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Summenregel für Wahrscheinlichkeiten 07:12 min

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Transkript Summenregel für Wahrscheinlichkeiten

Hallo. Die Summenregel heißt auch manchmal Additionsregel und diese sagt etwas darüber aus, wie wir mit Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse rechnen können. Die Regel wird Dir noch oft begegnen, weil sie nämlich Rechnungen vereinfacht. Die Summenregel lautet: P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2). Und E1 und E2 sind dabei irgendwelche Ereignisse eines Zufallsversuchs. Zunächst möchte ich erklären, was E1 ∪ E2 bedeutet und was E1 ∩ E2 bedeutet. Wenn Du das schon weißt, brauchst Du diesen Teil des Films nicht anzusehen. Die Definition der Vereinigungsmenge zweier Mengen lautet: In E1 ∪ E2 sind alle Elemente, die in E1 ODER in E2 sind. Dieses "oder" ist als nicht ausschließendes "oder" gemeint. Also es soll nicht heißen, die entweder in E1 oder in E2 sind. Das ist nicht gemeint. Sondern es ist gemeint, E1 ∪ E2 besteht aus allen Elementen, die in E1 oder aber auch in E2 sein können. Das ist hier ein Fandiagramm dazu, benannt nach dem Mathematiker Fan. So kann man sich die Vereinigungsmenge vorstellen: Wir haben hier E1, wir haben hier die Menge E2. Und hier sind jetzt die ganzen Elemente dieser Mengen. Und die Vereinigungsmenge besteht also aus allen Elementen, die zu E1 gehören und den Elementen, die zu E2 gehören. Die Elemente die im Schnitt sind hier von diesen beiden Mengen, die zählen aber nicht doppelt. Das gucken wir uns gleich nochmal an einem Beispiel genauer an. Der Schnitt zweier Mengen, oder man sagt auch der Durchschnitt zweier Mengen, ist folgendermaßen definiert: In E1 ∩ E2 sind alle Elemente die in E1 UND in E2 sind. Und dieses "und" ist jetzt so zu verstehen, dass ein Element, um im Durchschnitt dieser beiden Mengen zu sein, in E1 und auch in E2 vorkommen muss. Wenn ein Element nur in E1 vorkommt, reicht es nicht, um in den Durchschnitt dieser beiden Mengen zu gelangen. Hier ist wieder ein Fandiagramm dazu. Das ist die Menge E1, das ist die Menge E2. Da sind jetzt lauter Elemente drin, die habe ich jetzt extra eingezeichnet. Und alle Elemente, die hier sind auf dieser Fläche, die sind in E1 und in E2 und das ist der Durchschnitt dieser beiden Mengen. Die Summenregel können wir uns mal an einem konkreten Zufallsversuch anschauen. Der Zufallsversuch soll das einmalige ziehen einer Karte aus einem Stapel sein. Ausgesucht habe ich die Karten Herz Ass, Herz zwei, Herz drei, Herz vier, Herz fünf und so weiter bis Herz zehn. Und diese Grundmenge, zehn Karten, habe ich hier schon mal vorbereitet. Also ich hab die Namen der Karten in dieses schwarze Feld geschrieben. Und wir können uns jetzt einfach mal zwei Ereignisse vorstellen. Das ist das Ereignis, habe ich mir so ausgedacht, Ass oder Primzahl. In diesem Ereignis, E1 soll es heißen, sind alle Primzahlen und das Ass. Und das Ereignis E2, sag ich mal, soll eine Zahl kleiner als fünf sein. Das kann man dann so veranschaulichen. Das ist also jetzt E2. Und dann können wir uns mal angucken, wie dann E1 ∪ E2 aussieht. Da sind also jetzt alle Elemente enthalten, die in E1 oder in E2 sind. Das Ass ist in E1, damit ist es auch in der Vereinigungsmenge von E1 und E2. Die Zwei ist da, die Drei, die Vier, die Fünf und die Sieben. Der Durchschnitt der beiden Mengen heißt auch E1 ∩ E2, besteht nur aus {2,3}, denn nur diese beiden Elemente sind ja in beiden Mengen enthalten. Die Wahrscheinlichkeit für E1 ∪ E2 ist 6/10. Wir können das berechnen mit dieser Laplace-Formel: Anzahl der Ergebnisse in E, E ist bei uns jetzt E1 ∪ E2, geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Alle Ergebnisse sind bei uns zehn Stück. Und in E1 ∪ E2 sind sechs Ergebnisse enthalten. Also 6/10 ist also P von E1 ∪ E2 und laut unserer Summenregel soll das sein P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2). So, schauen wir auf die Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit von E1 ist eins, zwei, drei, vier fünf geteilt durch zehn, also 5/10. Kann man wieder mit der Laplace-Formel berechnen. Die Wahrscheinlichkeit von E2: Na ja, wir haben drei Elemente in E2, 3/10 ist die Wahrscheinlichkeit. Minus die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts, also -2/10. Und das sind dann 6/10. Und damit können wir hier sehen, dass die Summenregel bei diesem Zufallsversuch richtig ist. Wie können uns die Sache auch allgemein vorstellen. Nicht wahr, hier zählen wir dann die Elemente, die sich in E1 befinden, also falls wir die Elemente zählen können. Hier zählen wir die Elemente, die sich in E2 befinden. Und alle Elemente, die sich im Schnitt befinden, zählen wir bei dieser Zählweise doppelt. Und deshalb wird das, was wir doppelt gezählt haben, hier wieder abgezogen. Ja, und dann kommt das raus, was wir dann vorne schon stehen haben. Ja, das wars zur Summenregel. Wir haben an einem einfachen Beispiel sehen können, dass sie tatsächlich gilt. Und wir haben uns auch eine Vorstellung davon machen können, warum sie gilt. Bei allen anderen Beispielen sieht das sehr ähnlich aus. Viel komplizierter werden wir dazu nicht. Ja, da sind wir hier fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. hallo
    ich mag dich sehr

