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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Wendestellen 06:20 min

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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Wendestellen

Hallo. Wir haben hier eine rationale Funktionenschar. Sie ist nicht ganz rational, sondern gebrochen rational: fk(x) = (x2 + 2x + k)/(x - 2). Definiert ist diese Funktionenschar für alle R außer der Zahl zwei. Also für alle reellen Zahlen außer der zwei. Und wir interessieren uns für die Wendepunkte hier an dieser Stelle. Wenn man sich für die Wendepunkte interessiert, hat man schon meistens schon vorher die Extrema bestimmt, die Nullstellen bestimmt und kennt sich ein bisschen aus. Und das möchte ich hier auch mal ein bisschen gewinnbringend einsetzen. Wir haben nämlich hier schon die zweite Ableitung stehen dieser Funktionenschar. Und wir haben ein paar Graphen der Funktionenschar, die sehen so aus. Und so, wie ich das hier sehe, würde ich mal sagen, keine dieser Funktionen hat einen Wendepunkt. Nur mal so als Vermutung. Ich kann mich ja vertun. Es ist ja auch nur ein Ausschnitt, der hier gezeichnet wird und das sind lange nicht alle Funktionen. Also das ist eine Vermutung. Und das müssen wir jetzt noch ein bisschen mit Rechnung füllen, unsere Vermutung, um das zu bestätigen oder um das eben verwerfen zu können. Notwendige Bedingung für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung null sein muss. Hier ist die zweite Ableitung. Wir gucken uns an, was passiert. Wir wissen schon aus den vorhergehenden Betrachtungen, es ist immer interessant zu wissen: Was sind die bestimmten k’s, bei denen was Besonderes passiert? Wir wissen schon, für k = -8 passiert öfter was Besonderes. So auch hier. Wenn ich für k -8 einsetze hier, dann ist diese zweite Ableitung gleich null. Weil ja der Zähler null ist. Deshalb fange ich erstmal an für k ungleich -8. Was ergibt sich dann hier, wenn k ungleich -8 ist? Dann ist dieser Zähler ungleich null. Was der Nenner macht, ist sowieso egal. Denn der Nenner kann nicht null werden, wir haben ja die zwei ausgeschlossen. Der Nenner würde nur für x = 2 null werden. Das kann nicht passieren. Also wenn der Zähler null ist und der Nenner ungleich null ist, dann ist das ganze Ding hier, der ganze Bruch ist es ja, der ist ungleich null. Und damit haben wir also für alle k, die ungleich -8 sind hier nachgewiesen, dass keine Wendestelle, kein Wendepunkt existieren kann, da eben die zweite Ableitung nicht null wird. Was passiert für k = -8? Sei also jetzt k = -8. Da kann man jetzt folgenden Fehler machen: Man sagt sich: „Fein, zweite Ableitung ist null. Da gucke ich, ob die dritte Ableitung ungleich null ist an der Stelle“. Und dann bildet man die dritte Ableitung. Wenn das so aussieht, die zweite Ableitung, dann ist die dritte Ableitung kein so großes Problem. Aber hier darf man ruhig ein bisschen mitdenken. Denn wir wissen ja, wir können durch die hinreichende Bedingung Wendepunkte nachweisen, falls sie da sind. Wir können nicht garantieren, dass wir mit der hinreichenden Bedingung alle Wendepunkte finden. Nur, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist, dann ist da auch ein Wendepunkt. Jetzt haben wir aber die Vermutung, da ist gar kein Wendepunkt. Ja, die Graphen sehen alle so aus, als ob da gar kein Wendepunkt sei. Das bedeutet, es wird höchstwahrscheinlich nicht herauskommen, dass die zweite Ableitung an irgendeiner dieser Stellen hier...dass die dritte Ableitung, meine ich, ungleich null ist. Die wird auch gleich null sein. Und deshalb lohnt es sich gar nicht, die dritte Ableitung zu machen. Da sind ja eh keine Wendepunkte und die dritte Ableitung brauchen wir nur, um die Wendepunkte zu bestätigen. Was kann man also stattdessen machen? Wir wissen ja, dass man diese Funktionenschar fk(x) schreiben kann als: x + 4 + (8 + k)/(x - 2). Und ja, ich hoffe das ist richtig, dass ich das richtig in Erinnerung habe. Aber ich glaube schon. Und wir wissen jetzt, wenn man für k -8 einsetzt, dann ist dieser Term hier gleich null. Übrigens, das entsteht, wenn man die Polynomdivision macht hier, wenn man den Zähler durch den Nenner teilt, dann kommt man auf diesen Term hier. Wir wissen also, für k = -8 ist dieser Bruch gleich 0, falls x eben ungleich zwei ist, was ja in fast allen Fällen dann auch so ist. Und damit haben wir also hier quasi eine lineare Funktion stehen, nämlich x + 4. Das ist übrigens hier dieser Graph in der Mitte, der hier so durch geht. Ich hoffe, du kannst das erkennen. Aber du kannst es ja auch selber zeichnen mit deinen Zeichenprogrammen, nicht wahr? Das ist wirklich eine lineare Funktion. Also der Graph ist identisch mit dem Graphen der linearen Funktion, bis auf die Definitionslücke bei zwei. Und deshalb können wir also hier argumentieren, dass die Funktion, die man erhält, wenn man für k -8 einsetzt, bis auf Definitionslücke eine lineare Funktion ist und die sowieso keine Wendepunkte haben kann. Wenn man da also mitdenkt, kann man sich ein bisschen Arbeit ersparen. Und dann kann man sich auch sparen, hier die dritte Ableitung zu bilden. Viel Spaß damit, tschüss.