Satz des Thales – Anwendung

Der Satz des Thales

Stell dir vor, du möchtest auf einem weißen Blatt Papier ganz ohne Geodreieck nur mit Zirkel und Lineal einen rechten Winkel zeichnen. Du denkst, das geht ohne Geodreieck überhaupt nicht?
Falsch gedacht! Hier hilft dir der Satz des Thales, den der griechische Mathematiker Thales von Milet bereits vor über $2\,500$ Jahren bewiesen hatte. Wie du damit einen rechten Winkel auf dein weißes Blatt bekommst und wozu der Satz des Thales sonst noch gut ist, erfährst du jetzt.

Satz des Thales – Erklärung

Sehen wir uns zunächst an, wie der Satz des Thales üblicherweise formuliert wird.

Jetzt können wir den rechten Winkel mit Zirkel und Lineal zeichnen:

• Du beginnst dazu mit einem beliebigen Kreis und zeichnest dort einen Durchmesser ein, von einem Punkt $A$ auf dem Kreis durch den Mittelpunkt bis zum Punkt $B$ auf der anderen Seite des Kreises.
• Nun musst du nur noch einen beliebigen Punkt $C$ auf dem Kreis mit den Endpunkten $A$ und $B$ des Durchmessers verbinden.
• Nach dem Satz des Thales befindet sich dann bei $C$ ein rechter Winkel.

Konstruktion eines rechten Winkels

Thaleskreis – Definition

Der Kreis, auf dem die Eckpunkte liegen, die zusammen mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck bilden, heißt Thaleskreis. Häufig wird er nur auf einer Seite des Durchmessers als Halbkreis gezeichnet.

Thaleskreis und rechte Winkel

Wie du siehst, bildet jeder Punkt, den wir auf dem Thaleskreis durch die Punkte $A$ und $B$ als Eckpunkt $C$ wählen, einen rechten Winkel zu $A$ und $B$.

Satz des Thales – Umkehrung

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes des Thales:
Jedes rechtwinklige Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt genau der Mittelpunkt der längsten Seite (Hypotenuse) ist.
Oder kurz: Jedes rechtwinklige Dreieck hat einen Thaleskreis.

Satz des Thales – Begründung

Die Gültigkeit des Satz des Thales kann auf verschiedene Arten begründet oder bewiesen werden. Beispielsweise kann durch Spiegelung des Dreiecks am Durchmesser ein geometrischer Beweis durchgeführt werden. Wir wollen den Satz des Thales hier durch die Winkelsumme im Dreieck begründen.

Wir wollen zeigen, dass ein beliebiges Dreieck $ABC$, bei dem die Ecke $C$ auf einem Kreis um den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ liegt, bei $C$ einen rechten Winkel hat. Dazu zeichnen wir die Strecke $\overline{MC}$ ein, die das Dreieck $ABC$ in die beiden gleichschenkligen Dreiecke $AMC$ und $MBC$ teilt.

Begründung mithilfe des Mittelpunktes $M$

Die Teildreiecke sind gleichschenklig, da gilt: $\overline{AM} = \overline{MC} = \overline{MB} = r$

Für die Teilwinkel $\gamma_{1}$ und $\gamma_{2}$ bei $C$ gilt: $~\gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2}$

Da die Basiswinkel in gleichschenkligen Dreiecken gleich groß sind, gilt in den Teildreiecken:

• Dreieck $AMC$: $\alpha = \gamma_{1}$
• Dreieck $BMC$: $\beta = \gamma_{2}$

Eingesetzt in die Winkelsumme im Dreieck $ABC$ erhalten wir:

$\begin{array}{lclc} \alpha + \beta + \gamma &=& 180^\circ \\ \alpha + \beta + \gamma_{1} + \gamma_{2} &=& 180^\circ \\ \alpha + \beta + \alpha + \beta &=& 180^\circ \\ 2 \cdot (\alpha + \beta) &=& 180^\circ & \vert :2 \\ \alpha + \beta &=& 90^\circ \\ \end{array}$

Damit gilt für den fraglichen Winkel $\gamma$ bei $C$:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Wir haben so allgemein gezeigt, dass bei $C$ tatsächlich ein rechter Winkel vorliegt.

Satz des Thales – Anwendungen

Im Folgenden wollen wir einige Anwendungen des Satz des Thales betrachten, die über die Konstruktion eines rechten Winkels oder eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks hinausgehen.

Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks mit zwei bekannten Seiten

Es soll ein Dreieck konstruiert werden, das bei $B$ einen rechten Winkel hat. Außerdem sind die Seitenlängen $a = 8~ \text{cm}$ und $b = 10~ \text{cm}$ gegeben.
Wir konstruieren das Dreieck in den folgenden Schritten:

• Am Anfang zeichnen wir die längere der beiden Strecken, das ist $b$, mit $10~ \text{cm}$. Die Seite $b$ verbindet Punkt $A$ mit Punkt $C$ und entspricht der Strecke $\overline{AC}$.
• Um den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AC}$ zu bestimmen, wird mit dem Zirkel die Mittelsenkrechte konstruiert. Diese schneidet die Strecke $\overline{AC}$ im Mittelpunkt $M$.
• Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis oberhalb der Strecke $\overline{AC}$. Dazu wird der Zirkel in den Mittelpunkt $M$ gesetzt. Die Strecken $\overline{MC}$ beziehungsweise $\overline{MA}$ entsprechen dem Radius $r$. Mit diesem Radius entsteht der Halbkreis über $\overline{AC}$.
• Nun stellen wir den Zirkel auf die Länge der Seite $a$ ein, also auf $8~ \text{cm}$. Mit dieser Einstellung zeichnen wir um Punkt $C$ nun einen Kreisbogen, der den Halbkreis über der Strecke $\overline{AC}$ schneidet. Der Schnittpunkt ist dann der Eckpunkt $B$.
• Abschließend verbinden wir den Punkt $B$ mit $C$ und $A$ zum Dreieck $ABC$.

In diesem Dreieck ist die Seite $a$ nun $8~ \text{cm}$ lang, die Seite $b$ ist $10~ \text{cm}$ lang und es hat einen rechten Winkel bei Punkt $B$. Mithilfe des Satzes des Thales ist es also möglich, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren, auch wenn nur zwei Seitenlängen bekannt sind.

Konstruktion einer beliebigen Kreistangente

Erinnern wir uns erst einmal daran, was eine Tangente ist. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt. Dabei steht der Radius senkrecht zur Tangente.
Wir konstruieren eine Tangente an den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ in folgenden Schritten:

• Anfangs zeichnen wir einen Kreis $k$. Wir markieren dann einen beliebigen Punkt $P$ außerhalb des Kreises $k$ und verbinden $P$ mit dem Kreismittelpunkt $M$. Wir haben die Strecke $\overline{MP}$.
• Dann konstruieren wir den Mittelpunkt zur Strecke $\overline{MP}$, den wir $S$ nennen.
• Anschließend zeichnen wir einen Halbkreis über der Strecke $\overline{MP}$ mit dem Radius $\overline{MS}$ beziehungsweise $\overline{SP}$. Den Halbkreis nennen wir $f$. Du siehst, der Halbkreis $f$ schneidet den Kreis $k$ und der Schnittpunkt ist $T$.
• Abschließend zeichnen wir eine Gerade $g$ durch die Punkte $T$ und $P$. Die Gerade $g$ ist nun eine Tangente am Kreis $k$.

Wie hat uns hier der Satz des Thales geholfen? Nach dem Satz des Thales wissen wir, dass das Dreieck $MPT$ am Punkt $T$ einen rechten Winkel hat. Die Strecke $\overline{TP}$ liegt auf der Geraden $g$. Somit steht die Strecke $\overline{MT}$ senkrecht zu $g$. Da $\overline{MT}$ der Radius des Kreises $k$ ist und senkrecht zu $g$ steht, ist $g$ eine Tangente am Kreis $k$.

Konstruktion einer Kreistangente durch den vorgegebenen Punkt $T$

Mithilfe des Satzes des Thales können wir auch eine Tangente durch einen vorgegebenen Punkt konstruieren. Wir haben den Kreis $k$ mit Mittelpunkt $M$ und einen Punkt $T$ auf dem Kreis. Wir gehen schrittweise daran, durch den vorgegebenen Punkt $T$ eine Tangente zu konstruieren.

• Zunächst markieren wir einen beliebigen Punkt $Q$ auf dem Kreis. Dabei sollen aber die Punkte $T$ und $Q$ nicht auf einem Durchmesser liegen. Zusammen mit dem Mittelpunkt $M$ wird jetzt das Dreieck $MQT$ gebildet.
• Nun konstruieren wir zu zwei der Seiten des Dreiecks die Mittelsenkrechte. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich dann im Umkreismittelpunkt $U$ des Dreiecks $MQT$.
• Wir zeichnen nun den Umkreis $f$ zum Dreieck $MQT$. Eine Gerade durch die Punkte $M$ und $U$ schneidet dann den Umkreis $f$ im Punkt $P$. Die Strecke $\overline{MP}$ ist somit der Durchmesser des Umkreises $f$.
• Anschließend zeichnen wir eine Gerade $g$ durch die Punkte $T$ und $P$. Die Gerade $g$ steht nun senkrecht zur Strecke $\overline{MT}$, dem Radius des Kreises $k$. Das wissen wir, da nach dem Satz des Thales das Dreieck $MPT$ bei $T$ einen rechten Winkel besitzt.

Damit ist $g$ die Tangente an $k$ durch den Punkt $T$.

Ausblick – das lernst du nach Satz des Thales – Anwendung

Erforsche als Nächstes den Satz des Pythagoras und berechne den Abstand zweier Punkte.
Du kannst auch einen Schritt weiter gehen und dich in die Trigonometrie einarbeiten. Mach dich bereit, dein mathematisches Können auf die nächste Stufe zu heben!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz des Thales