30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1)

Bewertung

Ø 3.2 / 5 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1)

In diesem Video soll erklärt werden, wie man bestimmten Mengen von Ergebnissen (also beliebigen Ereignissen) eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann - selbst wenn es sich nicht um einen Laplace-Versuch handelt. Diese Überlegungen kommen aus der Axiomatik der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zur Veranschaulichung werde ich wieder Bausteine verwenden, die unterschiedliche Farben und Formen besitzen. Um dir dieses Thema etwas ausführlicher vorstellen zu können, habe ich es auf zwei Videos verteilt. Schau dir also im Anschluss direkt Teil 2 an. (Teil 1 von 2)

Transkript Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1)

Hallo. Hier habe ich mal etwas zur Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgebaut. Und zwar haben wir das bisher so gemacht, dass wenn du eine Aufgabe bekommst zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, überlegst du dir Punkt 1: was ist das Zufallsexperiment. Das könnte, jetzt mal so für den Hintergrund, darin bestehen, dass man diese Steine, die hier versammelt sind, in einen Sack steckt und zufällig einen heraus zieht. Das könnte das Zufallsexperiment sein, dass ist aber jetzt nicht so interessant. Punkt 2: Du überlegst dir ja, was ist die Ergebnismenge dieses Zufallsexperimentes. Und so eine typische Ergebnismenge habe ich hier einmal aufgebaut. Also das sind die einzelnen Ergebnisse. Zum Beispiel könnten das die Steine sein, die in einem Sack sind und die man daraus dann zufällig zieht. Und hier ist also die Ergebnismenge hingelegt. Punkt 3: Du überlegst dir, welche Wahrscheinlichkeiten werden den Ergebnissen zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeiten sind ja Zahlen zwischen 0 und 1 und die Summe aller Ergebnisse zusammen, die muss 1 ergeben. Das habe ich jetzt auch mal hier gezeigt, und zwar auf grünen Papierstücken. Da hab ich kleine Zahlen drauf geschrieben. Warum so kleine, warum grün auf grünem Grund? Weil die nämlich jetzt nicht so wichtig sind. Es ist in diesem Zusammenhang nicht so wichtig was da drauf steht, sondern dass da was steht. Also jedes Ergebnis hier hat eine Zahl zugeordnet bekommen. Das ist die Wahrscheinlichkeit, die diesen Ergebnissen hier zukommt. Und welche das im einzelnen Fall sind, ist egal. Es ist nur wichtig, dass alle zusammen die Summe 1 haben. Und das eben jede Zahl zwischen 0 und 1 ist. Und jetzt, wenn wir nun irgendwie vernünftig Wahrscheinlichkeitsrechnung machen wollen, muss es möglich sein Mengen zu bilden, Mengen von Ergebnissen zu bilden und denen auch Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Mengen bildet man im Wesentlichen dadurch, dass man sich in Gedanken vorstellt, dass bestimmte Dinge hier, zusammengefasst sind. Ich deute das hier mal an durch dieses weiße Band. Ja, das muss man hier nicht hinlegen, man kann sich das auch vorstellen. Jetzt sind diese Elemente hier zusammengefasst zu einer Menge. Und es muss jetzt möglich sein, dieser Menge eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Anders gesagt: Wenn wir uns vorstellen, das sind die Dinge in einem Sack, die man zufällig aus diesem Sack herauszieht, dann muss man auch fragen können, wie wahrscheinlich ist es, einen roten Stein zu ziehen. Geht eben auch ganz abstrakt: wir haben eine Ergebnismenge und wir bilden eine Teilmenge der Ergebnismenge und wir möchten dieser Teilmenge nun eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Und auch da kann man sehen, dass es da nur eine Möglichkeit gibt. Es gibt nur eine Möglichkeit vernünftig Wahrscheinlichkeitsrechnung zu machen, zumindest so, wie wir Menschen Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen. Nämlich die Wahrscheinlichkeit, die einer solchen Menge zugeordnet wird, ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Elemente in dieser Menge. Was bedeutet hier für diese Menge: Ich müsste die Zahlen, die auf diesen Zetteln stehen alle addieren und dann bekomme ich die Wahrscheinlichkeit - die auch und die auch natürlich -  dieser gesamten Menge. Ja, das ist also Axiomatik, was wir hier machen. Der Herr Kolmogorow war ja der Erste, der darauf gekommen ist. Er hat dann diese sehr einfachen Prinzipien aufgestellt. Das ist ein sehr einfaches Prinzip, denn komplizierter als Bauklötze zeigen ist es wirklich nicht. Aber das ist ja gerade das Geniale dahinter. Das man so klare und elementare Prinzipien findet, aus denen man dann eine sehr große und komplizierte Wahrscheinlichkeitsrechnung macht. Das ist wie immer im Leben: Wenn es sehr einfach aussieht, dann war es richtig schwierig. Jetzt haben wir diese Axiome und die Axiome sind also so, zum Beispiel auch so, dann, wenn man einer Menge von Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnet, dann nimmt man die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Ja und was passiert, wenn man noch eine 2. Menge bildet und wie man dass dann macht, Wahrscheinlichkeiten zuordnet, hier entsteht schon eine 2. Menge, das kommt dann im 2. Film. Bis dahin, viel Spaß, tschüss.    

