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Stetigkeitssätze

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Annejahn089
Stetigkeitssätze
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Stetigkeitssätze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stetigkeitssätze kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, bei welchen Aussagen eine stetige Funktion vorliegt.

    Tipps

    Überprüfe, ob die Funktion für alle $x \in \mathbb{R}$ überhaupt Funktionswerte besitzt.

    Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.

    Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ an der Stelle $x_0$ stetig.

    Der 3. Stetigkeitssatz: Alle Polynome $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$ sind stetig.

    Der 4. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ und $g$ an der Stelle $f(x_0)$ stetig ist, so ist die Verknüpfung $g \circ f(x) =g(f(x))$ stetig an der Stelle $x_0$.

    Lösung
    • Die Aussage „$g(x) = \frac{1}{x}$ ist stetig“ ist falsch. Denn $g(x) = \frac{1}{x}$ ist an der Stelle $x_0=0$ nicht definiert, daraus folgt: $g(x) = \frac{1}{x}$ ist stetig für $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{0\}$.
    • Die Aussage „$ f(x) = x^2 + x$ ist im Punkt $x = 0$ nicht stetig“ ist falsch, denn $ f(0) = 0$. Die Funktionen $f(x) = x$ und $f(x) = x^2$ sind stetig, somit ist laut dem ersten Stetigkeitssatz auch die Addition der beiden Funktionen stetig.
    • Die restlichen Aussagen lassen sich mithilfe der Stetigkeitssätze belegen.
  • Beschreibe den Stetigkeitsnachweis für die Funktion $h(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 2x + 1}$.

    Tipps

    Überlege dir, welche Stetigkeitsregel du anwenden kannst.

    Faktorisiere die Funktion, um die zweite Stetigkeitsregel anwenden zu können.

    Wenn der Nenner in einem Punkt nicht definiert ist, ist die Funktion an diesem Punkt nicht stetig.

    Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.

    Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\large{\frac{1}{f}}$ an der Stelle $x_0$ stetig.

    Lösung
    1. Wir wenden zunächst die erste Stetigkeitsregel (Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.) an und faktorisieren die Funktion: $h(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 2x + 1} = (x + 2) \cdot \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$
    2. Dann überprüfen wir die Stetigkeit beider Faktoren. Die Funktion $g(x) = (x + 2)$ ist stetig, weil es ein Polynom ist. Dann müssen wir nun die Funktion $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ auf Stetigkeit überprüfen. Als Polynom ist es stetig. Weil es sich aber im Nenner befindet, verwenden wir die zweite Stetigkeitsregel (Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\large{\frac{1}{f}}$ an der Stelle $x_0$ stetig.) $f(x) = x^2 - 2x + 1 = 0$ hat eine Nullstelle bei $x_0=1$. Somit ist die Funktion $h(x)$ im Punkt $x_0 = 1$ nicht definiert.
    3. $h(x)$ ist stetig für $x \in $ $\mathbb{R}$ \ $\{1\}$.
  • Bestimme die richtigen Aussagen zur Stetigkeit.

    Tipps

    Beispiel für eine nicht stetige Funktion ist $f(x)=\frac{1}{x}$.

    Die Funktion $f(x)=\frac{x^2}{x}$ ist stetig fortsetzbar und enthält bei $x=0$ eine Lücke.

    Lösung

    Hier noch einmal die erlernten Sätze zur Stetigkeit zum Einprägen.

    • Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.
    • Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ an der Stelle $x_0$ stetig.
    • Der 3. Stetigkeitssatz: Alle Polynome $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$ sind stetig.
    • Der 4. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ und $g$ an der Stelle $f(x_0)$ stetig ist, so ist die Verknüpfung $g \circ f(x) =g(f(x))$ stetig an der Stelle $x_0$.
  • Erkläre, für welche x-Werte die Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ stetig ist.

    Tipps

    Versuche, den Zähler zu faktorisieren.

    Sei vorsichtig, wenn du Funktionen dieser Art vereinfachen möchtest.

    Im Zähler befindet sich eine binomische Formel.

    Lösung

    Auf den ersten Blick sehen wir, dass der Nenner der Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ an der Stelle $x = -2$ eine Nullstelle hat. Da die Division durch Null nicht erlaubt ist, besitzt $f$ den Definitionsbereich $D = x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{-2\}$

    Die Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ lässt sich weiter vereinfachen. Im Zähler haben wir eine binomische Formel: $4x^2 + 16x + 16 = (2x + 4)^2$.

    Nun können wir die gegebene Formel umschreiben zu $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)} = \frac{(2x + 4)^2}{2(2x + 4)}$

    Hier können wir jeweils im Zähler und im Nenner $(2x + 4)$ kürzen und erhalten:

    • $f(x) = \frac{(2x +4)}{2}$
    Der Zähler der Funktion ist ein Polynom aus stetigen Funktionen, somit für alle $x \in \mathbb{R}$ stetig. Der Nenner der Funktion ist 2. Der Nenner ist unabhängig von $x$ und somit stetig.

    Daraus folgt, dass die Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ stetig fortsetzbar ist. Allerdings muss der ursprüngliche Definitionsbereich $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{-2\}$ beibehalten werden. Die Funktion hat im Punkt $(-2, 0)$ ein Loch.

  • Vervollständige die Aussagen zu den Stetigkeitsregeln.

    Tipps

    Schreibe dir die vier Stetigkeitssätze heraus.

    Notiere dir die Merkmale einer stetigen Funktion.

    Ein Polynom ist eine endliche Summe $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$:

    • $f(x) = 3 + 2x + 8x^2 + 7x^6$ oder
    • $g(x)= 2 \cdot x^2 - 2$
    Lösung

    Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass man den Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann.

    • Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.
    • Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ an der Stelle $x_0$ stetig.
    • Der 3. Stetigkeitssatz: Alle Polynome $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$ sind stetig.
    • Der 4. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ und $g$ an der Stelle $f(x_0)$ stetig ist, so ist die Verknüpfung $g \circ f(x) =g(f(x))$ stetig an der Stelle $x_0$.
  • Bestimme die Funktionen, die für alle $x \in $ $\mathbb{R}$ stetig sind.

    Tipps

    Eine Funktion ist nicht stetig für alle $x \in $ $\mathbb{R}$, wenn sie in einem Punkt nicht stetig ist.

    Ist die Funktion für einen x-Wert nicht definiert, so ist die Funktion an diesem Punkt nicht stetig.

    Lösung

    $f(x) = \frac{x-1}{(x+1)^3+8}$ ist für $x = -3$ nicht definiert, stetig für alle $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{-3\}$.

    $f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{2}x$ ist für $x = 0$ nicht definiert, stetig für alle $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{0\}$.

    $f(x) = \frac{(x + 3)^2}{(x - 2)^2}$ ist für $x = 2$ nicht definiert, stetig für alle $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{2\}$.

    Die Funktion $f(x) = \frac{x + 3}{(x - 4)^2 +4}$ besitzt zwar einen Term im Nenner, welcher ein $x$ enthält, allerdings kann der Nenner nie $0$ werden. Um genau zu sein, nimmt er immer Werte, welche größer oder gleich $4$ sind, an. Somit ist die Funktion stetig für alle $x \in \mathbb{R}$.

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