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Skalarprodukt – Beispiele

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Ø 4.2 / 9 Bewertungen

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Martin Wabnik
Skalarprodukt – Beispiele
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Skalarprodukt – Beispiele

Herzlich Willkommen zu einem neuen Video zur Vektorrechnung. Ich möchte dir hier vorstellen, was ein Skalarprodukt von Vektoren ist, wie man es erhält und wozu es benötigt wird. Hier schon einmal als Vorgeschmack: Das Skalarprodukt erhältst du, indem du Vektoren auf eine bestimmte Art multiplizierst. Das Ergebnis einer solchen Multiplikation ist eine Zahl - kein Vektor. Das Skalarprodukt ist nützlich, um Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen zu bestimmen. Mehr erfährst du im Video!

Transkript Skalarprodukt – Beispiele

Hallo, wir haben Skalarprodukt zweier Vektoren. Das sieht so aus. Ich zeige hier die Version, die in der Schule üblich ist. Wir haben als zwei dreidimensionale Vektoren und multiplizieren die miteinander. Ich schreibe hier einen Stern und manche schreiben einen Kringel oder schreiben auch einfach einen Malpunkt. Alles ist gebräuchlich. Und das geht so: Diese beiden Vektoren also multiplizieren, indem man die ersten beiden Koordinaten multipliziert, die zweiten beiden und die dritten beiden auch und dann alle Ergebnisse addiert. Und das heißt dann Skalarprodukt. Da muss ich 2 Sachen erwähnen. Manche Leute sagen jetzt hier erst einmal, was soll das, man addiert irgendetwas, was soll das für ein Produkt sein? Wenn man Zahlen multipliziert, dann addiert man ja auch nichts. Gut, bei Zusammenfassungen, aber das ist auf jeden Fall anders als bei Zahlen. Ja, richtig, es ist ganz anders als bei Zahlen, ist aber trotzdem das Skalarprodukt. Hat man so definiert. Man definiert halt, wie die Verknüpfung zweier Vektoren ist, wie die Multiplikation ist und da gibt es wieder Leute, die sagen, das ist doch komisch, also das ergibt sich doch irgendwie, wie was multipliziert wird. Das ist doch bei den Zahlen auch nicht so, dass man sich das aussuchen kann und einfach was ganz anderes macht und sagt, so das ist jetzt eine neue Multiplikation. Nun, das ginge bei Zahlen auch, bei Vektoren insbesondere, und es sind sogar mehrere Produkte für Vektoren definiert, die sich voneinander unterscheiden. Bei Vektoren ist es nicht von vornherein klar, was es bedeutet, 2 Vektoren zu multiplizieren. Es gibt das Skalarprodukt, das habe ich hier aufgeschrieben. Es gibt das Kreuzprodukt, es gibt das Spatprodukt und noch andere Möglichkeiten. Also, das ist wirklich eine Festlegung, das ist eine Definition und ergibt sich nicht naturgemäß. Wenn Du möchtest, kannst Du auch eine neue Definition finden, wie Vektoren multipliziert werden, vielleicht ist was Interessantes dabei, warum nicht?   Ich zeige kurz ein Beispiel, wie man das mit zwei konkreten Vektoren macht. Man nimmt: 7×0+2×(-3)+1×9=3. Die Zahl, die hier rauskommt, ist das Ergebnis dieses Skalarproduktes. Da fehlt noch ein kleines Gleichheitszeichen. Jetzt ist es schön. Auch das ist wieder ein bisschen gewöhnungsbedürftig, vielleicht. Man darf da ruhig nachfragen, und seine Zweifel haben. Also, wir haben zwei Vektoren und die multiplizieren wir und eine Zahl kommt heraus. Ja, das ist so, deshalb heißt das Skalarprodukt, weil ein Skalar, also eine Zahl herauskommt. Es gibt übrigens auch das Skalare Produkt, da wird eine Zahl mit einem Vektor multipliziert. Das Skalare Produkt ist was anderes als das Skalarprodukt. Die Wörter sind ähnlich, ich weiß, ich kann nichts dafür. Das ist das Skalarprodukt, weil ein Skalar rauskommt. Das Skalare Produkt heißt deshalb so, weil ein Vektor mit einem Skalar multipliziert wird, also mit einer Zahl.    Das Komische ist hier, man multipliziert zwei Vektoren und nicht ein Vektor kommt heraus, sondern eine Zahl. Sehr merkwürdig. Ist aber in dem Fall so. Es gibt auch das Kreuzprodukt, da multipliziert man zwei Vektoren und ein Vektor kommt heraus, das geht auch, kein Problem, aber hier kommt eben eine Zahl raus. Da könnte man denken, wenn ich sonst zwei Zahlen multipliziert habe, wenn ich 2×3 rechne, da kommt nachher auch nicht Eier raus, oder so. Da kommt dann wieder eine Zahl raus. Ist jetzt bei Vektoren tatsächlich anders, wie gesagt, vielleicht etwas gewöhnungsbedürftig.   Jetzt kommt noch eine Sache. Ich habe hier mal zwei freundliche Vektoren vorbereitet. Wenn man hier also das Skalarprodukt bildet, dann haben wir (-3)×2+5×3+6×(-1,5) und das ist 0. Also, diese beiden Vektoren sind ja nicht gleich 0. Da kommt auch keine 0 drin vor, bei den Zahlen ist das so, wenn man 0×1000 rechnet, zum Beispiel, dann kommt da 0 raus. Wir können auch 0×0 rechnen, dann kommt da 0 raus, aber wenn wir eine Zahl ungleich 0 haben und mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren, dann kommt da niemals 0 raus. Hier ist es anders, wir haben 2 Vektoren, die ungleich 0 sind und trotzdem kommt 0 raus. Übrigens, das wird uns noch weiter beschäftigen: Diese beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander, das bedeutet so, oder so. Wir wissen, immer wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren senkrecht. Wenn sie senkrecht stehen, ist das Skalarprodukt 0. Ist eine freundliche Eigenschaft dieses Skalarproduktes, wird in vielen Anwendungen verwendet.   Hier soll erst einmal damit Schluss sein. Viel Spaß damit, tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Guten Tag lieber Martin Wabnik,
    zunächst vielen, vielen Danke für deine tollen Videos. Sie sind immer sehr hilfreich und vor allem anschaulich. Nun hätte ich aber eine Frage zu den Punkt, den Sie am Ende des Videos angesprochen haben. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen. Doch mal angenommen man müsste einen Vektor finden, der senkrecht zu zwei Vektoren ist, dann hätte man ein unterbestimmtes Gleichungssystem zu lösen. Das ergibt für mich keinen Sinn. Warum ist eine Variable frei wählbar oder warum hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen?
    Danke im Voraus.

    Von Zarif, vor mehr als 8 Jahren
  2. Vielen Dank, hatt geholfen.

    Von Michael Arens, vor etwa 10 Jahren

Skalarprodukt – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Skalarprodukt – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man das Skalarprodukt zweier Vektoren $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ berechnet.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für ein Skalarprodukt.

    Wenn du bei dem obigen Beispiel weiter rechnest, erhältst du $3+6+2=11$.

    Lösung

    Hier ist die komplette Formel zur Berechnung eines Skalarproduktes zu sehen:

    • Es werden also die einander entsprechenden Koordinaten der beiden Vektoren multipliziert
    • und dann diese Produkte addiert.
    Das Ergebnis, welches man so erhält, ist eine Zahl.

  • Berechne die Skalarprodukte.

    Tipps

    Um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen, multipliziert man die Vektoren koordinatenweise und addiert die so erhaltenen Produkte.

    Hier siehst du ein Beispiel für ein Skalarprodukt.

    Lösung

    Es sollen zwei Skalarprodukte berechnet werden. Dies tut man, indem man die einander entsprechenden Koordinaten der Vektoren multipliziert und die so erhaltenen Produkte addiert. Das Ergebnis ist eine Zahl, ein Skalar. Daher kommt auch der Name des Produktes.

    Es werden also zunächst die einander entsprechenden Koordinaten der Vektoren multipliziert:

    $\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} = 7\cdot 0+2\cdot (-3)+1\cdot 9$

    Nun können die Produkte addiert werden, und man erhält $0-6+9=3$. Dies ist das gesuchte Ergebnis.

    Ebenso kann man die beiden anderen Vektoren im Sinne des Skalarproduktes multiplizieren:

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1,5 \end{pmatrix}=-3\cdot 2+5\cdot 3+6\cdot (-1,5)$

    Auch hier werden die Produkte wieder zu dem gesuchten Skalarprodukt addiert: $-6+15-9=0$.

    Es kann also durchaus auch $0$ als Ergebnis herauskommen. Dies wird im Laufe der Geometrie noch ein wichtiges Ergebnis sein: Warum? Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$ ist, schließen die Vektoren einen rechten Winkel ein.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu der Gleichung $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

    Tipps

    Der Gegenvektor eines Vektors, ist der Vektor, welchen man erhält, wenn man in jeder Koordinate das Vorzeichen vertauscht.

    Der Nullvektor ist der Vektor, welcher nur Nullen enthält:

    $\vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

    Bilde das Skalarprodukt

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

    Beachte: Die Multiplikation zweier Zahlen ist kommutativ, das heißt

    $c\cdot d=d\cdot c$.

    Lösung

    Es sind ja bereits einige Eigenschaften des Skalarproduktes besprochen worden:

    • Das Skalarprodukt ist eine Zahl.
    • Ein Skalarprodukt kann durchaus auch $0$ werden. Das bedeutet, dass die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen.
    Ist das Skalarprodukt kommutativ?

