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Stetigkeit von Funktionen 15:06 min

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Transkript Stetigkeit von Funktionen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute, wie man herausfindet, ob Funktionen stetig sind. Dazu wollen wir uns zuerst angucken, wie man an einem Graphen anschaulich erkennt, ob er stetig ist, dann werde ich dir die genaue Definition geben, wann Funktionen stetig sind und diese Bedingungen werden wir dann an Beispielen noch einmal nachrechnen. Eine Funktion ist erstmal eine eindeutige Zuordnung von Zahlenmengen und wir haben jetzt hier erstmal ein paar Graphen gegeben, von Funktionen. Und wir haben erstmal die Normalparabel, dann gibt es die Betragsfunktion, dann haben wir Funktionen, die so Sprünge machen, dann eine Funktion, die an einer Stelle nicht definiert ist, also eine Lücke hat, und dann gibt es hier eine Funktion, die hat eine senkrechte Asymptote. Wir wollen uns jetzt angucken, sind diese Funktionen stetig, und man sagt, man erkennt diese Stetigkeit anschaulich an einem Graphen, wenn man den Graphen durchgängig ohne Abzusetzen zeichnen kann. Das heißt, wir gucken uns das hier mal an bei der Funktion. Ich zeichne die Normalparabel und muss hier erstmal nicht absetzen. Das heißt, die Normalparabel ist stetig. Bei der Betragsfunktion gucken wir auch. Wir zeichnen sie nach und obwohl sie hier unten eckig ist, kann man sie trotzdem durchgängig zeichnen. Die ist also auch stetig. Hier unten das ist die Vorzeichen-Funktion. Die wird erst -1, an der Stelle 0 springt sie auf den Wert 0 und dann springt sie noch mal auf den Wert 1 und ist dann wieder konstant. Diese Kreise verdeutlichen jetzt, ob sie an der Stelle 0 definiert sind. Man sieht jetzt hier an dem Punkt (0|0) ist sie mit 0 definiert, da da der Kreis ausgemalt ist, und entsprechend an den anderen beiden Stellen ist dieser Kreis dann unausgemalt, das heißt, da ist sie nicht definiert. Also wir zeichnen jetzt diesen Graphen noch einmal nach, kommen dann bis zur Stelle 0, müssen dann springen, deswegen wechselt hier die Farbe von grün auf rot, dann springen wir nochmal auf 1 und können dann wieder durchgängig zeichnen. Das heißt, da ich hier diesen Graphen der Vorzeichen-Funktion nicht durchgängig zeichnen kann, ist sie nicht stetig, da ich da halt diese Sprünge habe. Bei der nächsten Funktion probieren wir wieder aus, ob wir durchgängig zeichnen können. Wir zeichnen und dann haben wir eine Lücke. Die Lücke ist jetzt wieder gekennzeichnet durch so einen unausgemalten Kreis, das heißt, da wechselt die Farbe, weil man nicht mehr durchgängig zeichnen kann. Und danach geht es wieder durchgängig. Das heißt, die Funktion ist nicht stetig, da wir hier diese Lücke haben. Bei der letzten Funktion, die hat eine senkrechte Asymptote bei 0. Wir versuchen wieder, die Funktion nachzuzeichnen. Das geht auch erst bei dem ersten Ast. Jetzt müssen wir aber, um zum zweiten Ast zu kommen, müssen wir wieder - also können wir nicht durchgängig zeichnen, deswegen wechselt wieder die Farbe - und dann können wir wieder durchzeichnen. Das heißt, auch die Funktion ist nicht stetig. Man kann jetzt an allen Bildern sehr schön sehen, welche stetig sind und welche nicht stetig. Weil immer, wenn wir die Farbe wechseln mussten, also nicht durchgängig zeichnen konnten, dann ist die Funktion nicht stetig, also diese drei sind nicht stetig und die ersten beiden sind stetig. Das bedeutet, Stetigkeit bedeutet anschaulich, dass wir die Funktionen durchzeichnen können. Und ich habe das jetzt in Anführungszeichen gesetzt, weil das noch keine richtige Definition ist, sondern nur so etwas Anschauliches. Ja, gleich gebe ich euch die konkrete Definition von Stetigkeit. Ich gebe dir jetzt die Definition, wann eine Funktion f stetig ist. Und eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0, wenn f(x0) und der Grenzwert f(x) mit x gegen x0 existieren und diese Werte übereinstimmen. So, das heißt, dieser Grenzwert mit x gegen x0 von f(x) muss gleich f(x0) sein. Das rechnen wir gleich an ein paar Beispielen nach. Man kann das jetzt noch erweitern für stetig im Intervall I. Eine Funktion f ist stetig im Intervall I, wenn f stetig an jeder Stelle x0 aus dem Intervall I ist. Das bedeutet jetzt im Prinzip, das ist die gleiche Definition von Stetigkeit, nur dass jetzt für alle Stellen aus dem Intervall gelten muss: Also kommt jetzt hier davor noch: Für alle x0 aus I. Und man sagt allgemein, eine Funktion f ist stetig, wenn sie für alle reellen Zahlen stetig ist, also quasi an jeder Stelle von der reellen Zahlenmenge. Ja in der nächsten Szene wollen wir dann diese Bedingung konkret für Beispiele nachrechnen. Wir wollen jetzt an ein paar Beispielen die Stetigkeitsbedingungen nachrechnen und wir fangen gleich an mit dem ersten Beispiel. Und das ist f(x) = x2, also die Normalparabel. Die sehen wir hier schon. Und man muss sich immer so eine Stelle x0 aussuchen, für die man diese Bedingung überprüft. Und wir nehmen jetzt einfach mal x0 = 2. Und dafür rechnen wir das mal nach. Also wir brauchen den Grenzwert von x gegen zwei von f(x). Ja, dann setzen wir einfach mal die Funktion ein. Das ist x2. Und wenn wir jetzt den Grenzwert bilden, ist das einfach 22, also 4. Dann müssen wir überlegen, was ist f(x0), also f(2). Und das ist auch wieder 22, also ergibt auch wieder 4. Und das bedeutet jetzt, die Stetigkeit-Bedingung ist erfüllt, also die Normalparabel ist an der Stelle 2 stetig. Jetzt wollen wir aber wissen, ist die Funktion für alle reellen Zahlen also an allen Stellen x0 stetig, das heißt, wir rechnen jetzt noch mal genau das gleiche, aber für eine allgemeine Stelle x0. Wir setzen wieder ein für f(x). Das ist wieder x2. Jetzt setzen wir diese Stelle allgemein ein, also ist es x02. Und jetzt müssen wir überlegen, was ist der Funktionswert an der Stelle x0 und der ist auch wieder x02, also, das stimmt jetzt überein und deswegen ist die Normalparabel insgesamt stetig für alle Stellen x0. Ein nächstes Beispiel ist die Vorzeichen-Funktion oder die Signum-Funktion. Signum kommt aus dem Lateinischen für ‚Zeichen‘ und das ist deswegen die Vorzeichen-Funktion. Die wird 1, wenn x > 0. Sie wird 0, wenn x = 0, und sie wird -1, wenn x < 0. Wir gucken uns das nochmal im Bild an. Also sie ist erst -1, dann springt sie von -1 auf 0 und springt dann nochmal von 0 auf 1. Und da hatten wir vorhin ja schon festgestellt, dass man an der Stelle x0 = 0 den Graphen nicht durchzeichnen kann und deswegen ist diese Funktion wahrscheinlich auch an dieser Stelle nicht stetig. Und das wollen wir jetzt nachrechnen. Also an der Stelle x0 = 0. Wir berechnen wieder den Grenzwert x geht gegen 0. Und da sich jetzt die Funktionswerte hier unterscheiden, muss man sich überlegen, von welcher Seite man kommt. Und wir berechnen jetzt erstmal den Grenzwert von rechts, also x geht gegen 0 und zusätzlich gilt x > 0 von g(x), wenn x > 0 ist, dann wird die Funktion 1, also der Grenzwert ist wieder x gegen 0, x > 0, es bleibt also bei 1. Und da müssen wir noch überlegen, was ist f(0). Und f(0) = 0. Das heißt, hier unterscheiden sich Grenzwert und Funktionswert einer Stelle. Das bedeutet, die Funktion ist an einer Stelle 0 nicht stetig. Als letztes Beispiel nehmen wir die Funktion h(x) = 1/x. Da sehen wir wieder den Funktionsgraphen, wir haben hier unten einen Ast und da oben einen Ast, um zu dem oberen Ast zu kommen, müssen wir wieder absetzen beim Zeichnen, deswegen vermuten wir jetzt wieder, dass an der Stelle x0 = 0, dass da die Funktion nicht stetig ist. So und bevor ich jetzt anfange, diesen Grenzwert auszurechnen, muss man erstmal überlegen, was ich jetzt hier gar nicht gemacht habe unbedingt, ob f(x)0 und dieser Grenzwert überhaupt existieren und da wird man feststellen, dass für h(0), können wir ja einfach mal einsetzen, was da passiert? Die Division durch 0 ist nicht definiert, das bedeutet, dieser Wert existiert nicht. So eine Voraussetzung ist also schon nicht erfüllt, das bedeutet automatisch schon, dass eine Funktion an der Stelle x = 0 nicht stetig ist. Zum Schluss wollen wir jetzt noch mal rauskriegen, ob dieser obere Ast denn stetig ist, jetzt ohne die 0. Also wir berechnen den Grenzwert von h(x), x geht gegen x0 und x0 > 0. Und da wir ja hier die 0 ausschließen, passiert hier gar nichts groß, man setzt einfach ein h h(x) = 1/x. Und wir haben jetzt raus 1/x0, dann überlegen wir wieder, was ist f(x0). Das ist ja genau 1/x0, einfach eingesetzt, das bedeutet, dieser obere Ast ist stetig, Das gleiche kann man auch machen für den unteren Ast. Das bedeutet, die Funktion 1/x ist stetig, außer an der Stelle 0. Zum Schluss möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben am Anfang gesehen, wie man graphisch und anschaulich sehen kann, wann eine Funktion stetig ist, und zwar bedeutet Stetigkeit, dass ich den Graphen ohne abzusetzen, durchzeichnen kann. Dann habe ich dir die genaue Definition gegeben von Stetigkeit und zum Schluss haben wir diese Bedingung an drei Bespielen nachgerechnet. Ich hoffe, du hast alles verstanden, und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.

