30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Stetigkeitssätze 13:17 min

Textversion des Videos

Transkript Stetigkeitssätze

Hallo! Ich bin Anne und ich erkläre Dir heute, wie man mit Hilfe von Stetigkeitssätzen überprüft, ob komplizierte Funktionen stetig sind. Dazu werden wir vier Stetigkeitssätze formulieren und sie anhand von Beispielen gleich üben. Und dann geht es gleich los mit dem ersten Satz. Wir haben zwei Funktionen f und g sind stetig. Und dann folgt daraus, dass f plus minus g stetig ist. Und auch f mal g ist stetig. Als Beispiel. Also wir haben schon kennengelernt, dass die Normalparabel stetig ist. Also f(x) = x². Und als zweite Funktion die Betragsfunktion. g(x) = |x| Die beiden Funktionen sehen wir hier nochmal. Und anschaulich bedeutet Stetigkeit ja, dass man den Graphen der Funktion durchgängig zeichnen kann. Also ohne abzusetzen. Und das sieht man hier nochmal an den beiden Graphen sehr schön. Und unser Satz bedeutet jetzt, dass wir eine neue Funktion bilden können, h(x). Da addieren wir beide Funktionen. Also x² + |x|. Die ist stetig. Genauso wie die Funktion i. Da multiplizieren wir beide Funktionen, also x² * |x|. Das gucken wir uns im Graphen auch nochmal an. Und wir sehen, man kann jetzt den Graphen von x² + |x| auch wieder in einem Zug durchzeichnen. Der zweite Stetigkeitssatz ist, also wir haben jetzt beim ersten die Addition, Subtraktion und Multiplikation abgedeckt. Jetzt fehlt noch die Division. Also f ist stetig an einer Stelle x0. Und f(x0) ist ungleich null. Dann ist 1/f stetig an der Stelle x0. Als Beispiel nehmen wir die Funktion g(x) = 1/x. Das ist quasi 1/f. Wir müssen jetzt überlegen, was ist f(x). f(x) = x, also die Nennerfunktion. jetzt müssen wir überlegen, ob diese Bedingung erfüllt ist. Diese Voraussetzung, wann wird die hier null. jetzt steht es schon da, wenn x gleich null ist. Das heißt g ist stetig für R{0}. Weil es hier nicht ungleich null ist. Das gucken wir uns auch nochmal im Bild an. Also wir haben diese Funktion 1/x mit diesen zwei Ästen. Und man sieht auch nochmal, ich komme von diesem unteren Ast nicht zu dem oberen Ast. Da muss ich absetzen und das ist, weil an der Stelle x0 = 0 ist die Funktion nicht stetig. Die dritte Regel bezieht sich auf Polynome. Und da ist ganz gut, da kann man einfach allgemein sagen: Polynome sind stetig. Dafür müssen wir erstmal überlegen, wie sieht so ein Polynom aus. Das ist immer die Summe von j gleich null bis n, aj * xj. Und diese aj sind irgendwelche reellen Zahlen. Also wir wissen, dass x, x², x³ stetig sind und weil wir die dann nur addieren, ist dann dieses Polynom insgesamt auch wieder stetig. Das hier kann man auch einfacher schreiben. Dann sieht es vielleicht ein bisschen einfacher aus. a0 * x0, x0 ist wieder eins. Also bleibt a0 + a1 * x1, kann ich weglassen nur x, + a2x² und so weiter bis zum höchsten Grad n. an * xn. Das heißt ich kann jetzt einfach irgendein Polynom aufschreiben und das ist auf jeden Fall stetig. Jetzt nehme ich mal als Beispiel. Das ist jetzt wirklich total egal, was man da aufschreibt. 