    $\begin{array}{rclll} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}&=&~a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3&|&\text{Kommutativgesetz}\\ &=&~b_1\cdot a_1+b_2\cdot a_2+b_3\cdot a_3\\ &=&~\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{array}$

    Das Skalarprodukt ist kommutativ.

    Was passiert, wenn man einen der beiden Vektoren durch seinen Gegenvektor ersetzt?

    $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -b_1 \\ -b_2 \\ -b_3 \end{pmatrix}&=&a_1\cdot (-b_1)+a_2\cdot (-b_2)+a_3\cdot (-b_3)\\ &=&~-(a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3)\\ &=&~-\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{array}$

    Das Vorzeichen der Skalarprodukte ändert sich.

    Wenn man ein Skalarprodukt berechnet, bei welchem einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, erhält man immer als Ergebnis die $0$:

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=a_1\cdot 0+a_2\cdot 0+a_3\cdot 0=0$

  • Berechne die Skalarprodukte.

    Tipps

    Hier siehst du allgemein, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

    Beachte: Es können auch durchaus negative Ergebnisse oder die $0$ als Ergebnis herauskommen.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Lösung

    Man berechnet das Skalarprodukt zweier Vektoren, indem man

    1. die einander entsprechenden Koordinaten der Vektoren multipliziert und
    2. die so erhaltenen Produkte addiert.
    • $\begin{pmatrix} 3 \\4 \\-1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}=3\cdot 2+4\cdot 2+(-1)\cdot (-3)=6+8+3=17 $. Dies ist das gesuchte Skalarprodukt.
    • $\begin{pmatrix} -1 \\2 \\-4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} =(-1)\cdot 3+2\cdot 5+(-4)\cdot 2=-3+10-8=-1$.
    • $\begin{pmatrix} 12 \\1 \\-1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 9 \end{pmatrix} =12\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 9=12+1-9=4 $
    • $\begin{pmatrix} 0 \\4 \\3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\2 \end{pmatrix} =0\cdot 3+4\cdot 0+3\cdot 2=0+0+6$.

  • Fasse die Eigenschaften des Skalarproduktes zusammen.

    Tipps

    Hier ist zu sehen, wie man das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet: Man multipliziert die Vektoren koordinatenweise und addiert die so erhaltenen Produkte.

    Wenn du die einander entsprechenden Koordinaten zweier Vektoren miteinander multiplizierst, ist jedes Produkt eine Zahl.

    Berechne das Skalarprodukt

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1,5 \end{pmatrix}=-3\cdot 2+5\cdot 3+6\cdot (-1,5)=...$

    Der Nullvektor ist der Vektor, welcher nur Nullen enthält:

    $\vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

    Lösung

    Wenn man sich diese Formel für das Skalarprodukt anschaut, erkennt man, dass die einander entsprechenden Koordinaten der beiden Vektoren multipliziert werden. Das jeweilige Produkt ist eine Zahl. Dann werden diese Produkte addiert. In der Folge ist auch die Summe eine Zahl. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist also eine Zahl.

    Das Skalarprodukt sollte nicht mit dem skalaren Produkt verwechselt werden. Hierbei wird nämlich ein Vektor mit einem Skalar multipliziert. Das Ergebnis ist dann ein Vektor.

    Es können als Ergebnis für das Skalarprodukt alle möglichen Zahlen herauskommen, insbesondere auch die $0$, wie man an dem folgenden Beispiel erkennen kann:

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1,5 \end{pmatrix}=-3\cdot 2+5\cdot 3+6\cdot (-1,5)=-6+15-9=0$.

    Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$ ergibt, bedeutet dies, dass die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen.

  • Entscheide, wie der Parameter in $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ a \end{pmatrix}$ gewählt werden muss, damit ein vorgegebenes Ergebnis herauskommt.

    Tipps

    Berechne zunächst das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Dieses Skalarprodukt hängt von dem Parameter $a$ ab.

    Wenn du dann dieses Ergebnis mit dem angegebenen gleichsetzt, erhältst du eine Gleichung. Löse diese nach $a$ auf.

    Es gilt $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ a \end{pmatrix}=-3\cdot2+2\cdot 3+4\cdot a=...$

    Jede der Gleichungen ist eindeutig lösbar.

    Lösung

    Zunächst kann man dieses Skalarprodukt allgemein ausrechnen. Wie man das macht, ist hier auf der rechten Seite zu erkennen.

    Man erhält somit ein Ergebnis, welches von $a$ abhängt.

    1. Wenn das Skalarprodukt $0$ sein soll, muss man die Gleichung $4a=0$ lösen, welche - wie wir nach Division durch $4$ sehen - äquivalent ist zu $a=0$.
    2. Das Skalarprodukt soll $16$ ergeben. Man erhält die Gleichung $4a=16$. Division durch $4$ führt zu $a=4$.
    3. Um das Skalarprodukt $-20$ zu erhalten, muss man die Gleichung $4a=-20$ lösen. Auch hier wird durch $4$ dividiert und man erhält $a=-5$.

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