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Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Extrema (1) 16:18 min

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Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Extrema (1)

Hallo! Es geht um diese Funktionenschar fk(x) = (x2+2x+k)/(x-2). Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer der 2. Wir machen Extrema, Hochpunkte, Tiefpunkte, globale Extrema, lokale Extrema, egal, alles ist hier mit drinnen. Wie geht man da vor? Ich habe ja hier diese Zeichnung, habe mir das ausdrucken lassen von meinem Computerprogramm GeoGebra, was übrigens frei verfügbar ist, was du noch nicht mal bezahlen musst, falls du das noch nicht hast. Es gibt auch andere Programme die frei verfügbar sind, die Namen kenne ich jetzt nicht alle, zähle ich jetzt also auch so nicht auf. Wir sehen hier mehrere Funktionsgraphen und hier sehen wir schon ein Maximum. Da ist ein Maximum und da und da und da. Und hier sind auch Extrema, nämlich Minima. Da sind welche. Es gibt auch Funktionsgraphen hier, die offenbar über keinerlei Extrema verfügen. Auch dieser Funktionsgraph ist ja dabei, der die Form einer linearen Funktion hat, bis auf die Definitionslücke. Also da wird auch wieder eine Fallunterscheidung von Nöten sein. Und auf jeden Fall werden wir Ergebnisse bekommen, also das erwarte ich zumindest hier laut dieser Zeichnung. Vielleicht hast du dich gefragt: Warum ist die Zeichnung so klein? Warum macht er das nicht größer? Ist der ein bisschen bekloppt im Kopp? Wir würden sagen “[unverständliches Kauderwelsch]”, wenn jemand dumm im Kopf ist. Nein, bin ich nicht, glaube ich zumindest nicht. Ich habe die Zeichnung deshalb nicht so groß gemacht, weil mach das selber, du hast bestimmt einen grafikfähigen Taschenrechner oder ein Programm, was Funktionen zeichnen kann oder irgend so ein anderes Ochsengedröhn. Mache das bitte selber, experimentiere damit herum, probiere was aus, wie die Funktionsgraphen aussehen, wie du Parameter verändern kannst und sich dann die Funktionsgraphen verändern und so etwas. Das möchte ich dir hier nicht abnehmen, indem ich alles hier ausdrucke und vorkaue. Das ist bitte eine Sache, die du selber machen kannst. Und ja, falls du dich nicht an die Programme gewöhnen möchtest irgendwie, ja, dann kann ich auch nicht helfen. Dann kannst du auch von Hand zeichnen. Ist mir egal. Also wir wollen Extrema herausfinden, das bedeutet, wir gehen nach der hinreichenden Bedingung vor. Die erste Ableitung muss 0 sein und die zweite ungleich 0. Wenn das der Fall ist, dann haben wir ein Extremum. Wir finden alle möglichen Extremstellen, indem wir die erste Ableitung gleich 0 setzen, denn die notwendige Bedingung ist ja, die erste Ableitung muss gleich 0 sein, ansonsten gibt es kein Extremum. Und deshalb habe ich hier mal die Ableitung gemacht, aber wie du hier sicher schon festgestellt hast, dieser Funktionsterm hier oben sieht etwas anders aus, also der hier auf dieser Tafel. Na, was habe ich gemacht? Ich habe die Polynomdivision gemacht und das kommt dann dabei raus, nicht wahr. Das ist der Rest hier.x + 4 + (8 + k)/(x - 2). Warum habe ich das gemacht? Weil die Ableitung dadurch extrem viel einfacher wird, als wenn man das hier macht. Ich habe auch, also als wenn man das hier ableitet, einfach mit Quotientenregel und so weiter. Ich habe auch das mal hier gemacht mit der zweiten Ableitung, wollte dahinter noch etwas einsetzen und so. Es ist furchtbar, es entstehen einfach ellenlange Terme. Man hat sehr, sehr viel Kleinkram umzuformen. Ja, da ist es einfach praktischer, das hier zu machen, da ist man nämlich ziemlich schnell fertig. Ja, nur als Tipp, wenn mal irgendwie Ableitungen bei dir von Funktionenscharen aus dem Ruder laufen sollten, besinne dich einer anderen Schreibweise der selben Funktionenschar und dann geht es vielleicht einfacher. Gut, erste Ableitung fk'(x) = 1 - (8 + k)/(x - 2)2 . Nun wie komme ich darauf? Wir können die Summenregel anwenden, x ableiten, Ableitung von x ist 1, Ableitung von 4 ist 0. Hier können wir die Quotientenregel anwenden, aber auch die Kettenregel, dann mit Potenzregel und so weiter. Sage ich hier noch etwas dazu, denn das habe ich schon woanders aufgeschrieben, aber hier die Quotientenregel tut es auch, kein Problem. Allerdings beachte bitte dabei, 8+k ist eine Konstante. Das ist ein Zahl. Ja, k ist nicht die Funktionsvariable, das