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Strecken in Verhältnisse teilen – äußere Teilung 06:34 min

Textversion des Videos

Transkript Strecken in Verhältnisse teilen – äußere Teilung

Der römische Imperator Julius Caesar besucht seine Truppen in Germanien. Besonders wichtig ist ihm der Grenzwall, den er errichten ließ - der Limes. Caesar ist aber unzufrieden. Der Wall bietet nicht genug Schutz und muss verlängert werden. Dazu müssen seine Architekten Strecken in Verhältnisse teilen - per äußerer Teilung Hier verläuft der Limes. Caesar bestimmt, dass der Wall im Verhältnis 5 zu 3 verlängert werden soll. Aber was bedeutet das genau? Du kannst es dir so vorstellen: Wenn du den Wall in 3 gleich große Teile zerlegst, nimmst du noch 2 genausolange Teile hinzu. Diese 5 Teile aneinandergelegt bilden dann die neue Länge des Walls. Sogleich beginnen die Planungen. Für die Konstruktion muss man nur wissen, wie man Strecken in gleich lange Teile teilt.

Wir bezeichnen den bereits fertigen Teil des Walls als Strecke AB. Weil wir die Strecke verlängern wollen, zeichnen wir zuerst eine Hilfslinie als Verlängerung von AB ein. Dann ziehen wir einen Hilfsstrahl durch den Punkt A. Der kann so lang sein, wie wir ihn brauchen und am einfachsten ist es, wenn der Winkel zwischen Strecke und Strahl spitz ist. Mit dem Zirkel stechen wir in Punkt A und stellen einen beliebigen Radius ein. Wenn der Hilfsstrahl zu kurz oder der Radius zu groß ist, mach dir keine Sorgen - du kannst den Hilfsstrahl einfach verlängern. Caesars Architekten haben schon viel Erfahrung und machen es gleich richtig. Jetzt tragen wir mit dem Zirkel 5 gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl ab. Dazu zeichnen wir einen Kreisbogen, der den Hilfsstrahl schneidet. Dort stechen wir den Zirkel wieder ein und zeichnen einen weiteren Kreisbogen. Das wiederholen wir, bis wir 5 Strecken abgetragen haben - denk daran, dass wir im Verhältnis 5 zu 3 verlängern wollten.. Um die 3 Teile des gewünschten Verhältnisses zu finden, verbinden wir das Ende der dritten Strecke auf dem Hilfsstrahl mit dem Punkt B auf der Strecke AB. Per Parallelverschiebung mit zwei Geodreiecken zeichnen wir jetzt eine Parallele vom fünften Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl bis zur Verlängerung von AB. Den Schnittpunkt nennen wir B Strich. Jetzt verlängern wir nur noch die Strecke AB bis zum Punkt B Strich und die Strecke AB Strich ist nun im Verhältnis "5 zu 3" länger als AB. Caesar ordnet die Arbeiten zur Verlängerung an und seine Baumeister gehen ans Werk. Wir fassen währenddessen zusammen, wie du Strecken in einem vorgegebenen Verhältnis verlängern kannst. Sagen wir, du sollst eine Strecke AB im Verhältnis a zu b verlängern - bei uns war das Verhältnis 5 zu 3. Zunächst zeichnest du als Hilfe eine Verlängerung von AB. Als nächstes zeichnest du einen Hilfsstrahl durch den Punkt A. Denk daran, dass er lang genug ist und in einem spitzen Winkel auf der Strecke AB steht. Mit dem Zirkel trägst du a viele gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl ab. Dann verbindest du das Ende der Strecke b auf dem Hilfsstrahl mit dem Punkt B auf der Strecke AB. Mit zwei Geodreicken kannst du nun per Parallelverschiebung das Ende der Strecke a auf dem Hilfsstrahl mit der Verlängerung von AB verbinden. Diesen Schnittpunkt nennst du B Strich und bis zu ihm verlängerst du die Strecke AB. Fertig! Caesar ist inzwischen zum nächstgelegenen Vorratslager gereist. Er war viel zu lange unterwegs, weil es so weit entfernt ist. Damit der Abstand kleiner wird, soll das Lager verlegt werden. Caesars Berater widmen sich wieder ihren Plänen. HIER liegt das Lager momentan und HIER verläuft der Wall. Caesar ordnet an, dass der Abstand des Lagers zum neuen Teil des Walls im Verhältnis 3 zu 4 gekürzt werden soll. Du kannst dir das so vorstellen: Teile die Strecke in 4 gleich lange Teile und lass eines davon weg. Dann bleiben noch 3 übrig. Die restliche Strecke ist also im Verhältnis 3 zu 4 gekürzt. Wieder einmal machen sich seine Architekten an die Arbeit. Wir zeichnen die Entfernung vom Wall zum Lager als Strecke CD. Wieder brauchen wir zuerst einen Hilfsstrahl durch den Punkt C. Weil wir im Verhältnis 3 zu 4 kürzen wollen, teilen wir auf dem Hilfsstrahl mit dem Zirkel 4 gleich große Strecken ab. Dann verbinden wir das Ende der vierten Strecke mit dem Punkt D. Mit einer Parallelverschiebung verbindest du das Ende der dritten Strecke auf dem Hilfsstrahl mit der Strecke CD - das entspricht der 3 in dem gewünschten Teilungsverhältnis 3 zu 4. Den Schnittpunkt nennen wir D Strich. Und wir kürzen die Strecke CD auf die Strecke CD Strich. CD Strich ist im Verhältnis 3 zu 4 kürzer als CD. Caesar ist mit dem neuen Ort des Lagers einverstanden, und wir wiederholen kurz die Konstruktion. Um eine Strecke CD im Verhältnis c zu d zu kürzen - bei Caesar war es 3 zu 4 -, gehst du so vor: Als erstes zeichnest du einen Hilfsstrahl durch den Punkt C. Denk immer daran: er sollte lang genug sein und im spitzen Winkel auf CD stehen. Mit dem Zirkel trägst du dann d viele gleich große Strecken auf dem Hilfsstrahl ab. Dann verbindest du das Ende von Strecke d mit dem Punkt D und zeichnest per Parallelverschiebung eine Verbindungslinie vom Ende der Strecke c auf die Strecke CD. Wo diese Linie die Strecke CD schneidet, ist der neue Endpunkt D Strich. Du verkürzt also CD auf CD Strich und bist fertig! Einige Zeit später kann Caesar den neu errichteten Teil des Limes begutachten. Haben die Germanen den Wall sabotiert? Ah, Caesars Berater haben ihre Planungen offenbar ohne die örtliche Tierwelt gemacht!