3 + 2x² - 64x³. Also man kann hier quasi irgendwas aufschreiben. Man kann auch Sachen überspringen, wie zum Beispiel das x ist hier gar nicht drin. Wir gucken uns nochmal ein Bild dazu an. Da sieht man eine konstante Funktion, eine lineare Funktion, eine quadratische Funktion, also im Prinzip alles Mögliche, was Polynome sind, sind auf jeden Fall stetig. Wir werden gleich noch eine kompliziertere Funktion mit Hilfe dieser drei Sätze untersuchen, ob sie stetig ist. Wir wollen jetzt nochmal eine kompliziertere Funktion auf Stetigkeit untersuchen. Und dazu haben wir die Funktion h(x) gegeben. Das ist jetzt eine gebrochen rationale Funktion. Und zwar: (x + 2)/(x² - 2x + 1). Also ich würde das jetzt erstmal mit der ersten Regel in ein Produkt umschreiben. Das heißt wir haben: (x + 2) * 1/(x² - 2x + 1). Jetzt müssen wir überlegen, sind diese beiden Faktoren stetig. Also x + 2 ist erstmal stetig, weil es ein Polynom ist. Und jetzt müssen wir überlegen, was ist mit dieser Funktion. Und da sehen wir, da können wir die zweite Regel anwenden. Und wir müssen jetzt die Nennerfunktion untersuchen, ob die immer ungleich 0 ist. Also f(x) = x² - 2x + 1. Und jetzt setzen wir die 0. Wann wird die null? Man kann jetzt erkennen das ist eine binomische Formel und zwar die zweite. Das kann man umschreiben in (x - 1)² = 0. Und dann können wir die Wurzel ziehen. (x - 1) = 0 und x = 1. Das heißt nur für x = 1 wird der Nenner hier null. Also nur für x = 1 ist die Funktion h nicht stetig. Also h(x) ist stetig für R{1}. Dazu gucken wir uns auch nochmal den Graph der Funktion an. Wir sehen jetzt bei eins hat es diese senkrechte Asymptote und das ist jetzt auch genau die Stelle, wo h nicht stetig ist. Wir gucken uns gleich noch den letzten Stetigkeitssatz an und machen dazu auch nochmal ein Beispiel.Ich stelle euch jetzt noch den letzten und vierten Stetigkeitssatz vor. Der besagt, wenn wir zwei Funktionen haben, f und g, die stetig sind, dann ist auch ihre Verkettung auch wieder stetig. Also f ist stetig an der Stelle x0 und g ist stetig an der Stelle f(x0). Dann ist jetzt g verkettet mit f(x), dieser Kreis heißt verkettet. Und das schreibt man auch als g(f(x)). Die ist dann stetig an der Stelle x0. Dazu wollen wir jetzt auch nochmal ein Beispiel machen. Und zwar h(x) = (x - 3)³. Jetzt müssen wir überlegen, was ist die innere Funktion und die äußere Funktion. Mit der inneren Funktion nennt man immer f und die äußere Funktion ist g. Also für unser Beispiel ist jetzt diese innere Funktion f = x - 3. Und die äußere Funktion ist x³. Ist hier außen. Beide Funktionen sind stetig in ganz R, weil sie Polynome sind. Und deswegen ist auch ihre Verkettung stetig. Was man dann ja schreiben kann als g(f(x)). Wir gucken uns zum Schluss nochmal den Graphen an der Funktion. Und hier sieht man wieder, dass man die Funktion komplett einmal durchzeichnen kann, ohne abzusetzen. Also auch anschaulich sehen wir, die Funktion ist stetig.Zum Schluss fasse ich nochmal zusammen, was Du heute gelernt hast: Wir haben uns die vier Stetigkeitssätze angeschaut. Das waren, wenn man zwei stetige Funktionen addiert, subtrahiert oder multipliziert sind sie stetig. 1/f ist stetig, wenn f selber stetig ist. Und f(x) ungleich null ist. Dann sind Polynome im Allgemeinen stetig. Und dann haben wir noch die Kettenregel kennengelernt. Dass wenn zwei stetige Funktionen verkettet werden, dass auch ihre Verkettung wieder stetig ist. Ich hoffe Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.

