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Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen

Die Ortskurve verläuft durch die Extrem- und Wendepunkte einer Kurvenschar. Entdecke, wie du diese Kurve bestimmst und was sie dir über die Graphenfamilie verrät. Neugierig? Lies weiter!

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sofatutor Team
Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Wie in der Zeile eines bekannten Kinderliedes (Amsel, Drossel, Fink und Star und die ganze Vogelschar) bezeichnet eine Schar eine Gruppe von mehreren Einzelnen.

    Lösung

    Eine Kurvenschar besteht aus unendlich vielen Funktionsgraphen, die entstehen, wenn man verschiedene Werte für den Parameter in einer Scharfunktion einsetzt.

    Eine Ortskurve ist ein Funktionsgraph, der durch gewisse charakteristische Punkte der Graphen einer Kurvenschar verläuft.

  • Tipps

    Setze den Wert von $t$ in den Funktionsterm ein und vereinfache.

    Lösung

    • $t=1$
    $f_1(x)=1^2x^3+\frac{2}{1}x=x^3+2x$

    • $t=2$
    $f_2(x)=2^2x^3+\frac{2}{2}x=4x^3+x$

    • $t=4$
    $f_4(x)=4^2x^3+\frac{2}{4}x=16x^3+\frac{1}{2}x$

    • $t=-2$
    $f_{-2}(x)=(-2)^2x^3+\frac{2}{-2}x=4x^3-x$

  • Tipps

    Der Paramter $t$ wird wie eine Zahl behandelt.

    Lösung

    $f_t(x)=2t^2x^2+2tx$

    $f^{\prime}_t(x)=2t^2\cdot 2 x+2t$

    $x$ wird beim Ableiten zu $2x$ und $x$ zu $1$ (Potenzregel). Die Zahlen und der Parameter $t$ bleiben stehen und werden mit den Ableitungen multipliziert (Faktorregel).

    Zusammenfassen: $f_t(x)=4t^2x+2t$

  • Tipps

    Zuerst muss das Extremum in Abhängkeit des Parameters bestimmt werden. Dieser Schritt ist hier in drei Teilschritte unterteilt, die du als erstes in die richtige Reihenfolge bringen musst.

    Lösung

    Bilde die ersten beiden Ableitungen:

    $f_a(x)=x^2-2ax+2a^2$

    $f_a^{\prime}(x)=2x-2a$

    $f_a^{\prime\prime}(x)=2$

    Setze die erste Ableitung gleich Null und berechne die Lösung.

    $f_a^{\prime}(x)=0\implies 2x-2a=0 \implies x=a$

    Setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein, um die Art des Extremums zu bestimmen und in die ursprüngliche Funktion, um den $y$-Wert zu bestimmen.

    $f_a^{\prime\prime}(a)=2\implies f_a^{\prime\prime}(a)>0 \implies \text{ Tiefpunkt }$

    $f_a(a)=a^2-2a\cdot a+2a^2=a^2$

    Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(a\vert a^2)$.

    Zur Berechnung der Ortskurve schreibe die Koordinaten des Tiefpunktes in zwei Gleichungen:

    $x=a$ und $y=a^2$.

    Bilde aus den zwei Gleichungen eine Gleichung, in du $a=x$ in $y$ einsetzt:

    $y=x^2$ ist die Ortskurve der Tiefpunkte.

  • Tipps

    Setze den Wert für $a$ ein und vereinfache.

    Lösung

    Setze $a=2$ in $f_a(x)=x^2-4ax+3a^2$ ein:

    $f_2(x)=2^2-4\cdot 2x+3\cdot 2^2=x^2-8x+12$

    Setze $a=2$ in $T(2a\vert -a^2)$ ein:

    $T(2\cdot 2\vert -2^2)=T(4\vert -4)$

  • Tipps

    Die Koordinaten des Tiefpunkts hängen von $a$ ab, während die Ortskurve eine Funktion mit $y$ in Abhängigkeit von $x$ ist.

    Lösung

    Bilde die ersten beiden Ableitungen:

    $f_a(x)=x^2-4ax+3a^2$

    $f_a^{\prime}(x)=2x-4a$

    $f_a^{\prime\prime}(x)=2$

    Setze die erste Ableitung gleich Null und berechne die Lösung.

    $f_a^{\prime}(x)=0\implies 2x-4a=0 \implies x=2a$

    Setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein, um die Art des Extremums zu bestimmen und in die ursprüngliche Funktion, um den $y$-Wert zu bestimmen.

    $f_a^{\prime\prime}(2a)=2\implies f_a^{\prime\prime}(a)>0 \implies \text{ Tiefpunkt }$

    $f_a(2a)=(2a)^2-4a\cdot 2a+3a^2=4a^2-8a^2+3a^2=-a^2$

    Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(2a\vert -a^2)$.

    Zur Berechnung der Ortskurve schreibe die Koordinaten des Tiefpunktes in zwei Gleichungen:

    $x=2a$ und $y=-a^2$.

    Bilde aus den zwei Gleichungen eine Gleichung, in du die erste nach $a$ umformst: $a=\frac{x}{2}$ und diese in $y$ einsetzt:

    $y=-\big(\frac{x}{2}\big)^2=-\frac{x}{4}$ ist die Ortskurve der Tiefpunkte.

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