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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Stammfunktionen (1) 05:28 min

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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Stammfunktionen (1)

Hallo! Hier ist eine rationale Funktionenschar mit ein paar Graphen dazu und jetzt geht es um das Thema Integrale ganz allgemein. Und da ist dann natürlich nicht nach Integralen gefragt, sondern nach Stammfunktionen. Die Frage könnte hier in dem Zusammenhang lauten: Bestimmen Sie Stammfunktionen oder jeweils eine Stammfunktion zu den Funktionen dieser Funktionenschar. Da ist dann also gefragt nach dem unbestimmten Integral, das heißt das Integral ohne Grenzen, also wo die Grenzen nicht angegeben sind, meine ich damit natürlich. Und wie macht man das? Man nimmt einfach diesen Term hier und integriert, bildet eine Stammfunktion halt und lässt sich von dem k nicht weiter beeindrucken. Wenn man das k einfach beibehält, dann hat man halt hinterher für jedes k, für jede Funktion dieser Funktionenschar eine Stammfunktion gebildet, und dann ist das so in Ordnung. Ja, es ist gar nicht viel zu tun dabei, und ich habe das hier schon mal heimlich vorbereitet. So sieht das aus. Ich habe das Integralzeichen hier, den Funktionsterm einfach hingeschrieben, da ist das k noch. Und wir hoffen einfach, dass das nichts macht, dieses k, das uns das nicht weiter irritieren muss. Dann habe ich erst mal diesen Funktionsterm umgeformt. Das empfiehlt sich sowieso immer. Wenn du Funktionenscharen hast, die hier rationale Funktionen sind, aus rationalen Funktionen bestehen genauer gesagt, dann kannst du ja immer auch eine Polynomdivision durchführen. Hier geht die Polynomdivision nicht auf. Wenn sie aufginge, wäre es vielleicht auch eine Überraschung. Also hier tut sie es nicht, aber wenn man diese Polynomdivision durchführt, dann kriegt man hier einen Term, den man viel einfacher integrieren kann als den hier, meiner Meinung nach zumindest. Du kannst auch den integrieren, wenn du willst, das ist auch manchmal ein bisschen Geschmackssache. Also ich möchte den integrieren, da bin ich schnell durch. Wir haben zum einen ∫ von, also wir können ja summandenweise integrieren, die Stammfunktion von x ist (1/2)x2, Stammfunktion von 4 ist 4x+c jeweils. Hier hab ich das rein prophylaktisch schon mal hingeschrieben. Und dann haben wir den Term noch hier. Da müssen wir auch eine Stammfunktion finden. Wie macht man das? Zunächst einmal kann man sich ja vorstellen, dass es hier [1/(x-2)]× diese Konstante. Immer, wenn wir ein k einsetzen hier, dann haben wir ja 8+k, das ist eine Konstante, und deshalb kann man die einfach davorschreiben hier nach der Konstantenregel. Da muss man nur noch 1/(x-2) integrieren, und wir wissen ja schon, dass ein Grundintegral folgendermaßen aussieht. Wir haben das unbestimmte ∫ von (1/x)dx. Das ist ln, der Logarithmus naturalis, der Logarithmus also zur Basis e. ln(|x|)+c darf ich dahinterschreiben. Und hier haben wir eben fast das Gleiche. Ich schreibe es rein der Vollständigkeit halber noch mal hin, weil ich das gerade so ein bisschen verschwurbelt gesagt habe. Wir fassen 8+k als Konstante auf einfach und haben hier dann noch 1/(x-2) zu integrieren, und wir sehen ja, dass das hier ein linearer Term ist, das heißt, ein Term der Form ax+b. In dem Fall ist a=1, b=-2, das ist ein linearer Term, und da können wir die lineare Substitution drauf anwenden. Das bedeutet also, wir haben jetzt so eine äußere Funktion, die ist dann 1/Term. 1/Term kann man hier so integrieren, mit ln(|Term|), also dieses Ding hier, Nenner, ln Betrag, ln von Betrag von Nenner. Und dann müssen wir noch durch die Vorzahl von |x| teilen, das ist in dem Fall 1, deshalb können wir uns das sparen, das ändert ja nichts, und deshalb kommt man dann hier zu dieser Stammfunktion dieses Terms hier, nämlich (8+k)×ln(|x-2|)+c. Wie gesagt, hab ich da hingeschrieben, für die gesamte Stammfunktion, die unbestimmte Konstante muss ja immer dazu geschrieben werden. Ja und dann war es das, hier an der Stelle. Wir brauchten keine großartigen Verfahren, partielle Integration die allgemeine Substitution oder so was. Lineare Substitution hat hier gereicht. Ja, herzlichen Glückwunsch, geschafft. Viel Spaß damit, tschüss.

Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Stammfunktionen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Stammfunktionen (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man die gebrochenrationale Funktionenschar integrieren kann.

    Tipps

    Hier siehst du die lineare Substitutionsregel der Integration.

    Es ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, also $F'(x)=f(x)$.

    Verwende zur Integration von Potenzen die Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$.

    Dabei muss $n\neq-1$ sein.

    Lösung

    Um die gebrochenrationale Funktionenschar zu integrieren, verwendet man die Darstellung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens. Diese erlangen wir durch Polynomdivision und lässt sich leichter integrieren.

    Die ersten beiden Summanden können mit Hilfe der Potenzregel der Integration integriert werden:

    $\int~(x+4)~dx=\frac12x^2+4x+c$

    Nun muss noch der folgende Term bestimmt werden:

    $\int\left(\frac{8+k}{x-2}\right)dx$

    Zur Bestimmung dieses Integrals verwendet man die lineare Substitution der Integration sowie die Tatsache, dass $\int\frac 1xdx=\ln|x|+c$ ist.

  • Gib eine Stammfunktion zu $\frac1x$ an.

    Tipps

    Der Logarithmus naturalis $\ln(x)$ ist nur definiert für positive Argumente $x$.

    Umgekehrt könnte man auch schreiben:

    $(\ln(x))'=\frac1x$

    Dabei wurde die Stammfunktion abgeleitet.

    Wenn du nachweisen willst, dass eine Funktion $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, musst du $F(x)$ ableiten und es muss gelten:

    $F'(x)=f(x)$

    Lösung

    Bei gebrochenrationalen Funktionen kann man zur Bestimmung einer Stammfunktion das hier abgebildete unbestimmte Integral verwenden.

    Umgekehrt gilt auch:

    $(\ln(x))'=\frac1x$

    Da der Logarithmus naturalis nur für positive Argumente $x$ definiert ist, muss man hier die Betragsstriche verwenden.

  • Leite das unbestimmte Integral her.

    Tipps

    Es gilt die Faktorregel der Integration:

    $\int(a\cdot f(x))dx=a\cdot \int f(x) dx$

    Verwende die lineare Substitutionsregel der Integration.

    Dabei ist $F'(x)=f(x)$.

    Es gilt außerdem dieser praktische Trick:

    $\int \frac 1x dx=\ln|x|+c$

    Lösung

    Wir wollen dieses unbestimmte Integral ermitteln:

    $\int\left(\frac{8+k}{x-2}\right)dx$

    Dazu zieht man zunächst den konstanten Faktor $8+k$ aus dem Integral heraus:

    $\int\left(\frac{8+k}{x-2}\right)dx=(8+k)\cdot \int\left(\frac{1}{x-2}\right)dx$

    Nun kann das Integral $\int\left(\frac{1}{x-2}\right)dx$ mithilfe von zwei Regeln ermittelt werden:

    • die lineare Substitutionsregel $\int~f(ax+b)~dx=\frac1aF(ax+b)$ sowie
    • der hilfreiche „Kniff“ $\int~\frac1x~dx=\ln(|x|)+c$
    In unserem Fall ist $a=1$ und $b=-2$. Unter Verwendung der ersten Regel erhalten wir:

    $\int\left(\frac{1}{x-2}\right)dx=\ln(|x-2|)+c$

    Zusammengefasst erhalten wir:

    $\int\left(\frac{8+k}{x-2}\right)dx=(8+k)\cdot \ln(|x-2|)+c$

    Insgesamt erhält man damit für die gebrochenrationale Funktion $f_k(x)=x+4+\frac{8+k}{x-2}$ dieses unbestimmte Integral:

    $\int\left(x+4+\frac{8+k}{x-2}\right)dx=\frac12x^2+4x+(8+k)\cdot \ln(|x-2|)+c$

  • Leite das bestimmte Integral der Funktionenschar $f_k(x)=\frac{2x-k}{x^2}$ her.

    Tipps

    Du kannst die Funktionenschar auch folgendermaßen schreiben:

    $f_k(x)=\frac2x-\frac{k}{x^2}$

    Die Reihenfolge der Summanden wird beibehalten.

    Verwende die Potenzregel der Integration:

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$

    Dabei muss $n\neq -1$ sein, weil nicht durch $0$ geteilt werden darf.

    Leite zur Kontrolle das gefundene unbestimmte Integral noch einmal ab.

    Du musst dann wieder zu der Funktionenschar kommen.