Stetigkeitssätze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stetigkeitssätze kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Aussagen zu den Stetigkeitsregeln.

    Tipps

    Schreibe dir die vier Stetigkeitssätze heraus.

    Notiere dir die Merkmale einer stetigen Funktion.

    Ein Polynom ist eine endliche Summe $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$:

    • $f(x) = 3 + 2x + 8x^2 + 7x^6$ oder
    • $g(x)= 2 \cdot x^2 - 2$
    Lösung

    Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass man den Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann.

    • Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.
    • Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ an der Stelle $x_0$ stetig.
    • Der 3. Stetigkeitssatz: Alle Polynome $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$ sind stetig.
    • Der 4. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ und $g$ an der Stelle $f(x_0)$ stetig ist, so ist die Verknüpfung $g \circ f(x) =g(f(x))$ stetig an der Stelle $x_0$.
  • Bestimme, bei welchen Aussagen eine stetige Funktion vorliegt.

    Tipps

    Überprüfe, ob die Funktion für alle $x \in \mathbb{R}$ überhaupt Funktionswerte besitzt.

    Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.

    Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ an der Stelle $x_0$ stetig.

    Der 3. Stetigkeitssatz: Alle Polynome $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$ sind stetig.

    Der 4. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ und $g$ an der Stelle $f(x_0)$ stetig ist, so ist die Verknüpfung $g \circ f(x) =g(f(x))$ stetig an der Stelle $x_0$.

    Lösung
    • Die Aussage „$g(x) = \frac{1}{x}$ ist stetig“ ist falsch. Denn $g(x) = \frac{1}{x}$ ist an der Stelle $x_0=0$ nicht definiert, daraus folgt: $g(x) = \frac{1}{x}$ ist stetig für $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{0\}$.
    • Die Aussage „$ f(x) = x^2 + x$ ist im Punkt $x = 0$ nicht stetig“ ist falsch, denn $ f(0) = 0$. Die Funktionen $f(x) = x$ und $f(x) = x^2$ sind stetig, somit ist laut dem ersten Stetigkeitssatz auch die Addition der beiden Funktionen stetig.
    • Die restlichen Aussagen lassen sich mithilfe der Stetigkeitssätze belegen.
  • Beschreibe den Stetigkeitsnachweis für die Funktion $h(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 2x + 1}$.

    Tipps

    Überlege dir, welche Stetigkeitsregel du anwenden kannst.

    Faktorisiere die Funktion, um die zweite Stetigkeitsregel anwenden zu können.

    Wenn der Nenner in einem Punkt nicht definiert ist, ist die Funktion an diesem Punkt nicht stetig.

    Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.

    Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\large{\frac{1}{f}}$ an der Stelle $x_0$ stetig.

    Lösung
    1. Wir wenden zunächst die erste Stetigkeitsregel (Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.) an und faktorisieren die Funktion: $h(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 2x + 1} = (x + 2) \cdot \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$
    2. Dann überprüfen wir die Stetigkeit beider Faktoren. Die Funktion $g(x) = (x + 2)$ ist stetig, weil es ein Polynom ist. Dann müssen wir nun die Funktion $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ auf Stetigkeit überprüfen. Als Polynom ist es stetig. Weil es sich aber im Nenner befindet, verwenden wir die zweite Stetigkeitsregel (Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\large{\frac{1}{f}}$ an der Stelle $x_0$ stetig.) $f(x) = x^2 - 2x + 1 = 0$ hat eine Nullstelle bei $x_0=1$. Somit ist die Funktion $h(x)$ im Punkt $x_0 = 1$ nicht definiert.
    3. $h(x)$ ist stetig für $x \in $ $\mathbb{R}$ \ $\{1\}$.
  • Bestimme die Funktionen, die für alle $x \in $ $\mathbb{R}$ stetig sind.

