Stetigkeit von Funktionen – Beispiele

Stetigkeit von Funktionen – Beispiele Übung

• Beschreibe die gegebene Funktion.

  Tipps

  Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

  Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.

  Lösung

  Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion. Die Funktion ist stetig in $x_0$, wenn gilt:

  • $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

  Die abschnittsweise definierte Funktion

  $f(x)=\begin{cases} x^2 - 1, & x \ge 2,5\\ 3x^2 - 9, & x < 2,5 \end{cases}$ ist nicht stetig, da sie an der Stelle $x = 2,5$ eine Sprungstelle besitzt.

  Die Aussage: „Von links zur Stelle $ x = 2,5$ kommend, wird die Funktion $f $ durch $x^2 - 1$ definiert.“ ist falsch. Von links zur Stelle $ x = 2,5$ kommend, wird die Funktion $f$ durch $3x^2 - 9$ definiert.

  Die Aussage: „Stetigkeit bedeutet anschaulich, dass die Funktion eine Sprungstelle hat.“ ist falsch. Stetigkeit bedeutet anschaulich, dass man die Funktion ohne abzusetzen zeichnen kann.

• Ergänze einen Wert für die Variable $a$, für welchen die Funktion stetig ist.

  Tipps

  Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

  $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

  Überprüfe am Schluss, ob der Funktionswert $f(x_0)$ existiert und dann, ob der Grenzwert an der Stelle $x_0$ existiert. Wenn der Funktionswert dem Grenzwert entspricht, ist deine Lösung richtig.

  Lösung

  Wie kannst du $a$ ermitteln, sodass $f(x)$ stetig ist?

  Dafür gucken wir uns beide Funktionen an und sehen, dass diese Schnittpunkte haben. An den Schnittpunkten kann man ohne abzusetzen zwischen den beiden Graphen wechseln. Die Graphen schneiden sich im Punkt $x_0 = 2$. Deswegen suchen wir den Parameter $a$, wo die Stetigkeitsbedingung erfüllt ist.

  Dazu wenden wir die Stetigkeitbedingung an:

  • $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

  Dies bedeutet: Wenn man von zwei Seiten unendlich nahe an eine Stelle herangeht, so muss der gleiche Wert wie an dieser Stelle selbst herauskommen.

  Wir erhalten:

  $\begin{align} &&\lim_{x \to 2^-} 3x^2 - 9 &= \lim_{x \to 2^+} x^2 - a\\ &\Rightarrow& 12 - 9 &= 4 - a\\ &\Leftrightarrow& a &= 1 \end{align}$

  Unser Beispiel hat also die Lösung $a = 1$.

• Bestimme die Stelle $a$, an welcher die abschnittsweise definierte Funktion stetig wird.

  Tipps

  An den Schnittpunkten zweier Graphen kannst du die Funktion wechseln ohne abzusetzen.

  Finde die Schnittpunkte der zwei Funktionen.

  Lösung

  Wir überlegen Folgendes: Wie können wir $a$ ändern, damit $f(x)$ stetig ist?

  Dazu müssen wir wissen, wo die Schnittpunkte der Teilfunktionen sind. Denn an den Schnittpunkten kann man zwischen den beiden Funktionen wechseln ohne abzusetzen. Wir bestimmen also zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen, indem wir diese gleich setzen.

  $\begin{align} &~& x^2 -9 &= 2x -1\\ &\Leftrightarrow& x^2 - 2x - 8 & = 0 \end{align}$

  Jetzt können wir die pq-Formel anwenden und erhalten letztlich $a_{1,2} = 1 \pm 3$. Daraus folgt $a_1 = 4$ und $a_2 = -2$

  Nun können wir $a$ entweder ersetzen durch $4$ oder durch $-2$ und erhalten eine stetige Funktion.

  Stetige Funktionen sind:

  $f(x) = \begin{cases} x^2 - 9, & x \le 4\\ 2x - 1 , & x > 4 \end{cases}$

  und

  $f(x) = \begin{cases} x^2 - 9, & x \le -2\\ 2x - 1 , & x > -2 \end{cases}$

• Bestimme den Parameter $b$, für den die Funktion stetig ist.

  Tipps

  Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

  Es muss also $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ gelten.

  Für welches $b$ besteht an der Stelle $x=2$ eine Nullstelle?

  Lösung

  Wir wollen den Parameter $b$ bestimmen, für den die Funktion $f_b(x)$ stetig ist.

  $f_b(x) = \begin{cases} x + 9, & x \ge 2\\ x^2 + bx + 3 & x < 2 \end{cases}$

  Dazu nehmen wir die allgemeine Stetigkeitsbedingung zu Hilfe:

  $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

  Der linksseitige Grenzwert von $f_b$ an der Stelle $x_0 = 2$ ist:

  $\lim_{x \to 2} f_b(x) = \lim_{x \to 2} x^2 + bx + 3 = 4 + 2b +3 = 2b + 7$

  Dann überlegen wir, was $f_b(x_0)$, also $f_b(2)$ ist, was durch die erste Funktion definiert ist.

  $f_b(2) = 2 + 9 = 11$

  Wenn die Stetigkeitsbedingung erfüllt werden soll, müssen die beiden Terme gleich sein, also $2b + 7 = 11$ gelten. Das ist offensichtlich nur durch $b=2$ gegeben.

  Für $b = 2$ ist die Funktion stetig.

• Gib die Stetigkeitsbedingung an.

  Tipps

  Voraussetzungen für die Stetigkeit sind die Existenz des Grenzwertes an der Stelle $x_0$ und die Möglichkeit der Berechnung des Funktionswertes $f(x_0)$.

  Lösung

  Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0 $ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmt.

  Dies kann auch ausgedrückt werden durch $lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

  Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.

• Bestimme jeweils den Parameter a, für welchen die Funktionen stetig sind.

  Tipps

  Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

  $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

  Führe am Ende immer die Probe durch. Die Stetigkeitsbedingung muss erfüllt sein.

  Lösung

  Die Funktionen sind stetig, wenn $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ gilt. De facto heißt dies, dass die jeweiligen Teilfunktionen gleichzusetzen sind. Dann muss nach dem jeweiligen Parameter umgeformt werden, für welchen die Gleichheit gegeben ist.

  Die Funktion $f(n)=\begin{cases} n - 1 & ,n < a \\ n^2 & ,n \ge a \end{cases}$ ist stetig für $a = 0$.

  Die Funktion $f(x)=\begin{cases} -x + 2 & ,x \le a \\ x & ,x > a \end{cases}$ ist stetig für $a = 1$.

  Die Betragsfunktion $f(x) = \mid x - 3 \mid = f(x)=\begin{cases} x - 3 & ,x > a \\ 0 & ,x = a \\ -(x - 3) & ,x < a \end{cases}$ ist stetig für $x = 3$.

  Die Funktion $f(x)=\begin{cases} -x^2 + \frac{5}{2}x + 1 & ,x < 2 \\ ax^2 -\frac{3}{2}x + 3 & ,x \ge 2 \end{cases}$ ist stetig für $a = \frac{1}{2}$.