Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Erklärung (1) 05:03 min

Hallo. Hier habe ich mal etwas zur Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgebaut. Und zwar haben wir das bisher so gemacht, dass wenn du eine Aufgabe bekommst zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, überlegst du dir Punkt 1: was ist das Zufallsexperiment. Das könnte, jetzt mal so für den Hintergrund, darin bestehen, dass man diese Steine, die hier versammelt sind, in einen Sack steckt und zufällig einen heraus zieht. Das könnte das Zufallsexperiment sein, dass ist aber jetzt nicht so interessant. Punkt 2: Du überlegst dir ja, was ist die Ergebnismenge dieses Zufallsexperimentes. Und so eine typische Ergebnismenge habe ich hier einmal aufgebaut. Also das sind die einzelnen Ergebnisse. Zum Beispiel könnten das die Steine sein, die in einem Sack sind und die man daraus dann zufällig zieht. Und hier ist also die Ergebnismenge hingelegt. Punkt 3: Du überlegst dir, welche Wahrscheinlichkeiten werden den Ergebnissen zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeiten sind ja Zahlen zwischen 0 und 1 und die Summe aller Ergebnisse zusammen, die muss 1 ergeben. Das habe ich jetzt auch mal hier gezeigt, und zwar auf grünen Papierstücken. Da hab ich kleine Zahlen drauf geschrieben. Warum so kleine, warum grün auf grünem Grund? Weil die nämlich jetzt nicht so wichtig sind. Es ist in diesem Zusammenhang nicht so wichtig was da drauf steht, sondern dass da was steht. Also jedes Ergebnis hier hat eine Zahl zugeordnet bekommen. Das ist die Wahrscheinlichkeit, die diesen Ergebnissen hier zukommt. Und welche das im einzelnen Fall sind, ist egal. Es ist nur wichtig, dass alle zusammen die Summe 1 haben. Und das eben jede Zahl zwischen 0 und 1 ist. Und jetzt, wenn wir nun irgendwie vernünftig Wahrscheinlichkeitsrechnung machen wollen, muss es möglich sein Mengen zu bilden, Mengen von Ergebnissen zu bilden und denen auch Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Mengen bildet man im Wesentlichen dadurch, dass man sich in Gedanken vorstellt, dass bestimmte Dinge hier, zusammengefasst sind. Ich deute das hier mal an durch dieses weiße Band. Ja, das muss man hier nicht hinlegen, man kann sich das auch vorstellen. Jetzt sind diese Elemente hier zusammengefasst zu einer Menge. Und es muss jetzt möglich sein, dieser Menge eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Anders gesagt: Wenn wir uns vorstellen, das sind die Dinge in einem Sack, die man zufällig aus diesem Sack herauszieht, dann muss man auch fragen können, wie wahrscheinlich ist es, einen roten Stein zu ziehen. Geht eben auch ganz abstrakt: wir haben eine Ergebnismenge und wir bilden eine Teilmenge der Ergebnismenge und wir möchten dieser Teilmenge nun eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Und auch da kann man sehen, dass es da nur eine Möglichkeit gibt. Es gibt nur eine Möglichkeit vernünftig Wahrscheinlichkeitsrechnung zu machen, zumindest so, wie wir Menschen Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen. Nämlich die Wahrscheinlichkeit, die einer solchen Menge zugeordnet wird, ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Elemente in dieser Menge. Was bedeutet hier für diese Menge: Ich müsste die Zahlen, die auf diesen Zetteln stehen alle addieren und dann bekomme ich die Wahrscheinlichkeit - die auch und die auch natürlich -  dieser gesamten Menge. Ja, das ist also Axiomatik, was wir hier machen. Der Herr Kolmogorow war ja der Erste, der darauf gekommen ist. Er hat dann diese sehr einfachen Prinzipien aufgestellt. Das ist ein sehr einfaches Prinzip, denn komplizierter als Bauklötze zeigen ist es wirklich nicht. Aber das ist ja gerade das Geniale dahinter. Das man so klare und elementare Prinzipien findet, aus denen man dann eine sehr große und komplizierte Wahrscheinlichkeitsrechnung macht. Das ist wie immer im Leben: Wenn es sehr einfach aussieht, dann war es richtig schwierig. Jetzt haben wir diese Axiome und die Axiome sind also so, zum Beispiel auch so, dann, wenn man einer Menge von Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnet, dann nimmt man die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Ja und was passiert, wenn man noch eine 2. Menge bildet und wie man dass dann macht, Wahrscheinlichkeiten zuordnet, hier entsteht schon eine 2. Menge, das kommt dann im 2. Film. Bis dahin, viel Spaß, tschüss.