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Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beweisidee

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beweisidee
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beweisidee

Die Summenregel für ein Ereignis lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Wenn man z.B. einmal aus 100 Losen zieht und sich unter den Losen 95 Nieten und 5 Gewinne befinden, dann ist die Wahrscheinlichkeit P(Gewinn)=1/100+1/100+1/100+1/100+1/100. Die Summenregel steht am Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung und kann nicht auf elementarere Sätze zurückgeführt werden. Auf Zufallsversuche, die mehr Ergebnisse haben als man zählen kann, kann man die Summenregel nicht anwenden.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. ich finde das video eigendlich ganz gut aber am anfang als du die summenregel von der tafel abließt fände ich es besser wenn du es in eigenen worten sagen würdest weil ich das nicht so gut verstanden habe. :)

    Von Pamtoffel, vor mehr als einem Jahr

Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beweisidee Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beweisidee kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Summenregel für ein Ereignis.

    Tipps

    Es sei $E$ ein Ereignis, dann kann $P(E)$ durch den hier abgebildeten Quotienten berechnet werden.

    Hier siehst du ein Beispiel.

    Sei $\Omega=\{1;2;3;4\}$ die Ergebnismenge und $E=\{1;2\}$.

    Dann ist $P(E)=P(1)+P(2)=\frac14+\frac14=\frac24=\frac12$.

    Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes ist die Ergebnismenge. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

    Lösung

    Betrachten wir die Summenregel für ein Ereignis.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören.

    Sei $E=\{e_1;...;e_n\}$ und $e_1$, ... ,$e_n$ sind die Ergebnisse, dann bedeutet dies

    $P(E)=P(e_1)+...+P(e_n)$.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Tipps

    Nach der Summenregel werden die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, welche sich in einem Ereignis befinden, addiert, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu erhalten.

    Der Würfelwurf ist ein Laplace-Versuch.

    Bei einem Laplace-Versuch sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich und die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist $\frac1n$, wobei $n$ die Anzahl der Elemente in $\Omega$, der Ergebnismenge, ist.

    Lösung

    Beim Werfen eines Würfels erhält man als Ergebnismenge alle Augenzahlen. Die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge ist somit $6$. Da bei einem Laplace-Versuch, wie zum Beispiel dem Würfelwurf, alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ist

    $P(1)=...=P(6)=\frac16$.

    Das Ereignis E: „Es wird eine gerade Zahl geworfen.“ kann als Menge wie folgt geschrieben werden:

    $E=\{2;4;6\}$.

    Da nach der Summenregel die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet wird, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die sich in dem Ereignis befinden, addiert, erhält man

    $P(E)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac16+\frac16+\frac16=\frac36=\frac12$.

    Dies erhält man übrigens auch, wenn man die folgende Definition verwendet:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge:

    $P(E)=\frac36=\frac12$ $~~~~~$✓

  • Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Schreibe jedes Ereignis als Menge auf.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche sich in dem Ereignis befinden.

    Die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Augenzahl ist gleich

    $P(1)=...=P(6)=\frac16$.

    Jedes Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Du könntest auch jedes Mal die Laplace-Formel verwenden. Gemäß dieser ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Lösung

    Um die Summenregel anzuwenden, kann man immer erst einmal das beschriebene Ereignis als Menge schreiben:

    Betrachten wir das Ereignis A:

    • A: „Die Augenzahl ist ungerade.“ lässt sich durch $A=\{1;3;5\}$ beschreiben. Nun kann die Summenregel angewendet werden: Es werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert. Diese sind alle gleich groß, nämlich $\frac16$. Somit gilt $P(A)=P(1)+P(3)+P(5)=\frac16+\frac16+\frac16=\frac36=\frac12$.
    Ebenso können die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Ereignisse berechnet werden.

    • B: „Die Augenzahl ist kleiner als $3$.“ wird durch $B=\{1;2\}$ beschrieben. Wir berechnen $P(B)=P(1)+P(2)=\frac16+\frac16=\frac26=\frac13$.
    • Ebenso lässt sich von C: „Die Augenzahl ist $4$.“ mit $C=\{4\}$ (ein solches Ereignis wird als Elementarereignis bezeichnet.) berechnen: $P(C)=P(4)=\frac16$.
    • Zuletzt erhalten wir mit D: „Die Augenzahl ist mindestens $3$.“ die Menge $D=\{3;4;5;6\}$ und die Wahrscheinlichkeit $P(D)=P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=\frac46=\frac23$.
  • Arbeite die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses heraus.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wie du zu der Augenzahl $4$ gelangst:

    Welche Paare aus $\Omega$ erfüllen dies?

    Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

    Anstatt die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu addieren, könntest du auch die Anzahl der Ergebnisse in dem Ereignis durch die aller möglichen Ergebnisse dividieren.

    Es ist $a+a+a=3a$.

    Lösung

    Um die Summenregel anwenden zu können, muss man

    • zum einen wissen, welche Ergebnisse sich in dem Ereignis befinden, und
    • zum anderen die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse kennen.
    Wir beginnen mit der Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse: Da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind und die Ergebnismenge $25$ Ergebnisse beinhaltet, gilt für jedes Ergebnis $e$

    $P(e)=\frac1{25}$.

    Nun betrachten wir das Ereignis. Die Summe $4$ wird durch die folgenden Paare erzielt: $(1|3)$, $(2|2)$ und $(3|1)$, also ist

    $E=\{(1|3); (2|2); (3|1)\}$.

    Gemäß der Summenregel werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert:

    $P(E)=P((1|3))+P((2|2))+P((3|1))=\frac1{25}+\frac1{25}+\frac1{25}=\frac3{25}$.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Tipps

    Es ist $\Omega=\{(\text{K|K})\}; (\text{K|Z}); (\text{Z|K}); (\text{Z|Z})\}$ mit vier Elementen.

    Der Münzwurf ist ein Laplace-Versuch. Das bedeutet, dass jedes der Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

    Nach der Summenregel werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche sich in einem Ereignis befinden, addiert. So erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Lösung

    Beim zweimaligen Werfen einer Münze erhält man Paare als Ergebnisse und somit die Ergebnismenge:

    $\Omega=\{(\text{K|K}); (\text{K|Z}); (\text{Z|K}); (\text{Z|Z})\}$.

    Da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, hat jedes dieser Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\frac14$.

    Nun kann das Ereignis, dass zweimal das gleiche geworfen wird, als Menge geschrieben werden:

    $E=\{(\text{K|K}); (\text{Z|Z})\}$.

    Gemäß der Summenregel werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addiert:

    $P(E)=P((\text{K|K}))+P((\text{Z|Z}))=\frac14+\frac14=\frac24=\frac12$.

  • Wende die Summenregel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit an.

    Tipps

    Mache dir immer zunächst klar, wie das Ereignis als Menge aussieht.

    Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist gleich, also $\frac1{36}$.

    Zwei der obigen Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

    Es ist zum Beispiel

    $B=\{(1|1);(1|2); (1|3);(2|1);(2|2);(3|1)\}$.

    Ein Beispiel für ein Zahlenpaar, in welchem die Augenzahl im zweiten Wurf größer als die im ersten ist, ist $(2|4)$.

    Sei $1$ die Augenzahl im ersten Wurf, dann gibt es fünf Möglichkeiten, dass die im zweiten Wurf größer ist.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse sind alle gleich: Es gibt $36$ Ergebnisse in $\Omega$. Sei $e$ ein beliebiges Ergebnis, so ist

    $P(e)=\frac1{36}$.

    Nun kann man sich zu jedem Ereignis überlegen, wie viele Ergebnisse darin liegen. Mit dieser Anzahl wird die Wahrscheinlichkeit $\frac1{36}$ multipliziert. Dies ist das gleiche Ergebnis, welches man erhält, wenn man entsprechend oft die gleiche Wahrscheinlichkeit addiert.

    Untersuchen wir die Ereignisse:

    • A: „Beide Augenzahlen sind gleich.“ mit $A=\{(1|1);(2|2);...;(6|6)\}$ hat $6$ Elemente und damit gilt: $P(A)=6\cdot \frac1{36}=\frac6{36}=\frac16$.
    • B: „Die Summe der Augenzahlen ist höchstens $4$.“ mit $B=\{(1|1);(1|2);; (1|3);(2|1);(2|2);(3|1)\}$ hat ebenfalls $6$ Elemente. Somit erhält man $P(B)=6\cdot \frac1{36}=\frac6{36}=\frac16$.
    • Das Ereignis C: „Das Produkt der Augenzahlen ist $12$.“ mit $C=\{(2|6);(3|4);(4|3);(6|2)\}$ hat $4$ Elemente. Also ist $P(C)=4\cdot \frac1{36}=\frac4{36}=\frac19$.
    • D: „Die Augenzahl im zweiten Wurf ist größer als die im ersten.“ besteht aus $D=\{(1|2);...;(1|6);(2|3);...;(2|6);(3|4);(3|5);(3|6);(4|5);(4|6);(5|6)\}$. In dieser Menge befinden sich $5+4+3+2+1=15$ Elemente. Damit erhält man $P(D)=15\cdot \frac1{36}=\frac{15}{36}=\frac5{12}$.
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