ist ja schon x. Und wir stellen uns ja immer vor, wir setzen ein bestimmtes k ein, wir setzen für k eine bestimmte Zahl ein und erhalten eine konkrete Funktion. Für so eine konkrete Funktion machen wir dann die Ableitung und dann ist 8+k eine ganz normale Zahl, wie du und ich. Diese erste Ableitung kann man auch in dieser Form schreiben, nämlich 1-(8+k) einfach als Vorfaktor nehmen, als Koeffizient. Und dann haben wir hier noch 1/(x - 2 )2 stehen und das ist ja nichts anderes als mal (x-2)-2. Warum das so zu machen ist liegt an Folgendem. Wir können hier jetzt auf diesen zweiten Summanden, erster Summand, zweiter Summand, einmal die Faktorregel anwenden, das heißt, 8+k bleibt einfach bestehen. Dann können wir auf diesen Term hier die Kettenregel anwenden, mit der freundlichen Situation hier, dass die innere Funktion, nämlich x-2, die Ableitung 1 hat. Und wenn wir dann mit der inneren Funktion multiplizieren kommt halt nur 1 raus und das ändert die ganze Ableitung dann nicht weiter. Und die Klammer hoch -2 können wir nach Potenzregel ableiten. Und dann entsteht fast direkt das, was hier steht. Ich habe jetzt ein, zwei Kleinigkeiten da übersprungen, was die Umformungen angeht, aber das sollte kein Problem sein für dich. So, da hier schon in der Ableitung wieder so etwas steht mit 8+k und wir ja letzten Endes wollen, dass die erste Ableitung gleich 0 wird, deshalb kann man, glaube ich, darauf kommen, dass man hier wieder eine Fallunterscheidung machen muss, die sich dann mit der 8 beschäftigt. Ja, was ist wenn k gleich 8 ist, beziehungsweise größer oder kleiner ist? Und dazu habe ich auch mal etwas vorbereitet. Was ist das eigentlich? Spannend was da so rauskommt alles. Wir wollen, dass die erste Ableitung gleich 0 ist, also fk'(x)=0, das ist genau dann der Fall, wenn wir das hier gleich 0 setzen. Das habe ich jetzt nicht im Einzelnen noch mal aufgeschrieben. Dann musst du ja mit dem Nenner hier multiplizieren. Du bekommst eine quadratische Funktion. Kein Problem. Formel nehmen, ausrechnen oder auch mit quadratischer Ergänzung oder was, völlig wurscht. Auf jeden Fall das kommt raus. Die beiden Lösungen sind 2±√(8 + k). Und da haben wir wieder unser 8+k. Hier wird es also auch darum gehen, wenn k = -8 oder größer oder kleiner also -8 ist, was passiert dann mit der Wurzel? Ja, fangen wir doch einfach mal an. Was passiert, wenn k < -8? Dann steht hier 8 plus etwas, was kleiner als -8 ist, das ist negativ. Der Radikant ist negativ, die Wurzel ist im reellen nicht definiert, da wir uns hier im reellen Bereich befinden, hat dann also die Ableitung hier keine Nullstelle. Und ja, das sind auf dieser Zeichnung hier diese Funktionen, die einmal so und so verlaufen. Die haben kein Extremum. Also deren Ableitung ist überall ungleich 0, das heißt, sie haben kein Extremum, Sache erledigt für k < -8. Was ist mit k = -8? Dann ist diese Wurzel, also der Radikant ist gleich 0, die Wurzel ist gleich 0, einzige Lösung ist x = 2. Die erste Ableitung ist nur dann gleich 0, wenn x = 2, aber bei 2 ist die Funktion gar nicht definiert und deshalb haben wir da auch kein Extremum, denn Voraussetzung dafür, dass ein Extremum vorhanden ist, ist natürlich, dass da auch ein Funktionswert ist. Wenn da keiner ist können wir kein Extremum haben, damit ist k = -8 hier auch erledigt. Übrigens der Funktionsgraph für k = -8 ist ja der hier. Bei 2 ist eine Definitionslücke, eine hebbare Definitionslücke, stetig ergänzbar sagt man auch. Hier ist auch optisch kein Extremum. Gut, damit hat sich das also erledigt. Was passiert, wenn k > -8? Dann ist dieser Radikant positiv, die Wurzel existiert, wir bekommen zwei Nullstellen der ersten Ableitung. Da hat sich der Strich schon etwas verflüchtigt hier. Wir bekommen zwei Nullstellen der ersten Ableitung und müssen jetzt noch gucken, ob an diesen Stellen die zweite Ableitung ungleich 0 ist. So und was macht man da? Man setzt es einfach ein. Und zwar einfach diesen Term einfach in die zweite Ableitung einsetzen. Hier steht dann also fk''(2±√(8 + k)). Da sagen manche: „Uha, das sieht aber kompliziert aus.