1 Kommentar
  1. Ja ,ich habe von diesen Video etwas neues gelernt, ich hoffe es wird mir übermorgen bei der Klassenarbeit helfen!!✨🌠❤💓💕💖💗💋🎑🎀♥🌹🌾🌿🌼🌻🌺🌸🌷😩😩😞😖😖😏😏

    Von Iman5, vor fast einem Jahr

Strecken in Verhältnisse teilen – äußere Teilung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strecken in Verhältnisse teilen – äußere Teilung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du die Strecke $\overline{AB}$ per äußerer Teilung in einem Verhältnis von $5:3$ teilst.

    Tipps

    Hier dargestellt ist der vorletzte Schritt bei der Teilung der Strecke $\overline{AB}$ in das Verhältnis $5:3$ per äußerer Teilung.

    Du kannst dir den Vorgang wie folgt vorstellen:

    • Wir zerlegen den Wall in $3$ gleich große Teilstrecken.
    • Dann fügen wir $2$ weitere dieser Teilstrecken hinten an.
    • So erhalten wir insgesamt $5$ gleich große Teilstrecken, welche die neue Strecke $\overline{AB'}$ bilden.
    Lösung

    Möchten wir eine gegebene Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $5:3$ per äußerer Teilung verlängern, so gehen wir wie folgt vor:

    1. Weil wir die Strecke $\overline{AB}$ verlängern wollen, zeichnen wir zuerst eine Hilfslinie als Verlängerung von $\overline{AB}$ ein. Außerdem ziehen wir einen Hilfsstrahl ausgehend von dem Punkt $A$. Dieser soll einen spitzen Winkel mit der Strecke $\overline{AB}$ bilden.
    2. Nun stechen wir den Zirkel im Punkt $A$ ein und stellen einen beliebigen Radius ein. Ist der Hilfsstrahl zu kurz oder der Radius zu groß, so können wir den Hilfsstrahl einfach verlängern. Wir tragen mit dem Zirkel $5$ gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl ab. Dazu zeichnen wir den ersten Kreisbogen um den Punkt $A$ so, dass dieser den Hilfsstrahl schneidet. Anschließend stechen wir den Zirkel in diesem Schnittpunkt wieder ein und zeichnen einen weiteren Kreisbogen. Das wiederholen wir, bis wir auf dem Hilfsstrahl $5$ Strecken abgetragen haben.
    3. Jetzt verbinden wir das Ende der $3.$ Strecke auf dem Hilfsstrahl mit dem Punkt $B$ auf der Strecke $\overline{AB}$.
    4. Per Parallelverschiebung mit zwei Geodreiecken zeichnen wir die Parallele dieser Verbindung durch das Ende der $5.$ Strecke auf dem Hilfsstrahl bis zur Verlängerung der Strecke $\overline{AB}$.
    5. Den Schnittpunkt nennen wir $B'$ und verlängern die Strecke $\overline{AB}$ bis zum Punkt $B'$.

