30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Integrale 06:58 min

Textversion des Videos

Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Integrale

Hallo. Wir haben hier eine Funktionenschar. Und ich habe hier ein, zwei Kleinigkeiten mal heimlich vorbereitet, denn die brauchen wir für folgende Aufgabe: Es ist zu zeigen, dass alle Flächen, die vom Graphen dieser Funktionenschar mit der x-Achse eingeschlossen werden können, kleiner als achtzehn sind. Wie geht man da vor? Ich habe hier den Term aufgeschrieben, auf den man kommt, wenn man in Abhängigkeit von k das bestimmte Integral ausrechnen möchte. Hier, untere Grenze, obere Grenze, kein Problem. Man kommt auf so einen Term hier, wenn man das ausrechnen möchte. Und mit dem kann man aber nichts anfangen. Ich sage das deshalb so, weil ich das schon kenne. Viele Schüler fangen an, was in ihren Taschenrechner einzutippen und das funktioniert in dem Fall nicht. Also hier kannst du nur mit Überblick vorgehen und nicht mit Taschenrechner. Was kann man machen? Wir sehen, dass diese Funktionen hier so verlaufen. Ja, es gibt auch welche, die keine Fläche mit der x-Achse einschließen. Und uns kann jetzt als erstes mal interessieren: Für welche k haben wir denn überhaupt Funktionsgraphen, die mit der x-Achse eine Fläche einschließen? Wir interessieren uns hier für den Graphen, der hier die Nullstelle hat auf der x-Achse. Der eine einzige hat. Das heißt, der ist sicher da die untere Grenze für die Fläche, da ist die Fläche nämlich null, beziehungsweise gar nicht vorhanden, wie man das sagen will. Wir haben Nullstellen. Den Term für die Nullstellen, der ist hier: x1,2 = -1 +/- √(1 - k). Wir haben dann eine einzige Nullstelle, wenn k = 1. Dann ist die Wurzel gleich null und wir haben nur eine Nullstelle. Also hier unten, dieser Funktionsgraph, das ist der für k = 1. Dann haben wir hier Funktionsgraphen, die größere Flächen einschließen. Und wir fragen uns: Welche mögen das denn wohl sein? Für welche k? Und da möchte ich mal darauf verweisen, dass wir schon wissen, wo sich Extrema befinden, oder genauer gesagt, wo sich Maxima befinden. Nämlich bei: x = 2 - √(8 + k) . Und die Funktionswerte in Abhängigkeit von k an dieser Stelle sind also: 6 - 2√(8 + k). Das bedeutet, dieser Funktionswert ist dann besonders groß, wenn wir jetzt nur mal diesen Term angucken, wenn hier von der sechs möglichst wenig abgezogen wird. Und das ist dann der Fall, wenn k gleich minus acht ist. Für k = -8, das wissen wir schon, kriegen wir diese Gerade, die hier eine stetig hebbare Definitionslücke hat. Das heißt also für k = -8 geht das nicht. Dann wird keine Fläche eingeschlossen. k = -8, wollte ich sagen. Diesen Funktionsgraph erhalten wir, wenn k = -8. Ich weiß nicht, ob ich es gesagt habe. Also für k = -8, wird keine Fläche eingeschlossen. Aber wenn k immer näher zu -8 kommt, wird die Fläche, die eingeschlossen wird hier immer größer. Denn dann verlaufen diese Funktionen so, die gehen hier immer höher. Ja, ich weiß das deshalb, dass die immer höher gehen, weil ja das Extremum auch immer größer wird. Und ich sage mal, im Bereich der Schulmathematik, in dem wir uns hier befinden, soll das mal an Genauigkeit reichen. Man könnte noch in einer Aufgabe sagen, dass wir ja wissen, dass keine zwei Funktionen einen Schnittpunkt haben. Das heißt, wenn einmal eine Funktion größer ist als die andere, dann ist sie auch überall größer als die andere. Ja, als Mathematiker würde man es noch genauer machen. Aber ich würde mal sagen, hier reicht das so. Also wenn wir das jetzt wissen, k muss sowieso kleiner als 1 sein und größer als -8. Dann kriegen wir nämlich Flächen, die hier eingeschlossen werden zwischen Graph und x-Achse. Dann können wir uns einfach mal darauf konzentrieren: Was passiert denn, wenn k gegen -8 geht? Dann haben wir hier diese Graphen, die besonders große Flächeninhalte einschließen. Und dann wissen wir, dass ja für k gegen -8, aber k ungleich -8 folgendes gilt: Der Funktionsgraph hier verläuft unterhalb dieser Geraden. Nämlich diese Gerade entsteht bei k = -8. Das ist die Gerade x + 4. Ein Funktionsgraph, der eine Fläche zwischen x-Achse einschließt, verläuft unterhalb dieser Geraden. Wir wissen auch: Rechts wird die Fläche hier durch diesen Pol begrenzt. Ja, sie kann über 2 nicht hinaus. Und dann sind wir schon fast fertig, wenn wir uns das überlegt haben, denn wir haben hier ein Dreieck, ja. Hier bei der Geraden x = 2. X-Achse, die Gerade, x + 4. Und innerhalb dieses Dreiecks muss sich der Flächeninhalt bewegen. Wir sollen zeigen, dass der Flächeninhalt immer kleiner als 18 ist. Das heißt, wir müssen nur noch die Fläche des Dreiecks ausrechnen und sind dann fertig. Dieses Dreieck geht ja von -4 bis 2 hier unten. Naja, die Nullstelle der Funktion x + 4 ist ja bei -4. Deshalb hier quasi Grundseite des Dreiecks hat die Länge 6, ja. Von -4 bis 2. Wir haben auch schon gesagt, dieser Graph hier hat im Punkt (2|6) eine hebbare Definitionslücke. Das heißt, hier oben ist die Spitze bei (2|6), dieses Dreiecks, was uns interessiert. Das heißt, die Höhe ist 6. Und jetzt müssen wir nur die Dreiecksformel nehmen: Einhalb mal Grundseite mal Höhe. Naja: 1/2×6×6 = 18. Und damit ist hier die Sache erledigt. Also der Flächeninhalt, der von einem Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen wird, muss sich innerhalb des Dreiecks befinden, das die Fläche 18 hat. Naja, ich glaube, deutlicher wird es nicht. Ich mache Schluss. Tschüss.