3 Kommentare
  1. Super erklaert!Anschaulich ausfuehrlich optimal gemacht!Danke : )

    Von Leviera, vor fast 5 Jahren
  2. Sehr gut erklärt! :)

    Von Jakob C., vor fast 5 Jahren
  3. Brilliant, liebe Anne, ich danke dir! Ich darf dieses Thema derzeit selber sehr viel coachen und bin sehr begeistert, wie sympathisch, anschaulich und klar du alles Wissenswerte rund um die Stetigkeit zum Besten gibst. Nochmals danke!!!

    Von Green Spirit, vor fast 5 Jahren

Stetigkeit von Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stetigkeit von Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Gleichung in Worten wieder.

    Tipps

    Schaue dir den Term genau an und versuche ihn dir vorzulesen, ohne dabei auf den Lückentext zu sehen.

    Lösung

    $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f(x)} = f(x_0)$ ausgesprochen bedeutet:

    • Der Grenzwert von x gegen $x_0$ von $f(x)$ muss gleich $f(x_0)$ sein.
    • Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.
    • Ist eine Funktion an einer bestimmten Stelle nicht definiert, kann die Funktion dort nicht stetig sein.
  • Bestimme die stetigen Funktionen.

    Tipps

    Stetigkeit bedeutet umgangssprachlich, dass man die Funktion ohne abzusetzen zeichnen kann.

    Lösung

    Die Normalparabel und die Betragsfunktion sind stetig. Die anderen Funktionen kannst du, wenn du sie in ein Diagramm einzeichnest, nicht durchzeichnen, d.h., sie sind nicht stetig.