    Von james v., vor 11 Monaten
  2. Wie bei den Nachrichten xD
    Gefällt mir !

    Von Lasse B., vor mehr als 4 Jahren

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Summenregel für Wahrscheinlichkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Summenregel für Wahrscheinlichkeiten kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Summenregel an.

    Tipps

    Wenn die beiden Ereignisse keine gemeinsamen Elemente haben, müssen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

    Die Wahrscheinlichkeit der leeren Menge ist $0$.

    Die Vereinigung zweier Mengen enthält alle Elemente, die in einer der beiden Mengen liegen. Die Elemente, welche in beiden liegen, werden nicht zweimal gezählt.

    Lösung

    Dies ist die Summenregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse $E_1$ und $E_2$. Diese Vereinigung wird wie folgt ausgedrückt:

    Es tritt das Ereignis $E_1$ oder das Ereignis $E_2$ ein.

    Es können dabei allerdings auch beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. Deswegen kann man nicht einfach nur die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse addieren. Dies ginge nur, wenn die beiden Ereignisse keine gemeinsamen Elemente hätten.

    Wenn die beiden Mengen einen gemeinsamen Schnitt haben, muss man von der Summe der Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit des Schnittes der beiden Ereignisse abziehen.

  • Beschreibe, was man unter der Vereinigung und dem Schnitt zweier Ereignisse versteht.

    Tipps

    Beispiel: $A=\{1;2;3\}$; $B=\{3;4;5\}$, dann ist $A\cup B=\{1;2;3;4;5\}$.

    Beispiel: $A=\{1;2;3\}$; $B=\{3;4;5\}$, dann ist $A\cap B=\{3\}$.

    Lösung

    In der Vereinigung $E_1\cup E_2$ sind alle Elemente die in $E_1$ oder in $E_2$ sind.

    Die Elemente können auch sowohl in $E_1$ als auch in $E_2$ liegen.

    Beispiel: $A=\{1;2;3\}$; $B=\{3;4;5\}$, dann ist $A\cup B=\{1;2;3;4;5\}$.

    In dem Schnitt $E_1\cap E_2$ sind alle Elemente die in $E_1$ und in $E_2$ sind.

    Beispiel: $A=\{1;2;3\}$; $B=\{3;4;5\}$, dann ist $A\cap B=\{3\}$.

  • Wende die Summenregel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    Hier siehst du die Summenregel.

    Es ist $\Omega=\{1;...;9\}$ mit $9$ Elementen.

    Jede Zahl, die größer ist als $1$ und nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist, ist eine Primzahl.

    Dies sind die jeweiligen Mengen:

    • $A=\{2;3;5;7\}$
    • $B=\{1;3;9\}$
    • $C=\{2;4;6;8\}$
    Lösung

    Um die Summenregel anzuwenden, macht man sich zunächst die Ereignisse als Mengen klar und kann damit die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen. Der jeweilige Nenner $9$ ist die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge:

    • $A=\{2;3;5;7\}$ $\rightarrow$ $P(A)=\frac49$
    • $B=\{1;3;9\}$ $\rightarrow$ $P(B)=\frac39=\frac13$
    • $C=\{2;4;6;8\}$ $\rightarrow$ $P(C)=\frac49$
    $P(A\cup B)$
    • $A\cap B=\{3\}$ $\rightarrow$ $P(A\cap B)=\frac19$
    • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac49+\frac39-\frac19=\frac69=\frac23$
    $P(A\cup C)$
    • $A\cap C=\{2\}$ $\rightarrow$ $P(A\cap C)=\frac19$
    • $P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)=\frac49+\frac49-\frac19=\frac79$
    $P(B\cup C)$
    • $B\cap C=\emptyset$ $\rightarrow$ $P(B\cap C)=0$
    • $P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\frac39+\frac49=\frac79$

  • Berechne mit Hilfe der Summenregel die Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Nach der Laplace Formel ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Es ist

    • $|E|$ die Anzahl der Elemente in $E$ und
    • $|\Omega|$ die Anzahl der Elemente in $\Omega$.

