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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Verbindungslinie der Extrema 09:30 min

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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Verbindungslinie der Extrema

Hallo. Hier ist eine Funktionenschar und ein paar Graphen dazu. Definitionsbereich ist auch da. Und die Aufgabe zu dieser Funktionenschar lautet: Zeigen Sie, dass die Verbindungslinie zweier Extrema einer Funktion durch den Punkt (0|2) verläuft. Da muss man erst einmal die Aufgabe verstehen, wenn man das lösen möchte. Also wir haben Funktionen dieser Funktionenschar, die zwei Extrema haben. Es gibt auch welche, diese Graphen hier zum Beispiel, die haben keine beziehungsweise die zugehörigen Funktionen haben keine Extrema. Aber hier zum Beispiel diese Schwarze Linie, ja die gehört zu einer Funktion und die hat hier zwei Extrema, hier ein Maximum, da ein Minimum. Die kann man verbinden und dann soll es durch (0|2) gehen. Na ja, kann sein. Ich glaube, das kann man so verstehen, das ist wohl so. Das ist ja auch wichtig, dass Du so ein bisschen guckst, kann das überhaupt sein, um zu klären, ob Du die Aufgabe richtig verstanden hast. Na ja, in dem Aufgabentext heißt es jetzt nur, die Linie, die zwei Extrema einer Funktion verbindet, dem Sinne nach zumindest. Da nehme ich mal an, dass es nicht eine bestimmte Funktion gemeint ist, für ein bestimmtes k also, sondern dass das für alle k gilt. Ja, so ist das immer gemeint, wenn kein bestimmtes k ausgezeichnet ist oder herausgenommen wird. Und man sagt also, für dieses k soll etwas gelten, dann gilt das für alle Funktionen dieser Funktionenschar. Oder wie man eben auch sagt, für alle k. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man hier vorgehen kann. Ich zeige die Möglichkeit, sage ich mal, die wirklich nur geradeaus marschiert, die nicht links und rechts guckt. Auf die man vielleicht als erstes kommt, wenn man einfach nur diese Aufgabe lösen will. Also: Wenn wir die Extrema verbinden wollen, dann müssen wir erst mal wissen, wo die sind. Wir haben schon ausgerechnet an einer anderen Stelle, an einem anderen Film, mache ich jetzt nicht noch mal, dass sich die Extrema auf der x-Achse bei-... Also die x-Koordinaten der Extrema. So ist es besser. Die x-Koordinaten der Extrema sind bei 2+-√(8+k), jeweils abhängig von k natürlich. Und die y-Werte dazu, die y-Koordinaten sind 6+-2√(8+k). OK. Dann weiß ich, es geht um eine Verbindungslinie zweier Extrema, das soll eine Gerade sein natürlich. Nehme ich mal an, ja. Auch das kommt öfter so in Aufgaben vor, dass es vielleicht nicht ganz 100 prozentig formuliert ist. Aber Du darfst dann wirklich auch Deinen gesunden Menschenverstand einsetzen und Dir überlegen, was damit wohl gemeint sein kann. Und wenn man hier von einer Verbindung spricht, von einer Verbindungslinie, ist dann halt eine Gerade gemeint. Nun, eine Gerade hat ja die Geradengleichung y = mx + n oder y = mx + b, b schreibt man oft, ich schreib jetzt mal b. Wenn ich diese Geradengleichung also herausfinden möchte, das ist ja dann die Lösung der Aufgabe, wenn man die Geradengleichung hinschreiben kann. Dann brauche ich also m und b. Um m zu erhalten, zeichne ich mir mal eben die beiden Punkte auf. Ich mach das mal so ganz ins Unreine. So, dann haben wir hier irgendwo die x-Achse. Also diese beiden Extrema hier, das sollen jetzt zwei Teile eines Funktionsgraphen sein, die haben ja hier entlang der x-Achse einen bestimmten Abstand, nicht wahr. Und wenn jetzt hier 2 ist, dann ist hier einmal-... Also die Länge ist ja √(8+k) und da ist auch noch mal √(8+k). Kann man vielleicht nicht ganz lesen, ist ja nur eine Skizze für mich, damit ich das verstehen kann. Ja, wenn jetzt die Extrema halt bei +-√(8+k) sind, dann einmal √(8+k) nach hier, √(8+k) nach da. Wie verhält es sich hier: Da haben wir einmal die 6 in der Mitte und dann auch zwei gleiche Abstände. Hier ist also die 6 und die y-Werte sind einmal +2√(8+k) und minus, also von 6 nach unten -2√(8+k). Das Minuszeichen schreib ich jetzt nicht hin, weil ich jetzt einfach mal sage, das ist hier die Länge der Strecke. Da ist auch die Länge der Strecke. So und dann habe ich schon ein Steigungsdreieck. Das ist jetzt nicht ganz maßstabsgerecht, ich hätte jetzt weiter so zusammendrücken müssen, wie Du hier siehst. Aber ich glaube, das macht die Sache schon deutlich. Und deshalb möchte ich gerne lösen. Wir müssen, um die Steigung dieser Geraden herauszufinden, also um m herauszufinden einfach y-Differenz durch x-Differenz rechnen. Y-Differenz ist 2√(8+k)+2√(8+k) macht insgesamt 4√(8+k). Das ist die y-Differenz, die wird geteilt durch die x-Differenz. Und das ist 2√(8+k). Und das auszurechnen ist keine Kunst. Man kann mit √(8+k) kürzen, 4/2 = 2, m = 2. Wir brauchen noch b, b erhalten wir, indem wir einfach mal für x und y etwas einsetzen und da nehme ich einfach mal irgendwelche, also irgend ein Extremum. Zum Beispiel könnte ich mal hier ein Extremum nehmen, was sich bei 2+√(8+k) befindet. Das ist der x-Wert. Also da kann ich dann erst mal den x-Wert hinschreiben, der kommt hier hin: 2+√(8+k) und das Ganze mal m, da steht m. Also mal 2. Hier steht +b, das ist gleich y. Ich hätte auch mit y anfangen können, aber ich glaube, das bringt Dich jetzt nicht durcheinander. y ist dann 6+2√(8+k). Ist nicht zwangsläufig so, weiß ich, aber in diesem Fall, wenn hier plus steht, steht da auch plus. Sollte das nicht so sein, schreibt man hier dann auch so minus plus hin. Aber hier gilt das. Der zugehörige y-Wert ist dann 6+2√(8+k). So. Und das muss man jetzt noch nach b auflösen. Da brauche ich keine Klammer. Genau. Hier steht ja 4 und 2√(8+k), hier steht auch 2√(8+k). Ich rechne auf beiden Seiten -2√(8+k). Dann ist das schon mal weg. Dann steht hier noch eine 4, da noch eine 6, da noch ein b, das ist ein b. Und das ist eine 6. Ich kann -4 auf beiden Seiten rechnen und dann bleibt b = 2 übrig. Und damit haben wir die Funktionsgleichung. Die ist nämlich y = 2x + 2. So. Zu zeigen war, dass eine Verbindungslinie zweier Extrema zweier Funktionen dieser Funktionenschar durch den Punkt (0|2) verläuft. Und das können wir hier sehen. Wenn man für x = 0 einsetzt, ist 2 das Ergebnis. Der y-Wert ist dann 2. Und damit ist hier die Aufgabe gelöst. Wie gesagt, es ist eine von mehreren möglichen Lösungen oder Lösungswegen. Viel Spaß damit. Tschüss