle Zahlen größer als $1$, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.

  Lösung

  Wenn man einer Menge eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche sich in der Menge befinden, addieren.

  Dafür muss man sich zunächst klarmachen, welche Ergebnisse in der Menge liegen:

  • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist größer als $6$: Die zugehörige Menge lautet $\{7;8\}$. Nun können die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert werden zu $\frac18+\frac3{32}=\frac7{32}$.
  • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist gerade. Hierzu gehört die Menge $\{2;4;6;8\}$. Addition der Wahrscheinlichkeiten führt zu $\frac18+\frac5{32}+\frac18+\frac3{32}=\frac{16}{32}=\frac12$.
  • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist durch $3$ teilbar. In der entsprechenden Menge befinden sich die Elemente $3$ und $6$, also $\{3;6\}$. Auch hier werden die Wahrscheinlichkeiten addiert: $\frac18+\frac18=\frac28=\frac14$.
  • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist eine Primzahl. Diese Menge ist wie folgt gegeben: $\{2;3;5;7\}$. Nun können die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten addiert werden zu $\frac18+\frac5{32}+\frac18+\frac18=\frac{17}{32}$.

• Gib die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten an.

  Tipps

  Die Ergebnisse eines Zufallsexperimente werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$.

  Ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $1$ und ein Ergebnis, welches garantiert nicht eintritt, die Wahrscheinlichkeit $0$.

  Lösung

  Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung ist eine Zuordnung, welche jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine Zahl zuordnet. Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$.

  Dies ist nicht irgendeine Zahl, denn es müssen gewisse Voraussetzungen erfüllt sein.

  Es muss gelten:

  • Eine Wahrscheinlichkeit ist immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$.
  • Zusätzlich muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse aus der Ergebnismenge $\Omega$ immer $1$ ergeben.

  Formal schreibt man

  $P:~e\in \Omega~\rightarrow~P(e)\in [0;1]$.

  Eine Wahrscheinlichkeit kann übrigens auch $0$ sein oder $1$.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Schreibe jede der Mengen auf.

  Einer Menge wird die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der in ihr enthaltenen Elemente zugeordnet.

  Die Vereinigung zweier Mengen ist die Menge, die Elemente enthält, die entweder in der einen oder der anderen Menge liegen.

  Sei zum Beispiel $S=\{1;2;3\}$ und $T=\{2;4;6\}$. Dann ist

  $S\cup T=\{1;2;3;4;6\}$.

  Beachte, dass in dem obigen Beispiel die $2$ nicht zweimal gezählt wird.

  Lösung

  Zunächst kann man die oben angegebenen Mengen aufschreiben:

  • $A=\{1;2;3\}$
  • $B=\{1;2;4;8\}$
  • $C=\{1;3;5;7\}$

  Um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Elemente in der jeweiligen Menge addiert:

  • $P(A)=\frac3{32}+\frac18+\frac18=\frac{11}{32}$
  • $P(B)=\frac3{32}+\frac18+\frac5{32}+\frac3{32}=\frac{15}{32}$
  • $P(C)=\frac3{32}+\frac18+\frac5{32}+\frac18=\frac{16}{32}=\frac12$

  Es sollen nun die Wahrscheinlichkeiten der Vereinigungen dieser Mengen berechnet werden. Es können nicht einfach die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Mengen addiert werden, da diese gemeinsame Elemente haben.

  Dies kann man sich zum Beispiel an $A\cup B$ klarmachen.

  • Es ist $P(A)+P(B)=\frac{11}{32}+\frac{15}{32}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16}$ aber
  • $A\cup B=\{1;2;3;4;8\}$ und somit
  • $P(A\cup B)=\frac3{32}+\frac18+\frac18+\frac{5}{32}+\frac3{32}=\frac{19}{32}$.

  Ebenso können die anderen beiden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

  • $A\cup C=\{1;2;3;5;7\}$ und $P(A\cup C)=\frac3{32}+\frac18+\frac18+\frac5{32}+\frac18=\frac{20}{32}= \frac58$.
  • $B\cup C=\{1;2;3;4;5;7;8\}$ und damit $P(B\cup C)=\frac{28}{32}=\frac78$. Hier wäre zum Beispiel $P(B)+P(C)=\frac{15}{32}+\frac{16}{32}=\frac{31}{32}$.