    Stetigkeit bedeutet umgangssprachlich, dass eine Funktion in einer Bewegung ohne abzusetzen durchgezeichnet werden kann.

  • Schildere die Beweisführung der Stetigkeit am Beispiel.

    Tipps

    Zunächst berechnet man den Grenzwert:

    • $\large\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$

    Ersetze in der Vorschrift $x_0$ mit der zu untersuchenden Stelle und $f(x)$ mit der gegebenen Funktion.

    • $\large\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$

    Berechne anschließend den Funktionswert $f(x)$ an der zu untersuchenden Stelle. Stimmen der Grenzwert und der Funktionswert überein, so ist die Funktion an dieser Stelle stetig.

    Lösung

    Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

    Hier ist nur nach der Stetigkeit an einem Punkt gefragt. Also musst du prüfen, ob der Grenzwert x gegen 2 der Normalparabel gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

    • $\lim\limits_{x \rightarrow 2}{f(x)} = f(2)$ ?
    Dazu berechnest du zunächst den Grenzwert der Funktion an der Stelle $x_0=2$:

    $\lim\limits_{x \rightarrow 2}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 2}{x^2} = 2^2 = 4$.

    Anschließend berechnest du den Funktionswert an der Stelle $x_0 = 2$, also:

    $f(x_0)=f(2)=2^2= 4$.

    Nun gilt also:

    $\lim\limits_{x \rightarrow 2}{f(x)} = f(2) = 4$.

    Da diese Bedingung erfüllt ist, ist die Normalparabel an der Stelle $x = 2 $ stetig.

  • Prüfe die Aussagen zur Stetigkeit auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Ein Grund für Unstetigkeit ist, wenn die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ nicht definiert ist.

    Lösung

    Die Aussage "Der Limes wird auch Funktionswert genannt.", ist falsch.

    • Der Limes wird auch Grenzwert genannt.
    Alle anderen Aussagen sind korrekt. Präge dir diese gut ein.

  • Prüfe die Stetigkeit der Funktion $f(x) = 3x^2~$ an der Stelle $x_0 = 4$.

    Tipps

    Überprüfe die Stetigkeit an einer Stelle. Die Funktion ist stetig an einer Stelle $x_0$, wenn

    • $\large\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x_0)}$

    Lösung

    Ist $f(x) = 3x^2$ an der Stelle $x = 4$ stetig?

    $f(x) = 3x^2$ ist an der Stelle $x = 4$ stetig, wenn gilt:

    • $\lim\limits_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4)$.
    Wir überprüfen nun diese Bedingung.
    • $f(x) = 3x^2$
    • $f(4) = 3 \cdot 4^2 = 48$
    Die Funktion ist somit stetig, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow 4}{f(x)} = 48$.
    • $\lim\limits_{x \rightarrow 4}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 4}{3x^2} = 3 \cdot 4^2 = 48$
    Da für $x = 4$ gilt: $\lim\limits_{x \rightarrow 4}{f(x)} = f(4)$, ist die Funktion an der Stelle $x = 4 $ stetig.

  • Untersuche die Funktion $f(x)=\frac{x +3}{x - 3}$ an der Stelle $x = 1$ und $x = 2$.

    Tipps

    Voraussetzung für das Vorliegen von Stetigkeit ist die Existenz eines Grenzwertes an der Stelle $x_0$.

    Eine Funktion ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

    Lösung

    Wir untersuchen die Funktion $f(x) = \frac{x +3}{x - 3}$ an der Stelle $x_0 = 1$.

    • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x +3}{x - 3} = -2 = f(1)$
    Wir untersuchen die Funktion $f(x) = \frac{x +3}{x - 3}$ an der Stelle $x_0 = 2$.
    • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x +3}{x - 3} = -5 = f(2)$
    Die Funktion ist an den Stellen $x = 1$ und $x = 2$ stetig.

    Du kannst die Stetigkeit überprüfen, indem du überprüfst,

    • ob der Funktionswert $f(x_0)$ existiert,
    • ob der Grenzwert an der Stelle $x_0$ existiert,
    • ob der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt.
    Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.