    Lösung

    Zunächst wird die Funktionenschar so geschrieben:

    $f_k(x)=\frac1x-\frac{k}{x^2}$

    Nun kann jeder Term einzeln integriert werden:

    • $\int~\frac1x~dx=\ln(|x|)+c$
    • $\int~\left(-\frac{k}{x^2}\right)~dx=\frac{k}x+c$
    Am Ende erhält man so das nebenstehende unbestimmte Integral.

  • Ermittle jeweils das unbestimmte Integral.

    Tipps

    Integriere immer zunächst den ganzrationalen Teil. Verwende hierfür die Potenzregel der Integration:

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$

    Dabei muss $n\neq -1$ sein, weil nicht durch $0$ geteilt werden darf.

    Beachte die Betragsstriche bei dem Argument des Logarithmus naturalis.

    Lösung

    Der ganzrationale Anteil kann wie folgt integriert werden:

    $\int(ax+b)dx=\frac a2x^2+bx+e$

    Dabei ist $e$ die Integrationskonstante, die aber nicht immer mit aufgeschrieben werden muss.

    Für den gebrochenrationalen Anteil verwendet man die sogenannte logarithmische Integration:

    $\in\left(\frac c{x+d}\right)dx=c\cdot \ln(|x+d|)+e$

    Dies kann nun an einigen Beispielen nachvollzogen werden:

    1. Zu $f_k(x)=x-\frac k{x-1}$ gehört das unbestimmte Integral $\frac12x^2-k\cdot \ln(|x-1|)+c$.
    2. Zu $g_k(x)=2x+1-\frac {2k}{x-1}$ gehört das unbestimmte Integral $x^2+x-2k\cdot \ln(|x-1|)+c$.
    3. Zu $h_k(x)=x+3+\frac {4+k}{x-1}$ gehört das unbestimmte Integral $\frac12x^2+3x+(4+k)\cdot \ln(|x-1|)+c$.
    4. Zu $i_k(x)=4x+3+\frac {2-k}{1-x}$ gehört das unbestimmte Integral $2x^2+3x+(2-k)\cdot \ln(|x-1|)+c$.
    Vielleicht hast du dich gefragt, warum bei der letzten Stammfunktion nicht $1-x$ steht. Dies wäre auch richtig, allerdings können Divisor und Dividend vertauscht werden, wenn sie einen Term innerhalb eines Betrages (Betragsstriche) bilden.

  • Leite das unbestimmte Integral der Funktionenschar $f_k(x)=\frac{x^2-k^2}{x+2}$ her.

    Tipps

    Hier siehst du die lineare Substitutionsregel der Integration.

    In dem obigen Beispiel ist $a=1$ und $b=2$.

    Das bestimmte Integral der Funktion $\frac1x$ ist so gegeben.

    Um die beiden obigen Regeln anwenden zu können, musst du eine Polynomdivision durchführen. Weißt du noch, wie das geht? Hier siehst du den ersten Schritt:

    Die höchste Potenz des Dividenden ($x^2-k^2$) wird durch die höchste Potenz des Divisors ($x+2$) dividiert:

    $(x^2-k^2):(x+2)=x...$

    Nun wird $(x+2)\cdot x=x^2+2x$ subtrahiert: $x^2-k^2-(x^2+2x)=-2x-k^2$.

    Nun geht es wieder mit Dividieren weiter.

    Lösung

    Der Funktionsterm $f_k(x)=\frac{x^2-k^2}{x+2}$ wird durch Polynomdivision umgeformt:

    • Die höchste Potenz des Dividenden wird durch die höchste Potenz des Divisors dividiert: $(x^2-k^2):(x+2)=x...$
    • Nun wird wieder zurückmultipliziert: $(x+2)\cdot x=x^2+2x$ und dieser Term subtrahiert: $x^2-k^2-(x^2+2x)=-2x-k^2$
    • Aufs Neue wird die höchste Potenz des (verbleibenden) Dividenden durch die höchste Potenz des Divisors dividiert: $(-2x-k^2):(x+2)=-2...$
    • Auch hier wird wieder zurückmultipliziert: $(x+2)\cdot(-2)=-2x-4$ und anschließend dieser Term subtrahiert: $-2x-k^2-(-2x-4)=-k^2+4$. Das ist der Rest.
    Somit ist $f_k(x)=x-2+\frac{4-k^2}{x+2}$.

    Mittels dieser Darstellung kann nun das unbestimmte Integral hergeleitet werden:

    $\int~f_k(x)~dx=\frac12x^2-2x+(4-k^2)\cdot \ln(|x+2|)+c$

    Die ersten beiden Summanden erhält man mit Hilfe der Potenzregel der Integration.

    Bei dem letzten Summanden wird zunächst der konstante Faktor $4-k^2$ aus der Integration herausgezogen und dann die lineare Substitutionsregel der Integration angewendet.