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Stetigkeit von Funktionen

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Stetigkeit von Funktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Stetigkeit von Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stetigkeit von Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Gleichung in Worten wieder.

    Tipps

    Schaue dir den Term genau an und versuche ihn dir vorzulesen, ohne dabei auf den Lückentext zu sehen.

    Lösung

    $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f(x)} = f(x_0)$ ausgesprochen bedeutet:

    • Der Grenzwert von x gegen $x_0$ von $f(x)$ muss gleich $f(x_0)$ sein.
    • Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.
    • Ist eine Funktion an einer bestimmten Stelle nicht definiert, kann die Funktion dort nicht stetig sein.
  • Schildere die Beweisführung der Stetigkeit am Beispiel.

    Tipps

    Zunächst berechnet man den Grenzwert:

    • $\large\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$

    Ersetze in der Vorschrift $x_0$ mit der zu untersuchenden Stelle und $f(x)$ mit der gegebenen Funktion.

    • $\large\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$

    Berechne anschließend den Funktionswert $f(x)$ an der zu untersuchenden Stelle. Stimmen der Grenzwert und der Funktionswert überein, so ist die Funktion an dieser Stelle stetig.

    Lösung

    Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

    Hier ist nur nach der Stetigkeit an einem Punkt gefragt. Also musst du prüfen, ob der Grenzwert x gegen 2 der Normalparabel gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

    • $\lim\limits_{x \rightarrow 2}{f(x)} = f(2)$ ?
    Dazu berechnest du zunächst den Grenzwert der Funktion an der Stelle $x_0=2$:

    $\lim\limits_{x \rightarrow 2}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 2}{x^2} = 2^2 = 4$.

    Anschließend berechnest du den Funktionswert an der Stelle $x_0 = 2$, also:

    $f(x_0)=f(2)=2^2= 4$.

    Nun gilt also:

    $\lim\limits_{x \rightarrow 2}{f(x)} = f(2) = 4$.

    Da diese Bedingung erfüllt ist, ist die Normalparabel an der Stelle $x = 2 $ stetig.

  • Prüfe die Stetigkeit der Funktion $f(x) = 3x^2~$ an der Stelle $x_0 = 4$.

    Tipps

    Überprüfe die Stetigkeit an einer Stelle. Die Funktion ist stetig an einer Stelle $x_0$, wenn

    • $\large\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x_0)}$

    Lösung

    Ist $f(x) = 3x^2$ an der Stelle $x = 4$ stetig?

    $f(x) = 3x^2$ ist an der Stelle $x = 4$ stetig, wenn gilt:

    • $\lim\limits_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4)$.
    Wir überprüfen nun diese Bedingung.
    • $f(x) = 3x^2$
    • $f(4) = 3 \cdot 4^2 = 48$
    Die Funktion ist somit stetig, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow 4}{f(x)} = 48$.
    • $\lim\limits_{x \rightarrow 4}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 4}{3x^2} = 3 \cdot 4^2 = 48$
    Da für $x = 4$ gilt: $\lim\limits_{x \rightarrow 4}{f(x)} = f(4)$, ist die Funktion an der Stelle $x = 4 $ stetig.

  • Untersuche die Funktion $f(x)=\frac{x +3}{x - 3}$ an der Stelle $x = 1$ und $x = 2$.

    Tipps

    Voraussetzung für das Vorliegen von Stetigkeit ist die Existenz eines Grenzwertes an der Stelle $x_0$.

    Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

    Lösung

    Wir untersuchen die Funktion $f(x) = \frac{x +3}{x - 3}$ an der Stelle $x_0 = 1$.

    • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x +3}{x - 3} = -2 = f(1)$
    Wir untersuchen die Funktion $f(x) = \frac{x +3}{x - 3}$ an der Stelle $x_0 = 2$.
    • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x +3}{x - 3} = -5 = f(2)$
    Die Funktion ist an den Stellen $x = 1$ und $x = 2$ stetig.

    Du kannst die Stetigkeit überprüfen, indem du überprüfst,

    • ob der Funktionswert $f(x_0)$ existiert,
    • ob der Grenzwert an der Stelle $x_0$ existiert,
    • ob der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt.
    Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.

  • Bestimme die stetigen Funktionen.

    Tipps

    Stetigkeit bedeutet umgangssprachlich, dass man die Funktion ohne abzusetzen zeichnen kann.

    Lösung

    Die Normalparabel und die Betragsfunktion sind stetig. Die anderen Funktionen kannst du, wenn du sie in ein Diagramm einzeichnest, nicht durchzeichnen, d.h., sie sind nicht stetig.

    Stetigkeit bedeutet umgangssprachlich, dass eine Funktion in einer Bewegung ohne abzusetzen durchgezeichnet werden kann.

  • Prüfe die Aussagen zur Stetigkeit auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Ein Grund für Unstetigkeit ist, wenn die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ nicht definiert ist.

    Lösung

    Die Aussage "Der Limes wird auch Funktionswert genannt.", ist falsch.

    • Der Limes wird auch Grenzwert genannt.
    Alle anderen Aussagen sind korrekt. Präge dir diese gut ein.

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