30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Quadratische Gleichungen – Übung

Bewertung

Ø 5.0 / 1 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen – Übung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen – Übung

Mit den quadratischen Gleichungen kannst du auch Probleme im Fußball lösen! In der Hinrunde einer Fußball-Liga finden 153 Spiele statt. Wie viele Vereine hat die Liga? In dem vorherigen Video hast du bereits gesehen, wie du an eine Textaufgabe herangehen musst. Nutze die Gelegenheit und versuche die Aufgabe mithilfe quadratischer Gleichungen selbständig zu lösen. Halte hierzu das Video an und versuche die Aufgabe zu lösen. Schau dir im Anschluss das Video komplett an und überprüfe dein Ergebnis. Das Rechnen mit quadratischen Gleichungen wird bald für dich zur Routine!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Super Video und Klasse erklärt

    Habs endlich verstanden danke =D

    Von Stesini, vor mehr als 5 Jahren

Quadratische Gleichungen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze das Vorgehen zur Lösung von Textaufgaben zu quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Die Anzahl aller Paare bei n Objekten ist über $1+2+\ldots +(n-1)$ gegeben. Wie kannst du diese Summe weiter vereinfachen?

    Lösung

    In der Hinrunde einer Fußballliga findet 153 Spiele statt. Wie viele Mannschaften hat die Liga?

    Es ist gefragt nach der Anzahl der Objekte, die gepaart werden. In unserem Fall suchen wir die Anzahl $n$ der Mannschaften. Die Anzahl der Paarungen kann über die Formel $\frac{n(n-1)}{2}$, was gerade die Summe der Zahlen von $1$ bis $n$ ist, ausgedrückt werden. Der Ansatz $\frac{n(n-1)}{2}=153$ führt auf die Lösung einer quadratischen Gleichung, die wir mit der p-q-Formel lösen können. Als Ergebnis erhalten wir $n=18$; es gibt also 18 Mannschaften bei 153 Spielen.

    Ähnliche Aufgaben tauchen in folgender Form auf:

    • „Telefonanschlüsse“: In einem Freundeskreis telefoniert jeder mit jedem. Dabei kommen 153 Telefongespräche zu Stande. Wie viele Leuten gehören zu diesem Freundeskreis?
    • „Händeschütteln“: Auf einem Empfang begrüßt jeder jeden. 153 Mal werden die Hände geschüttelt. Wie viele Leute sind anwesend?
    • „Bling-Aufgabe“: Zu Silvester stößt jeder mit jedem an. 153 Mal macht es „Bling“. Wie viele Leute sind anwesend?

  • Bestimme die Anzahl der Mannschaften.

    Tipps

    Schau dir die Textaufgabe genau an.

    Was ist gegeben?

    Was ist gesucht?

    Mit der p-q-Formel löst du eine quadratischen Gleichung.

    Lösung

    Textaufgaben kommen sehr häufig vor.

    Zunächst überlegst du dir, wonach gefragt ist. Dann legst du fest, wie du die gesuchte Größe nennst. Hier geht es um die Anzahl der Mannschaften: $n$.

    Was ist gegeben? Hier ist die Anzahl der Paarungen als 153 gegeben. Du erhältst also die Formel $\frac{n(n-1)}{2}=153$. Daraus kannst du durch Umformungen die quadratische Gleichung $n^2~-~n~-~306=0$ ableiten.

    Und zu guter Letzt löst du die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel und erhältst die beiden Lösungen $n_1=18$ sowie $n_2=-17$. Überprüfe die Ergebnisse darauf, ob sie im Rahmen der Aufgabe sinnvoll sind. Es geht um die Anzahl von Mannschaften und diese kann nicht negativ sein. Darum fällt $n_2=-17$ als Lösung raus und es gibt genau 18 Mannschaften.

  • Entscheide, wie viele Gespräche geführt oder wie oft Hände geschüttelt werden.

    Tipps

    Verwende die Formel zur Berechnung der Anzahl von Paarungen bei $n$ Objekten

    $\frac{n(n-1)}{2}$.

    Lösung

    Mit der Formel $\frac{n(n-1)}{2}$ kannst du anhand der Anzahl von Objekten $n$ feststellen, wie viele verschiedene Kontakte es geben kann.

    Wie viele Telefonverbindungen kommen zusammen, wenn jeder mit jedem telefoniert?

    • Bei $n=12$ Personen beträgt die Anzahl der Gespräche $\frac{12\cdot11}{2}=66$.
    • Bei 6216 Gesprächen sind $n=112$ Personen involviert, denn $\frac{112\cdot111}{2}=6216$.
    Wie oft werden Hände geschüttelt, wenn jeder jedem die Hand schüttelt?
    • Bei $n=15$ Personen beträgt die Anzahl an Händeschütteln $\frac{15\cdot14}{2}=105$.
    • Bei 946 mal Händeschütteln sind $n=44$ Personen involviert, denn $\frac{44\cdot43}{2}=946$.
  • Erschließe, wie viele Menschen sich auf der Feier befinden.