    Tipps

    Eine Funktion ist nicht stetig für alle $x \in $ $\mathbb{R}$, wenn sie in einem Punkt nicht stetig ist.

    Ist die Funktion für einen x-Wert nicht definiert, so ist die Funktion an diesem Punkt nicht stetig.

    Lösung

    $f(x) = \frac{x-1}{(x+1)^3+8}$ ist für $x = -3$ nicht definiert, stetig für alle $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{-3\}$.

    $f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{2}x$ ist für $x = 0$ nicht definiert, stetig für alle $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{0\}$.

    $f(x) = \frac{(x + 3)^2}{(x - 2)^2}$ ist für $x = 2$ nicht definiert, stetig für alle $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{2\}$.

    Die Funktion $f(x) = \frac{x + 3}{(x - 4)^2 +4}$ besitzt zwar einen Term im Nenner, welcher ein $x$ enthält, allerdings kann der Nenner nie $0$ werden. Um genau zu sein, nimmt er immer Werte, welche größer oder gleich $4$ sind, an. Somit ist die Funktion stetig für alle $x \in \mathbb{R}$.

  • Bestimme die richtigen Aussagen zur Stetigkeit.

    Tipps

    Beispiel für eine nicht stetige Funktion ist $f(x)=\frac{1}{x}$.

    Die Funktion $f(x)=\frac{x^2}{x}$ ist stetig fortsetzbar und enthält bei $x=0$ eine Lücke.

    Lösung

    Hier noch einmal die erlernten Sätze zur Stetigkeit zum Einprägen.

    • Der 1. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ und $g$ stetig sind, dann sind auch $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ stetig.
    • Der 2. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an einer Stelle $x_0$ stetig ist und hier $f(x) \neq 0$ gilt, dann ist $\frac{1}{f}$ an der Stelle $x_0$ stetig.
    • Der 3. Stetigkeitssatz: Alle Polynome $a_0+ a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n \cdot x^n$ sind stetig.
    • Der 4. Stetigkeitssatz: Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ und $g$ an der Stelle $f(x_0)$ stetig ist, so ist die Verknüpfung $g \circ f(x) =g(f(x))$ stetig an der Stelle $x_0$.
  • Erkläre, für welche x-Werte die Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ stetig ist.

    Tipps

    Versuche, den Zähler zu faktorisieren.

    Sei vorsichtig, wenn du Funktionen dieser Art vereinfachen möchtest.

    Im Zähler befindet sich eine binomische Formel.

    Lösung

    Auf den ersten Blick sehen wir, dass der Nenner der Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ an der Stelle $x = -2$ eine Nullstelle hat. Da die Division durch Null nicht erlaubt ist, besitzt $f$ den Definitionsbereich $D = x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{-2\}$

    Die Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ lässt sich weiter vereinfachen. Im Zähler haben wir eine binomische Formel: $4x^2 + 16x + 16 = (2x + 4)^2$.

    Nun können wir die gegebene Formel umschreiben zu $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)} = \frac{(2x + 4)^2}{2(2x + 4)}$

    Hier können wir jeweils im Zähler und im Nenner $(2x + 4)$ kürzen und erhalten:

    • $f(x) = \frac{(2x +4)}{2}$
    Der Zähler der Funktion ist ein Polynom aus stetigen Funktionen, somit für alle $x \in \mathbb{R}$ stetig. Der Nenner der Funktion ist 2. Der Nenner ist unabhängig von $x$ und somit stetig.

    Daraus folgt, dass die Funktion $f(x) = \frac{4x^2 + 16x + 16}{2(2x + 4)}$ stetig fortsetzbar ist. Allerdings muss der ursprüngliche Definitionsbereich $x \in \mathbb{R} \text{ \ } \{-2\}$ beibehalten werden. Die Funktion hat im Punkt $(-2, 0)$ ein Loch.