    Die Strecke $\overline{AB'}$ ist nun im Verhältnis $5:3$ länger als die Strecke $\overline{AB}$. Das Ergebnis der Teilung einer Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $a:b$ per äußerer Teilung kannst du dem nebenstehenden Bild entnehmen.

  • Gib an, in welchem Verhältnis der Teilungspunkt $B'$ die Strecke $\overline{AB}$ per äußerer Teilung teilt.

    Tipps

    Wird eine Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $2:3$ geteilt, so wird die Strecke $\overline{AB}$ zunächst in drei gleich große Teilstrecken geteilt.

    Wird eine Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $2:3$ geteilt, so liegt der Teilungspunkt $B'$ auf der Strecke $\overline{AB}$.

    Lösung

    Wenn wir eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis $a:b$ per äußerer Teilung teilen, so gelten folgende Zusammenhänge:

    • Ist $a>b$, so liegt der Teilungspunkt $B'$ außerhalb der Strecke $\overline{AB}$.
    • Ist $a<b$, so liegt der Teilungspunkt $B'$ auf der Strecke $\overline{AB}$.
    • Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich aus $b$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.
    • Die Strecke $\overline{AB'}$ setzt sich aus $a$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.
    Ausgehend von diesen Feststellungen können wir nun die Verhältnisse für unsere vier Beispiele festlegen.

    Beispiel 1

    Gegeben ist eine Strecke $\overline{AB}$, welche zu $\overline{AB'}$ verlängert wurde. Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich hierbei aus $b=3$ gleich großen Teilstrecken zusammen, während sich die Strecke $\overline{AB'}$ aus $a=5$ gleich großen Teilstrecken zusammensetzt. Die Strecke $\overline{AB}$ ist hier also im Verhältnis $5:3$ per äußerer Teilung geteilt worden.

    Beispiel 2

    Gegeben ist eine Strecke $\overline{AB}$, welche zu $\overline{AB'}$ verkürzt wurde. Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich hierbei aus $b=4$ gleich großen Teilstrecken zusammen, während sich die Strecke $\overline{AB'}$ aus $a=3$ gleich großen Teilstrecken zusammensetzt. Die Strecke $\overline{AB}$ ist hier also im Verhältnis $3:4$ per äußerer Teilung geteilt worden.

    Beispiel 3

    Gegeben ist eine Strecke $\overline{AB}$, welche zu $\overline{AB'}$ verkürzt wurde. Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich hierbei aus $b=5$ gleich großen Teilstrecken zusammen, während sich die Strecke $\overline{AB'}$ aus $a=2$ gleich großen Teilstrecken zusammensetzt. Die Strecke $\overline{AB}$ ist hier also im Verhältnis $2:5$ per äußerer Teilung geteilt worden.

    Beispiel 4

    Gegeben ist eine Strecke $\overline{AB}$, welche zu $\overline{AB'}$ verlängert wurde. Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich hierbei aus $b=4$ gleich großen Teilstrecken zusammen, während sich die Strecke $\overline{AB'}$ aus $a=5$ gleich großen Teilstrecken zusammensetzt. Die Strecke $\overline{AB}$ ist hier also im Verhältnis $5:4$ per äußerer Teilung geteilt worden.

  • Prüfe die Aussagen bezüglich ihrer Richtigkeit.

    Tipps

    Hier wurde die Strecke $\overline{CD}$ in einem Verhältnis von $3:4$ per äußerer Teilung geteilt.

    Lösung

    Teilen wir eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis $a:b$ per äußerer Teilung, so gelten folgende Zusammenhänge:

    • Ist $a>b$, so liegt der Teilungspunkt $B'$ außerhalb der Strecke $\overline{AB}$.
    • Ist $a<b$, so liegt der Teilungspunkt $B'$ auf der Strecke $\overline{AB}$.
    • Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich aus $b$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.
    • Die Strecke $\overline{AB'}$ setzt sich aus $a$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.
    Das Bild stellt eine Teilung mit $a>b$ dar. Der Teilungspunkt $B'$ liegt hier daher außerhalb der Strecke $\overline{AB}$.

  • Ermittle die gesuchte Entfernung.

    Tipps

    Eine Strecke $\overline{AB}$ teilen wir in einem Verhältnis $a:b$ per äußerer Teilung, indem wir

    • zunächst die Strecke $\overline{AB}$ in $b$ viele gleich große Teilstrecken teilen
    • und dann ausgehend vom Punkt $A$ $a$ viele Teilstrecken bis $B'$ abzählen.

    Hier teilen wir also die Strecke mit $4$ Kilometern in $b=2$ gleich große Teilstrecken und zählen ausgehend vom Punkt $L$ sieben dieser Teilstrecken bis zu der neuen Schule von Lukas.