    Tipps

    Die Anzahl aller möglichen Paarungen bei $n$ Personen ist $\frac{n(n-1)}{2}$.

    Es ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten $n$ zu lösen, die du mit der p-q-Formel lösen kannst.

    Überprüfe die möglichen Lösungen der Gleichung darauf, ob sie im Zusammenhang mit der Aufgabe sinnvoll sind.

    Zum Beispiel ist eine negative Anzahl an Personen nicht sinnvoll.

    Lösung

    Die unbekannte Anzahl der Personen auf der Feier sei $n$, die 496-mal miteinander anstoßen.

    Nutzt du die Formel $\frac{n(n-1)}{2}$ für die Anzahl aller möglichen Paarungen bei $n$ Personen, so erhältst du:

    $\frac{n(n-1)}{2}=496$.

    496 ist die Anzahl der Blings; also ist diese nicht gesucht. Durch Multiplikation mit 2 und Subtraktion von $992$ ($=496 \cdot 2$) erhältst du die quadratische Gleichung

    $n^2-n-992=0$ und diese Gleichung ist nicht die gleiche wie $n^2-n-572=0$.

    Nun kannst du die Gleichung $n^2-n-992=0$ mit der p-q-Formel lösen:

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-1}{2}±\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-992)} \\ & =\frac{1}{2}±31,5 \\ x_1 &=\frac{1}{2}+31,5=32 \\ x_2 &=\frac{1}{2}-31,5=-31 \end{align*}$

    Das negative Ergebnis ist nicht sinnvoll. Deshalb lautet die Antwort: Es befinden sich 32 Personen auf der Feier.

  • Ergänze die Rechnung zur Lösung einer quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Die p-q-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung $f(x)=x^2~+~px~+~q=0$ lautet

    $x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

    Schaue dir zuerst an, welche Werte in diesem Beispiel p und q haben.

    Lösung

    Die quadratische Gleichung lautet $n^2~-~n~-~306=0$. Es ist also $p=-1$ und $q=-306$. Beachte immer auch die Vorzeichen.

    Nun kannst du p und q in der p-q-Formel einsetzen.

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-1}{2}±\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-306)} \\ & =\frac{1}{2}±17,5 \end{align*}$

    Du erhältst die beiden Lösungen $n_1=18$ sowie $n_2=-17$.

    Wenn die Lösungen im Zusammenhang mit einer Textaufgabe stehen, musst du diese noch überprüfen: Sind die Ergebnisse sinnvoll?

    Wenn es um die Anzahl von Mannschaften ginge, dann könnte diese nicht negativ sein. Darum würde $n_2=-17$ als Lösung wegfallen.

  • Bestimme die Länge des Fußballfeldes.

    Tipps

    Zeichne dir mal ein Rechteck auf. Bezeichne die Breite mit $b$ und die Länge, die gesuchte Größe in dieser Aufgabe, mit $l$.

    Ist das Fußballfeld breiter oder länger?

    Die p-q-Formel zur Lösung der Gleichung $x^2~+~px~+~q=0$ lautet

    $x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

    Schaue dir die Lösungen immer genau an. Ist jede der Lösungen sinnvoll im Rahmen der Aufgabenstellung?

    Es geht um Maße. Diese können nicht negativ sein.

    Lösung

    Da das Fußballfeld länger ist als breiter, muss für die Breite gelten, dass sie $l-30$ ist, wenn die Länge gerade $l$ beträgt. Sei zum Beispiel das Fußballfeld $100~m$ lang, dann ist es $70~m$ ($=100~m - 30~m$) breit.

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gerade das Produkt der Seitenlänge, also hier $A=l \cdot (l-30)$. Das Doppelte der Summe der Seitenlänge ist gerade der Umfang.

    Du kannst jetzt eine Gleichung aufstellen:

    $A=l^2~-~30l$ und da A bekannt ist $l^2~-~30l=8800$.

    Das führt zu der quadratischen Gleichung $l^2~-~30l~-~8800=0$ mit $p=-30$ und $q=-8800$.

    Und nun kannst du mit der p-q-Formel lösen:

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-30}{2}±\sqrt{\left(\frac{-30}{2}\right)^2-(-8800)} \\ & =15±\sqrt{9025} \\ x_1 & = 15+95=110 \\ x_2 &= 15-95=-80 \end{align*}$

    Da $x_2=-80$ als Maßangabe nicht in Frage kommt, gilt also: Die gesuchte Länge des Fußballfeldes ist $110~m$.

    Du kannst das auch nochmal überprüfen. Bei der obigen Länge ist das Fußballfeld $80~m$ breit und somit ist der Flächeninhalt tatsächlich $8800~m^2$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.843

Lernvideos

44.348

Übungen

38.969

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden