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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Parameterbestimmung 04:34 min

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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Parameterbestimmung

Hallo. Hier ist eine Funktionenschar mit Definitionsbereich und ein paar Graphen dazu. Und die Frage hier in dem Zusammenhang ist: Für welches k liegt der Hochpunkt von fk(x) auf der x-Achse? Also ich möchte hier zeigen, wie man auch vorgehen kann. Ich glaube, die Lösung, die ich jetzt hier zeigen werde, werden die meisten Schüler, wenn sie die Aufgabe zum ersten Mal sehen, so nicht machen. Sie würden sich eher um die Extrema kümmern. Ich möchte mich stattdessen aber um die Nullstellen kümmern. Warum? Also wie kann man die Aufgabe lösen? Wir suchen ein bestimmtes k, für das also gilt, dass der Hochpunkt dieser Funktion auf der x-Achse liegt. Ich gucke mir das erstmal hier bei dem Graphen an. Das sind ja hier Graphen, die Hochpunkte haben. Da verlaufen die so. Und ich sehe hier auch, da ist eine Funktion, ein Funktionsgraph, da scheint jetzt hier laut dieser Zeichnung also der Hochpunkt direkt auf der x-Achse zu liegen. Also ich nehme mal an, es gibt eine solche Funktion. Und ich sagte schon, ich möchte mich auf die Nullstellen konzentrieren, um diese Funktion herauszufinden. Ja, warum? Weil ich folgendes sehen kann: Es gibt Funktionen, die haben Hochpunkte, die sind aber unterhalb der x-Achse, die interessieren mich nicht. Es gibt Funktionen, die haben Hochpunkte oberhalb der x-Achse und die haben zwei Nullstellen. Hier ist auch so ein Hochpunkt, da, ja, oberhalb der x-Achse. Die hat auch zwei Nullstellen. Wenn jetzt der Hochpunkt direkt auf der x-Achse ist, dann fallen diese beiden Nullstellen quasi, die die anderen Funktionen da immer haben, zusammen. Dann hat man nur noch eine Nullstelle. Dann ist also der Hochpunkt gleichzeitig die Nullstelle der Funktion. Die einzige Nullstelle. Und aus dieser Eigenschaft, dass eben diese Funktion nur eine Nullstelle haben kann, kann ich jetzt also folgern, welche das ist. Wir haben schon besprochen, dass die Nullstellen hier folgendermaßen ausgerechnet werden: -1 +/- √(1 - k). Solltest du den Film dazu nicht gesehen haben, du kannst es dir eben überlegen. Ein Bruch wird genau dann null, wenn der Zähler null ist und der Nenner ungleich null ist. Das heißt, du musst hier einfach den Zähler gleich null setzen. Um den Nenner brauchst du dich hier in dem Zusammenhang jetzt nicht zu kümmern. Der wird ja nur null, wenn x gleich zwei ist. Das können wir uns hier im Moment schenken, wenn es um diese Sachen geht. Warum, begründe ich jetzt nicht weiter, weil ich hier ja in dem Zusammenhang was anderes zeigen möchte. Also einfach Zähler gleich null setzen, meine ich. Das ist eine einfache quadratische Gleichung und das sind die beiden Lösungen. So, die beiden Lösungen haben wir jetzt aber nicht, denn wir wollen ja nur eine einzige Lösung haben und ich glaube, da sage ich nichts Neues: Eine einzige Lösung hat man dann, wenn diese Wurzel hier gleich null ist. Wann wird diese Wurzel gleich null? Wenn der Radikant gleich null ist. 1 - k = 0, wenn k = 1. Ja, damit ist hier schon die Lösung erledigt. Du kannst es natürlich auch auf die andere Art und Weise versuchen, indem du die Extrema ausrechnest und mal guckst, was da so passiert. Wann das da alles bei null liegen kann. Aber so geht es eben auch. Dann ist man etwas schneller fertig. Und, sage ich mal, in der mündlichen Prüfung oder so gibt es dazu sicher noch den ein oder anderen Zusatzpunkt. Ja, das war jetzt für mich hier das letzte Video zu dieser Funktionenschar. Ich werde mich anderen Themen zuwenden. Ich glaube, diese Funktionenschar ist nun auch gehörig durchgenudelt worden. Und deshalb heißt es für mich jetzt hier: Schwamm drüber. Diese Schar ist erledigt. Viel Spaß damit, tschüss.