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. zu komplieziert

    Von Leon L., vor mehr als 2 Jahren

Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Fragestellung.

    Tipps

    Beachte: eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen $0$ und $1$. Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten addiert, erhält man $1$.

    Zum Beispiel kann man beim Werfen eines Würfels eine Augenzahl zwischen $1$ und $6$ erzielen. Jede dieser Augenzahlen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.

    Eine mögliche Zusammenfassung zu einer Menge wäre die der geraden Augenzahlen $\{2;4;6\}$.

    Lösung

    Wenn man ein Zufallsexperiment durchführt, kann man sich fragen, welche Wahrscheinlichkeiten man einem Ausgang dieses Zufallsexperimentes, also einem Ergebnis, zuordnet.

    Wenn nun mehrere solcher Ergebnisse zu einer Menge zusammengefasst werden - man nennt dies dann ein Ereignis -, stellt sich die Frage, wie man die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis berechnen kann.

    • Nimmt man etwa die größte der Wahrscheinlichkeiten oder die, die am häufigsten vorkommt?
    • Wie kann man auf sinnvolle Weise dieser Menge an Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen?
  • Beschreibe wie man die Wahrscheinlichkeit einer Menge berechnet.

    Tipps

    Auch die Ergebnismenge $\Omega$ ist eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.

    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt $1$.

    Die Wahrscheinlichkeit von $\Omega$ ist $1$.

    Lösung

    Wenn mehrere Ergebnisse der Ergebnismenge zu einer Menge zusammengefasst werden, fragen wir uns: Wie kann die Wahrscheinlichkeit für diese Menge berechnet werden?

    Nimmt man die größte der Wahrscheinlichkeiten oder die, die am häufigsten vorkommt? Nein, weder das eine noch das andere.

    Wie kann man auf sinnvolle Weise dieser Menge an Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen?

    Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, welche die Menge bilden, werden addiert. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten wird dann der Menge als Wahrscheinlichkeit zugeordnet.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Mengen.

    Tipps

    Mache dir zunächst die zugehörigen Mengen klar. Zum Beispiel ist die Menge für rot oder grün gegeben durch

    $\{$ rot, grün $\}$.

    Wenn mehrere Ergebnisse eine Menge bilden, werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert.

    Jede der Summen muss kleiner als $1$ sein.

    Lösung

    Die jeweiligen Mengen sind nicht explizit angegeben, sondern in der Form „... oder ...“. Man kann sich zunächst überlegen, wie die zugehörigen Mengen aussehen und dann die Wahrscheinlichkeiten addieren. Dies geht natürlich auch, ohne die Menge vorher aufgeschrieben zu haben.

    • Eine rote oder eine grüne Kugel: $\{$rot, grün$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,4+0,2=0,6$.
    • Eine rote, eine grüne oder eine gelbe: $\{$rot, grün, gelb$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,4+0,2+0,1=0,7$.
    • Eine blaue oder eine grüne Kugel: $\{$blau, grün$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,3+0,2=0,5$.
    • Eine grüne oder eine gelbe Kugel: $\{$grün, gelb$\}$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0,2+0,1=0,3$.

  • Leite die Wahrscheinlichkeiten der Mengen her.

    Tipps

    Schreibe für jedes der Beispiele zunächst die entsprechende Menge auf.

    Addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die sich in der Menge befinden.

    Primzahlen sind alle Zahlen größer als $1$, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.