    Die Summenregel lautet

    $P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2)$.

    In der Vereinigung $E_1\cup E_2$ sind alle Elemente die in $E_1$ oder in $E_2$ sind.

    Die Elemente können auch sowohl in $E_1$ als auch in $E_2$ liegen.

    In dem Schnitt $E_1\cap E_2$ sind alle Elemente die in $E_1$ und in $E_2$ sind.

    Lösung

    Um die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung dieser beiden Ereignisse zu berechnen, kann man entweder die Vereinigung dieser Ereignisse bestimmen und deren Wahrscheinlichkeit mit der Laplace-Formel berechnen oder die Summenformel

    $\begin{align} &~ &P(E_1\cup E_2)\\ &= &P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2) \end{align}$

    anwenden.

    In diesem Beispiel wird gezeigt, dass beide Wege zum gleichen Ergebnis führen.

    Es ist

    • $E_1\cup E_2=\{$Ass;$2;3;4;5;7\}$ und
    • $E_1\cap E_2=\{2;3\}$
    Nach dem Laplace-Formel ist

    $P(E_1\cup E_2)=\frac6{10}$.

    Es wird die Anzahl der Elemente in der Vereinigung der Ereignisse durch die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge dividiert.

    Nun wird dieses Ergebnis mit der Summenformel überprüft. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden jeweils mit der Laplace-Formel berechnet:

    • $P(E_1)=\frac{5}{10}$
    • $P(E_2)=\frac3{10}$
    • $P(E_1\cap E_2)=\frac2{10}$
    und damit

    $P(E_1\cup E_2)=\frac5{10}+\frac3{10}-\frac 2{10}=\frac6{10}$ $~~~~~$ ✓

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Der Schnitt zweier Ereignisse, die keine gemeinsamen Elemente haben, ist die leere Menge.

    Die leere Menge ist das unmögliche Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $0$.

    Die Ergebnismenge ist das sichere Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $1$.

    Wenn eines der beiden Ereignisse in dem anderen Ereignis enthalten ist, gilt

    $E_1\subseteq E_2$, also

    • $E_1\cup E_2=E_2$ und
    • $E_1\cap E_2=E_1$.

    Lösung

    Diese Summenregel gilt für beliebige Ereignisse.

    • Wenn die beiden Ereignisse identisch sind, also $E_1=E_2$, dann ist $E_1\cup E_2=E_1=E_2$ sowie $E_1\cap E_2=E_1=E_2$ und somit $P(E_1)=P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_2)$ $~~~~$✓
    • Wenn die beiden Ereignisse keine gemeinsamen Elemente haben, dann ist deren Schnitt die leere Menge und die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(\emptyset)=0$. Damit ist $P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)$. Dies ist ein Spezialfall der Summenregel.
    • Wenn $E_1\subseteq E_2$ gilt, ist $E_1\cup E_2=E_2$ und $E_1\cap E_2=E_1$. Damit gilt $P(E_2)=P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1)$ $~~~~~$✓
    • Die Vereinigung der beiden Ereignisse ist selbst wieder ein Ereignis, also eine Teilmenge der Ergebnismenge oder die Ergebnismenge selbst. Also ist natürlich auch in diesem Fall die Summenregel gültig.

  • Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Tipps

    Es ist $E_1\cap E_2=\{2;4\}$.

    Die Laplace-Formel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gerade der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge $\Omega$ ist.

    In diesem Beispiel ist $\Omega=\{1;...;11\}$ und es befinden sich $11$ Elemente darin.

    Zur Kontrolle kannst du auch die Vereinigung der beiden Ereignisse $E_1\cup E_2=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}$ betrachten und deren Wahrscheinlichkeit mit der Laplace-Formel berechnen.

    Lösung

    Da sich auf dem Glücksrad die Zahlen von $1$ bis $11$ befinden und die Ergebnismenge aus gerade diesen Zahlen besteht, ist die Anzahl der Elemente darin $11$.

    • $E_1=\{2;4;6;8;10\}$ und damit $P(E_1)=\frac 5{11}$ sowie
    • $E_2=\{1;2;3;4;5\}$ und $P(E_2)=\frac 5{11}4$
    Da der Schnitt der beiden Mengen nicht leer ist - es gilt $E_1\cap E_2=\{2;4\}$ - muss dessen Wahrscheinlichkeit $\frac2{11}$ von der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse subtrahiert werden:

    • $P(E_1\cup E_2)=\frac5{11}+\frac5{11}-\frac2{11}=\frac8{11}$.
    Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man die Vereinigung der beiden Ereignisse

    • $E_1\cup E_2=\{1;2,3,4,5;6;8;10\}$
    bestimmt und deren Wahrscheinlichkeit mit der Laplace-Formel berechnet:

    • $P(E_1\cup E_2)=\frac8{11}$.