“, aber von der Überlegung her habe ich nicht viel gemacht, ich habe einfach dieses Ding hier genommen und da eingesetzt. Manche stört ja, dass da ein k steht oder das hier auch noch plus und minus steht und so etwas. Ja, muss man vielleicht berücksichtigen. Aber ist eigentlich gar nicht schlimm, man rechnet einfach so drauflos und es kommt auch dann etwas Vernünftiges raus, nämlich: Wenn man das jetzt in die zweite Ableitung einsetzt hier, ich zeige sie noch mal, da ist die zweite Ableitung, auch diese Schritte habe ich, ach so nein, ich habe es einfach eingesetzt. Ich habe für x einfach diesen Term hier eingesetzt und das ist dann rausgekommen dabei. Und die Frage ist jetzt, wenn wir das also so einsetzen und k > -8, ist dann dieser Term hier ungleich 0 oder nicht? Gehen wir mal die Sache durch. k > -8. 2k > -16. 16 plus etwas, das größer ist als -16 ist insgesamt positiv, das heißt, der Zähler ist schon mal ungleich 0. Dann müssen wir noch gucken, ob der Nenner gleich 0 ist hier für irgend so ein k, denn dann hätten wir wieder ein anderes Problem. Wir wissen, hier steht ja 2 und da steht -2, das heißt, die beiden addieren sich sowieso zu 0. Dann steht hier noch ±√(8 + k), wenn k > -8, ist 8+k > 0, damit ist die Wurzel definiert. Der Nenner ist nicht 0 und deshalb können wir hier hinschreiben, dass also jetzt die zweite Ableitung ungleich 0 ist und zwar für alle k > -8. So, rein optisch gesehen ist das der Fall dieser Funktionen hier, deren Graphen sich also hier in zwei Hälften aufteilen, hier ein Maximum, da ein Minimum, kein Problem. Du kannst dir das auch leicht nachvollziehen hier an der zweiten Ableitung. Wir haben hier ±, das heißt, wenn man die eine Sache einsetzt, dann wird das Ganze positiv, wenn man die andere Sache nimmt, dann wird es negativ. Entsprechend haben wir eben ein Minimum und ein Maximum. Wie das genau zusammenhängt hast du schon lange gemacht. Das erkläre ich jetzt nicht in diesem Zusammenhang. Ja und was kommt jetzt noch? Jetzt brauchen wir noch die Funktionswerte an diesen Stellen. Ich nehme einfach wieder diesen Term für den die erste Ableitung gleich 0 wird und zwar 2±√(8 + k)und setze den in die Ausgangsfunktion ein, wieder in die Form die entsteht, wenn man die Polynomdivision macht. Da ich jetzt sowieso schon mal dabei war, setze ich das auch gleich wieder hier ein. Ich hätte es auch in die andere Form einsetzen können, das ist egal. So, dann hier für das x habe ich also diesen Term eingesetzt und dieses mit 2 und -2 hier, das habe ich jetzt einfach weggelassen, also ±√(8 + k) steht dann noch im Nenner. Und ich darf auch darauf hinweisen hier: Wie komme ich dazu, dass der ganze Bruch plötzlich weg ist? Also was doch immer mal wieder vergessen wird 8+k = √(8 + k)×√(8 + k), falls 8+k größer als 0 ist. Das bedeutet, hier stehen also, ich kann es auch eben hinschreiben der Deutlichkeit halber, hier stehen also zwei Wurzeln, nämlich √(8 + k)×√(8 + k) und damit kann ich hier eine Wurzel kürzen. Daher habe ich hier eine Wurzel, da eine Wurzel, die kann ich zusammenfassen und dann kommt das hier raus. 6±2×√(8 + k), das sind also die Funktionswerte, die an den Extremstellen herauskommen. Jeweils der obere Wert ist das Minimum, der untere Wert ist das Maximum. Und das passt auch hier mit der Zeichnung zusammen. Wir sehen ja hier den Funktionswert 6, der ist hier. Und wenn wir uns jetzt mal die Extrema hier dieser blauen Kurve angucken, dann sehen wir, die sind also so gleich weit quasi von 6 entfernt, die Extrema der schwarzen Kurve genauso und die Extrema dieser Kurven hier auch. Die liegen da so immer in gleicher Entfernung zum Punkt des Koordinatensystems (2|6). An der Stelle übrigens ist ja keine der Funktionen definiert, weil für x = 2 die ganze Funktionenschar nicht definiert ist, aber nur zur Bedeutung, zur anschaulichen Bedeutung dieser 6 hier in den Funktionswerten an den Extremstellen. Ja, das war es dazu. Viel Spaß. Tschüss.

2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Vereena:
    Nach der Polynomdivision bei fk(x) erhält man den Funktionsterm:
    fk(x) = x + 4 + (8+k)/(x-2)
    Jetzt leitest du den Term ab. Die Ableitung von x ist 1 und von 4 0.
    Bliebt noch der Bruch übrig. Hier benutzt die Potenzregel bei der Ableitung.
    (8+k)/(x-2)=(8+k)*((x-2)^(-1)
    Die Ableitung ist also, da 8+k eine konstante Zahl ist:
    (8+k)*(-1)*(x-2)^(-2)= - (8+k)/(x-2)²
    Bei der Produktregel erhält man (-1) als Vorfaktor.
    Deswegen ist der Term negativ.
    Also insgesamt:
    fk(x)=x+4+(8+k)/(x-2)
    fk´(x)= 1 - (8+k)/(x-2)²
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Wiese ist der Therm nach der ersten Ableitung negatiev?

    Von Vereena, vor mehr als 4 Jahren