    Lösung

    Wenn man einer Menge eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche sich in der Menge befinden, addieren.

    Dafür muss man sich zunächst klarmachen, welche Ergebnisse in der Menge liegen:

    • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist größer als $6$: Die zugehörige Menge lautet $\{7;8\}$. Nun können die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert werden zu $\frac18+\frac3{32}=\frac7{32}$.
    • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist gerade. Hierzu gehört die Menge $\{2;4;6;8\}$. Addition der Wahrscheinlichkeiten führt zu $\frac18+\frac5{32}+\frac18+\frac3{32}=\frac{16}{32}=\frac12$.
    • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist durch $3$ teilbar. In der entsprechenden Menge befinden sich die Elemente $3$ und $6$, also $\{3;6\}$. Auch hier werden die Wahrscheinlichkeiten addiert: $\frac18+\frac18=\frac28=\frac14$.
    • Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist eine Primzahl. Diese Menge ist wie folgt gegeben: $\{2;3;5;7\}$. Nun können die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten addiert werden zu $\frac18+\frac5{32}+\frac18+\frac18=\frac{17}{32}$.
  • Gib die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    Die Ergebnisse eines Zufallsexperimente werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$.

    Ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $1$ und ein Ergebnis, welches garantiert nicht eintritt, die Wahrscheinlichkeit $0$.

    Lösung

    Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung ist eine Zuordnung, welche jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine Zahl zuordnet. Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$.

    Dies ist nicht irgendeine Zahl, denn es müssen gewisse Voraussetzungen erfüllt sein.

    Es muss gelten:

    • Eine Wahrscheinlichkeit ist immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$.
    • Zusätzlich muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse aus der Ergebnismenge $\Omega$ immer $1$ ergeben.
    Formal schreibt man

    $P:~e\in \Omega~\rightarrow~P(e)\in [0;1]$.

    Eine Wahrscheinlichkeit kann übrigens auch $0$ sein oder $1$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Schreibe jede der Mengen auf.

    Einer Menge wird die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der in ihr enthaltenen Elemente zugeordnet.

    Die Vereinigung zweier Mengen ist die Menge, die Elemente enthält, die entweder in der einen oder der anderen Menge liegen.

    Sei zum Beispiel $S=\{1;2;3\}$ und $T=\{2;4;6\}$. Dann ist

    $S\cup T=\{1;2;3;4;6\}$.

    Beachte, dass in dem obigen Beispiel die $2$ nicht zweimal gezählt wird.

    Lösung

    Zunächst kann man die oben angegebenen Mengen aufschreiben:

    • $A=\{1;2;3\}$
    • $B=\{1;2;4;8\}$
    • $C=\{1;3;5;7\}$
    Um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Elemente in der jeweiligen Menge addiert:
    • $P(A)=\frac3{32}+\frac18+\frac18=\frac{11}{32}$
    • $P(B)=\frac3{32}+\frac18+\frac5{32}+\frac3{32}=\frac{15}{32}$
    • $P(C)=\frac3{32}+\frac18+\frac5{32}+\frac18=\frac{16}{32}=\frac12$
    Es sollen nun die Wahrscheinlichkeiten der Vereinigungen dieser Mengen berechnet werden. Es können nicht einfach die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Mengen addiert werden, da diese gemeinsame Elemente haben.

    Dies kann man sich zum Beispiel an $A\cup B$ klarmachen.

    • Es ist $P(A)+P(B)=\frac{11}{32}+\frac{15}{32}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16}$ aber
    • $A\cup B=\{1;2;3;4;8\}$ und somit
    • $P(A\cup B)=\frac3{32}+\frac18+\frac18+\frac{5}{32}+\frac3{32}=\frac{19}{32}$.
    Ebenso können die anderen beiden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:
    • $A\cup C=\{1;2;3;5;7\}$ und $P(A\cup C)=\frac3{32}+\frac18+\frac18+\frac5{32}+\frac18=\frac{20}{32}= \frac58$.
    • $B\cup C=\{1;2;3;4;5;7;8\}$ und damit $P(B\cup C)=\frac{28}{32}=\frac78$. Hier wäre zum Beispiel $P(B)+P(C)=\frac{15}{32}+\frac{16}{32}=\frac{31}{32}$.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.800

Lernvideos

44.121

Übungen

38.769

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden