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Scharen von Exponentialfunktionen – Symmetrie 05:23 min

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Transkript Scharen von Exponentialfunktionen – Symmetrie

Also, das hier ist eine Funktionenschar. Für 2 Parameter a und c, immer nur für a und c was einsetzt, kriegt man eine Funktion. Das ist der Sinn von Funktionenscharen. Von Funktionenscharen mit 2 Parametern. Und das hier sind Kettenlinien, also Funktionen dieser Art sind Kettenlinien. Du hast die Kette dabei, könntest du mal zeigen, wie die Kette verläuft. Und zwar verlaufen die immer in so einer Art Bogenform, sie können auch leicht mehr gestreckt sein oder auch mehr gestaucht. Genau und das hat denn Sinn hier je nachdem was man für a oder c einsetzt - ist sie mehr gestaucht - aber deine Hände müssten in der gleichen Höhe sein beide, dann kriegen wir die richtig gute Kettenlinie, die durch diese Funktion hier dargestellt wird. Gut, dass du das gemacht hast, dann kann man sehen. Wenn das hier noch stillhält, dann haben wir eine Kettenlinie, wenn diese beiden Aufhängerpunkte da die gleiche Höhe haben. - Entweder gestaucht oder gestreckt. - Sagt man dabei nicht so, glaube ich. Gestaucht oder gestreckt sagt man bei Parabeln und das ist ja nun keine Parabel wie man hier sieht, - sondern eine Kettenfunktion. Genau. Und viele Aufgaben in diesem Zusammenhang haben ja mit Brücken zu tun. Hängebrücken, also die Tragseile hängen da so, wie die Kette hängt, da es Ketten sind. Oder auch Stahlseile, die hängen aber genau so. Oder fast so genau. Und um jetzt mal zu gucken, was haben diese Funktionen mit diesen Brücken zu tun, sind die dafür überhaupt geeignet diese Funktionen, um die Tragseile von Brücken darzustellen. Kann man sich z.B. überlegen, sind denn diese Funktionen hier symmetrisch. Machst du? Es gibt 2 Arten von Symmetrie - also zumindest die, die in der Schule gemacht werden - da gibt es nur 2 in der Schule. Kannst du nicht schreiben? Also wir haben ja 1mal, soll ich das mal kurz aufschreiben zur Verdeutlichung? - Ja mach mal. - Dass man einmal den Punkt hier, in dem Fall die Achsensymmetrie oder eben die Punktsymmetrie, die immer so aussieht. Also f(x)=f(-x) ist die Achsensymmetrie, f(x)=-f(-x) ist die Punktsymmetrie. Was könnte denn jetzt für Brücken gelten, sind die Achsen punktsymmetrisch? - Vom Aussehen her würde eigentlich immer nur das hier zutreffen. - Genau, dann machen wir den Nachweis. - Ich schreib die eine Seite und du die andere. Das ist die eine Seite, also die eine Seite bleibt ja, wie sie ist. Das ist f(x) das schreibe ich jetzt noch hier hin. - Und das andere setzt man einfach nur -x ein, nämlich immer da, wo x steht. - Genau. - Ja c×(-x) da muss das x in Klammer. - Und hier ist ein -c×(-x). Genau. - Möchtest du die Seite hier schreiben? - Diese bleibt, wie sie ist. -  Du wolltest bestimmt das - jetzt davor schreiben. - Ja und danach einfach ausklammer -  -cx - ja, da wird das + wegen +. Aus -×- wird +. Und jetzt? Und jetzt sehen wir, dass es sich um eine Punktsymmetrie handelt - eine Achsensymmetrie - weil, es gilt das Kommunikativgesetz der Addition, hier kann man vertauschen und dann kriegt man das und dann sind wir fertig. Dann ist das symmetrisch. Alle Funktionen dieser Funktionenschar sind symmetrisch zur y-Achse. Das war´s.

Scharen von Exponentialfunktionen – Symmetrie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scharen von Exponentialfunktionen – Symmetrie kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche der Funktionsscharen eine Kettenlinie darstellen.

    Tipps

    Beachte die Symmetrie der Kettenlinie.

    Die Kettenlinie hat keine Nullstelle.

    Der tiefste Punkt der Kettenlinie liegt auf der y-Achse. Der Funktionswert (hier $1$) kann natürlich variieren.

    Lösung

    Hier ist beispielhaft eine Kettenlinie zu sehen. Diese entsteht, wenn man eine Kette, eine Schnur oder etwas anderes an zwei Punkten festhält, welche sich auf gleicher Höhe befinden.

