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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Fläche zwischen Graphen 05:19 min

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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Fläche zwischen Graphen

Hallo! Hier ist eine rationale Funktionenschar mit Definitionsbereich und ein paar Graphen dazu. Es geht um die Fläche zwischen zwei Graphen und zwar die Fläche zwischen den Graphen für k = -3 und für k = 0. Ja, das sind ungefähr diese Graphen hier. k = 0 ist hier ungefähr, k = -3 ein bisschen darüber und ich möchte mal die Fläche ausrechnen in den Grenzen von -3 bis 1, also von hier bis da ungefähr. Also so ungefähr kann man es da sehen. Ja, was ist da zu tun an dieser Stelle? Ich habe es hier schon aufgeschrieben. Rein formal bilden wir die Differenzfunktion f-3(x) - f0(x). Und davon brauchen wir jetzt das bestimmte Integral und zwar in den Grenzen von -3 bis 1. Das habe ich hier jetzt einfach mal ganz stumpf abgeschrieben. Ich habe jetzt nicht die Form genommen die man erhält, wenn man hier die Polynomdivision macht. Die geht auch ganz gut hier, kein Problem, denn freundlicher Weise haben wir das k ja nicht im Nenner stehen, das bedeutet die beiden Nenner sind gleich. Wir können das ganz normal wie Brüche behandeln, einfach den einen Bruch vom anderen abziehen, gleiche Nenner haben sie ja schon. Und das kommt raus, also wir suchen das bestimmte Integral von -3 bis 1 von -3/(x - 2) dx. Ja, ich habe zwar schon in einem Film gezeigt wie hier die Stammfunktionen aussehen, ich möchte an dieser Stelle noch mal kurz darauf eingehen. Wir brauchen folgende Überlegungen hier. Einmal haben wir ein Grundintegral, das ist Integral von 1/x, nämlich ist ln|x| + C. Ja, das sollte man einfach wissen oder steht in der Formelsammlung oder wie auch immer du in der Prüfungssituation da dran kommst, aber das darf man ruhig auswendig wissen. Dann habe ich hier nochmal die Formel für lineare Substitution hingeschrieben. Wir suchen ein Integral der Funktion f von, ja nicht von x einfach, sondern von ax plus b, das ist ein linearer Term hier. Und deshalb heißt das lineare Substitution. Dann müssen wir einfach nur eine Stammfunktion von F bilden, hier eben groß F, eine Stammfunktion dieses Fs hier und lassen einfach ax + b stehen und müssen aber noch durch 1, also mit 1/a multiplizieren oder eben durch a teilen. Das Ganze wieder plus C, die Konstante soll ja hier nicht fehlen. Wenn man das jetzt auf unsere Situation hier übersetzen, wir haben jetzt nicht 1/(x-2), sondern -3/(x-2), aber du weißt ja, eine Konstante kann man einfach auch vor das Integral schreiben. Das habe ich jetzt nicht nochmal extra gemacht, das nennt sich Faktorregel. Ich glaube, meistens heißt es Faktorregel, aber das sollte für dich schon selbstverständlich geworden sein. Wenn wir das jetzt hier integrieren wollen, 1/(x-2), dann haben wir also, ja, 1/a kann ich natürlich noch dazuschreiben, a ist aber 1 und deshalb bleibt ist ja 1/1 = 1. Das habe ich hier nicht hingeschrieben. Ich brauche einfach nur ln von, ja, nicht von x, sondern von x-2. Also ln|x-2|, das ist wichtig, es ist ja der Betrag. Ja und das ist schon eine Stammfunktion der Funktion 1/(x-2). Plus C ist natürlich auch noch da. Ja und jetzt muss man das nur noch einsetzen und ausrechnen und das habe ich hier mal vorbereitet. Ja, das geht jetzt ein bisschen schnell hintereinander hier, aber es ist ja auch eine Standardaufgabe, da muss man sich auch nicht so lange dran aufhalten. Wir haben also -3×ln|x-2| und zwar in den Grenzen von -3 bis 1. Ja, das setzt man dann hier ein. Ich hoffe dir fällt sofort auf und du gibst das nicht in den Taschenrechner ein, ln|1-2| = 0. Ja, der Logarithmus von 1 ist immer 0. Und es bleibt einfach nur 3×ln(5) übrig und das ist ungefähr 4,828. Geht dann lustig weiter mit 313 und 737 glaub ich oder so, egal. Das ist ein Näherungswert, kannst du hier jetzt noch angucken, ob das ungefähr stimmt, indem du hier nochmal die Funktion zeichnest und das mal so vergleichst. Ich habe es nachgeguckt, ja, es stimmt. Ja und dann sind wir hier fertig. Viel Spaß damit. Tschüss. Ja komm, gibst du nächste Aufgabe. Mach ich sofort weiter. Ich schwör.