Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen
Die Ortskurve verläuft durch die Extrem- und Wendepunkte einer Kurvenschar. Entdecke, wie du diese Kurve bestimmst und was sie dir über die Graphenfamilie verrät. Neugierig? Lies weiter!
- Was ist eine Kurvenschar?
- Was ist eine Ortskurve (Ortslinie)?
- Wie bestimmt man die Ortskurve?
- Beispiel 1: Ortskurve der Hochpunkte der Flugparabel
- Schritt 1: Hochpunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen
- Schritt 2: Ortskurve der Hochpunkte bestimmen
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen Übung
-
Benenne die Fachbegriffe der Graphen einer Scharfunktion.
TippsWie in der Zeile eines bekannten Kinderliedes (Amsel, Drossel, Fink und Star und die ganze Vogelschar) bezeichnet eine Schar eine Gruppe von mehreren Einzelnen.
LösungEine Kurvenschar besteht aus unendlich vielen Funktionsgraphen, die entstehen, wenn man verschiedene Werte für den Parameter in einer Scharfunktion einsetzt.
Eine Ortskurve ist ein Funktionsgraph, der durch gewisse charakteristische Punkte der Graphen einer Kurvenschar verläuft.
-
Gib bestimmte Funktionen einer Funktionsschar an.
TippsSetze den Wert von $t$ in den Funktionsterm ein und vereinfache.
Lösung- $t=1$
- $t=2$
- $t=4$
- $t=-2$
-
Leite die Scharfunktion ab.
TippsDer Paramter $t$ wird wie eine Zahl behandelt.
Lösung$f_t(x)=2t^2x^2+2tx$
$f^{\prime}_t(x)=2t^2\cdot 2 x+2t$
$x$ wird beim Ableiten zu $2x$ und $x$ zu $1$ (Potenzregel). Die Zahlen und der Parameter $t$ bleiben stehen und werden mit den Ableitungen multipliziert (Faktorregel).
Zusammenfassen: $f_t(x)=4t^2x+2t$
-
Beschreibe das Verfahren zur Bestimmung der Ortskurve.
TippsZuerst muss das Extremum in Abhängkeit des Parameters bestimmt werden. Dieser Schritt ist hier in drei Teilschritte unterteilt, die du als erstes in die richtige Reihenfolge bringen musst.
LösungBilde die ersten beiden Ableitungen:
$f_a(x)=x^2-2ax+2a^2$
$f_a^{\prime}(x)=2x-2a$
$f_a^{\prime\prime}(x)=2$
Setze die erste Ableitung gleich Null und berechne die Lösung.
$f_a^{\prime}(x)=0\implies 2x-2a=0 \implies x=a$
Setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein, um die Art des Extremums zu bestimmen und in die ursprüngliche Funktion, um den $y$-Wert zu bestimmen.
$f_a^{\prime\prime}(a)=2\implies f_a^{\prime\prime}(a)>0 \implies \text{ Tiefpunkt }$
$f_a(a)=a^2-2a\cdot a+2a^2=a^2$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(a\vert a^2)$.
Zur Berechnung der Ortskurve schreibe die Koordinaten des Tiefpunktes in zwei Gleichungen:
$x=a$ und $y=a^2$.
Bilde aus den zwei Gleichungen eine Gleichung, in du $a=x$ in $y$ einsetzt:
$y=x^2$ ist die Ortskurve der Tiefpunkte.
-
Gib den Hochpunkt einer bestimmten Funktion an.
TippsSetze den Wert für $a$ ein und vereinfache.
LösungSetze $a=2$ in $f_a(x)=x^2-4ax+3a^2$ ein:
$f_2(x)=2^2-4\cdot 2x+3\cdot 2^2=x^2-8x+12$
Setze $a=2$ in $T(2a\vert -a^2)$ ein:
$T(2\cdot 2\vert -2^2)=T(4\vert -4)$
-
Bestimme den Extrempunkt und die Ortskurve.
TippsDie Koordinaten des Tiefpunkts hängen von $a$ ab, während die Ortskurve eine Funktion mit $y$ in Abhängigkeit von $x$ ist.
LösungBilde die ersten beiden Ableitungen:
$f_a(x)=x^2-4ax+3a^2$
$f_a^{\prime}(x)=2x-4a$
$f_a^{\prime\prime}(x)=2$
Setze die erste Ableitung gleich Null und berechne die Lösung.
$f_a^{\prime}(x)=0\implies 2x-4a=0 \implies x=2a$
Setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein, um die Art des Extremums zu bestimmen und in die ursprüngliche Funktion, um den $y$-Wert zu bestimmen.
$f_a^{\prime\prime}(2a)=2\implies f_a^{\prime\prime}(a)>0 \implies \text{ Tiefpunkt }$
$f_a(2a)=(2a)^2-4a\cdot 2a+3a^2=4a^2-8a^2+3a^2=-a^2$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(2a\vert -a^2)$.
Zur Berechnung der Ortskurve schreibe die Koordinaten des Tiefpunktes in zwei Gleichungen:
$x=2a$ und $y=-a^2$.
Bilde aus den zwei Gleichungen eine Gleichung, in du die erste nach $a$ umformst: $a=\frac{x}{2}$ und diese in $y$ einsetzt:
$y=-\big(\frac{x}{2}\big)^2=-\frac{x}{4}$ ist die Ortskurve der Tiefpunkte.
9.369
sofaheld-Level
6.600
vorgefertigte
Vokabeln
8.225
Lernvideos
38.691
Übungen
33.496
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Flächeninhalt – Übungen
- Volumen Zylinder
- Potenzgesetze – Übungen
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Binomische Formeln – Übungen
- Raute
- Brüche umwandeln Übungen
- Parallelogramm
- Ungleichungen – Übungen
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Quadratische Gleichungen – Übungen
- Flächeninhalt