    Ganz allgemein als Funktionsschar kann man die zugehörige Funktion wie folgt beschreiben:

    $f_{a,~c}(x)=\frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$.

  • Beschreibe, wie Symmetrie nachgewiesen wird.

    Tipps

    Beachte, dass bei einer Funktion zu jedem $x$ höchstens ein $y$ existieren kann.

    Zeichne dir eine Kurve, welche achsensymmetrisch zur x-Achse ist und mache den Test mit einer Linie, welche parallel zur y-Achse verläuft. Diese darf die Kurve nicht mehr als einmal schneiden.

    Ansonsten liegt keine Funktion vor.

    $f(x)=x^2$ ist ein Beispiel für eine achsensymmetrische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel.

    Wie verläuft diese?

    $f(x)=x^3$ ist eine punktsymmetrische Funktion.

    Lösung

    Man unterscheidet standardmäßig zwei verschiedene Arten von Symmetrien:

    • Achsensymmetrie zur y-Achse und
    • Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
    Übrigens: Eine Funktion kann nicht achsensymmetrisch zur x-Achse sein. Dies widerspricht der Definition einer Funktion, nach welcher zu jedem $x$ höchstens ein $y$ gehört.

    • Für die Achsensymmetrie zur y-Achse muss $f(-x)=f(x)$ gelten.
    • Für die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung muss $f(x)=-f(-x)$ gelten.
  • Überprüfe, ob bei der Funktionenschar $f_{a,~c}(x)=\frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$ Symmetrie vorliegt.

    Tipps

    Beachte die beiden Symmetrien:

    • Achsensymmetrie zur y-Achse $f(x)=f(-x)$ sowie
    • Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung $f(x)=-f(-x)$.

    Hier siehst du eine Kettenlinie. Welche Symmetrie kann da nur vorliegen.

    Beachte, dass $-c(-x)=cx$ ist.

    Zusätzlich kannst du das Kommutativgesetz der Addition

    $a+b=b+a$

    verwenden.

    Lösung

    Wenn man die Symmetrie einer Funktion nachweisen möchte, kann man statt mit

    $f_{a,~c}(x)=\frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$

    mit $f_{a,~c}(-x)$ beginnen. Das bedeutet, man ersetzt in der obigen Funktion jeweils $x$ durch $-x$:

    $f_{a,~c}(-x)=\frac{a}{2c}\left(e^{c(-x)}+e^{-c(-x)}\right)$.

    Nun kann der rechte Term noch vereinfacht werden zu

    $f_{a,~c}(-x)=\frac{a}{2c}\left(e^{-cx}+e^{cx}\right)$.

    Unter Verwendung des Kommutativitätsgesetzes der Addition gelangt man zu

    $f_{a,~c}(-x)=\frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$.

    Dies ist gerade die Ausgangsfunktion. Es gilt also

    $f_{a,~c}(x)=f_{a,~c}(-x)$.

    Die Achsensymmetrie ist damit nachgewiesen.

    Dies ist auch anschaulich klar, wenn man sich eine Kettenlinie anschaut.

  • Entscheide, welche der Funktionsscharen symmetrisch ist.

    Tipps

    Beachte: $e^x$ ist nicht symmetrisch.

    Wenn eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert wird, erhält man eine positive Zahl.

    Der Betrag ist wie folgt definiert

    $|x|= \begin{cases} &x &\text{wenn }x\ge 0 \\ &-x& \text{wenn }x<0 \end{cases}$

    Eine Funktion kann

    • achsensymmetrisch: $f(x)=f(x)$
    • punktsymmetrisch: $f(x)=-f(-x)$
    • oder nicht symmetrisch sein.

    Lösung

    Bei jeder der angegebenen Funktionsscharen kann man $f_a(-x)$ betrachten:

    1. $f_a(x)=e^{ax^2}$ führt zu $f_a(-x)=e^{a(-x)^2}=e^{ax^2}=f_a(x)$. Diese Funktion ist achsensymmetrisch.
    2. $f_a(x)=xe^{ax^2}$ führt zu $f_a(-x)=(-x)e^{a(-x)^2}=-xe^{ax^2}=-f_a(x)$. Diese Funktion ist punktsymmetrisch.
    3. $f_a(x)=e^{ax}$ führt zu $f_a(-x)=e^{a(-x)}=e^{-ax}$. Da $e^x$ nicht symmetrisch ist, ist auch diese Funktion nicht smmetrisch.
    4. $f_a(x)=xe^{ax}+xe^{-ax}$ führt zu $f_a(-x)=(-x)e^{a(-x)}+(-x)e^{-a(-x)}=-(xe^{-ax}+xe^{ax})=-f_a(x)$. Diese Funktion ist punktsymmetrisch.
    5. $f_a(x)=xe^{ax}+e^{-ax}$ führt zu $f_a(-x)=(-x)e^{a(-x)}+e^{-a(-x)}=-xe^{-ax}+e^{ax}$. Diese Funktion ist nicht symmetrisch.
    6. $f_a(x)=e^{a|x|}$ führt zu $f_a(-x)=e^{a|-x|}=e^{a|x|}=f_a(x)$. Diese Funktion ist achsensymmetrisch.