    Lösung

    In dieser Aufgabe gehen wir wie folgt vor:

    • Zunächst teilen wir die Strecke $\overline{LS}$ mit $4\ \text{km}$ Länge in $2$ gleich große Teilstrecken.
    • Dann zählen wir ausgehend vom Punkt $L$ sieben dieser Teilstrecken bis zur neuen Schule $S'$ ab.
    Die Länge einer Teilstrecke entspricht hier $\frac 42=2\ \text{km}$. Da die neue Schulstrecke $\overline{LS'}$ aus $7$ dieser Teilstrecken besteht, ist die neue Schulstrecke $7\cdot 2\ \text{km}=14\ \text{km}$ lang.

  • Gib an, welche Eigenschaften für die Strecke $\overline{CD'}$ gelten.

    Tipps

    Wird eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $4:6$ per äußerer Teilung geteilt, so liegt der Teilungspunkt $B'$ auf der Strecke $\overline{AB}$.

    Wird eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $4:6$ per äußerer Teilung geteilt, so wird die Strecke $\overline{AB}$ in $6$ gleich lange Teilstrecken geteilt und die letzten beiden Teilstrecken werden weggelassen.

    Lösung

    Wird die Strecke $\overline{CD}$ in einem Verhältnis von $3:4$ per äußerer Teilung geteilt, so liegt der Teilungspunkt $D'$ auf der Strecke $\overline{CD}$. Die Strecke $\overline{CD}$ wird nämlich zunächst in $4$ gleich lange Teilstrecken geteilt und dann die letzte Teilstrecke weggelassen. Somit ist die neue Strecke $\overline{CD'}$ dreimal so lang wie die Strecke $\overline{D'D}$.

    Im Folgenden notieren wir uns noch die allgemeinen Konstruktionsschritte:

    1. Um eine Strecke $\overline{CD}$ in einem Verhältnis von $c:d$ zu kürzen, zeichnen wir einen Hilfsstrahl durch den Punkt $C$ mit einem spitzen Winkel zu $\overline{CD}$.
    2. Mit einem Zirkel tragen wir $d$ viele, gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl ab.
    3. Wir verbinden das Ende der Strecke $d$ auf dem Hilfsstrahl mit dem Punkt $D$.
    4. Wir zeichnen per Parallelverschiebung eine Verbindungslinie am Ende der Strecke $c$ auf dem Hilfsstrahl mit der Strecke $\overline{CD}$.
    5. Diese Verbindungslinie schneidet die Strecke $\overline{CD}$. Dieser Schnittpunkt ist der neue Endpunkt $D'$.
    Du verkürzt also $\overline{CD}$ auf $\overline{CD'}$.

  • Ermittle, in welchem Verhältnis die Strecke $\overline{AB}$ geteilt wurde.

    Tipps

    Wird eine Strecke der Länge $6\ \text{cm}$ per äußerer Teilung in einem Verhältnis von $5:3$ geteilt, so hat die neue Strecke die Länge $10\ \text{cm}$. Diese berechnest du wie folgt:

    $\frac {6\ \text{cm}}3\cdot 5=2\ \text{cm}\cdot 5=10\ \text{cm}$.

    Wenn wir eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis $a:b$ per äußerer Teilung teilen, setzt sich die Strecke $\overline{AB'}$ aus $a$ vielen und die Strecke $\overline{AB}$ aus $b$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.

    Lösung

    Wenn wir eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis $a:b$ per äußerer Teilung teilen, so gelten folgende Zusammenhänge:

    • Die Strecke $\overline{AB}$ setzt sich aus $b$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.
    • Die Strecke $\overline{AB'}$ setzt sich aus $a$ vielen, gleich großen Teilstrecken zusammen.
    In unserem Beispiel setzt sich die Strecke $\overline{AB}$ aus $13$ Längeneinheiten, also $13$ Teilstrecken mit je einer Längeneinheit, zusammen, also ist $b=13$. Die Strecke $\overline{AB'}$ setzt sich aus $7$ Längeneinheiten zusammen. Somit wurde die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $7:13$ per äußerer Teilung geteilt.

    Nun soll aber die Strecke $\overline{AB'}$ mit ihren $7$ Längeneinheiten per äußerer Teilung in einem Verhältnis von $6:5$ geteilt und die Länge der neuen Strecke $\overline{AB''}$ angegeben werden. Die Strecke $\overline{AB'}$ soll sich jetzt also aus $5$ Teilstrecken der Länge $\frac 75$ Längeneinheiten zusammensetzen. Da sich die neue Strecke $\overline{AB''}$ aus $6$ dieser Teilstrecken zusammensetzen soll, berechnen wir ihre Länge wie folgt:

    $\frac 75\cdot 6=\frac {42}5=8,4$.