  • Untersuche die Funktion $f_{a,~c}(x)=\frac{ax}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$ auf Symmetrie.

    Tipps

    Eine Funktion kann

    • achsensymmetrisch $f(x)=f(x)$
    • punktsymmetrisch $f(x)=-f(-x)$ sein oder
    • weder noch.

    Diese Funktion ist symmetrisch.

    Beachte, dass die Funktion

    $f_{a,~c}(x)=\frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$

    achsensymmetrisch ist.

    Lösung

    Wenn man die Symmetrie dieser Funktion nachweisen möchte, müssen wir untersuchen, was man erhält, wenn man in der Funktion

    $f_{a,~c}(x)=\frac{ax}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$

    statt $x$ das negative $-x$ einsetzt:

    $f_{a,~c}(-x)=\frac{a(-x)}{2c}\left(e^{c(-x)}+e^{-c(-x)}\right)$.

    Der rechte Term wird vereinfacht zu

    $f_{a,~c}(-x)=-\frac{ax}{2c}\left(e^{-cx}+e^{cx}\right)$.

    Bei der Addition darf die Reihenfolge vertauscht werden:

    $f_{a,~c}(-x)=-\frac{ax}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)$.

    Hier kann man erkennen, dass dies gerade das Negative der Ausgangsfunktion ist. Somit gilt

    $-f_{a,~c}(x)=f_{a,~c}(-x)$

    oder dazu äquivalent

    $f_{a,~c}(x)=-f_{a,~c}(-x)$.

    Diese Funktion ist punktsymmetrisch.

  • Bestimme, wie der Parameter gewählt werden muss, damit für die Funktionsschar $f_{a,~b,~c}(x)=(ax^2+bx+c)e^{x^2}$ die entsprechende Symmetrie vorliegt.

    Tipps

    Es gibt die folgenden Symmetrien

    $f(x)=\begin{cases} &f(-x) &\text{Achsensymmetrie} \\ & -f(-x)&\text{Punktsymmetrie } \end{cases}$

    Ansonsten liegt keine der beiden Symmetrien vor.

    Für ganzrationale Funktionen gilt:

    • sind alle Exponenten gerade, dann ist die Funktion achsensymmetrisch.
    • sind alle Exponenten ungerade, dann ist die Funktion punktsymmetrisch.

    Beginne jeweils mit $f_{a,~b,~c}(-x)$ und prüfe, was du dann erhältst.

    Lösung

    Um Symmetrie zu überprüfen, setzt man in der betrachteten Funktion statt $x$ dessen Kehrwert $-x$ ein:

    $f_{a,~b,~c}(-x)=(a(-x)^2+b(-x)+c)e^{(-x)^2}$.

    Da $e^{(-x)^2}=e^{x^2}$ ist, genügt es, den ganzrationalen Faktor zu betrachten.

    Es handelt sich um eine quadratische Funktion, sofern $a\neq 0$ ist.

    • Wenn dann zusätzlich $b=0$ ist, ist die ganzrationale Funktion unabhängig von $c$ immer achsensymmetrisch. Gesamt ist also auch die Ausgangsfunktion achsensymmetrisch.
    • Wenn $b\neq 0$ ist, dann ist die ganzrationale Funktion und somit auch die Ausgangsfunktion nicht symmetrisch.
    Wenn $a=0$ ist und $b\neq0$ sind, handelt es sich um eine lineare Funktion. Diese ist punktsymmetrisch, wenn $c=0$ ist. Dann ist auch die Ausgangsfunktion punktsymmetrisch.

    Wenn $a=b=0$ sind, handelt es sich um eine konstante Funktion, welche achsensymmetrisch ist. Damit ist auch die Ausgangsfunktion achsensymmetrisch.

    Natürlich kann man auch den Fall $a=b=c=0$ betrachten. Dann erhält man $f_{a,~b,~c}(x)=0$. Dies ist ein nicht ganz so spannender Fall.