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Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3)

Willkommen zum dritten und gleichzeitig letzten Video, in denen ich dir noch einmal an einer Beispielaufgabe zeigen möchte, wie quadratische Gleichungen mithilfe des Distributivgesetzes (Ausklammern) gelöst werden können. Das Verfahren des Ausklammerns ist relativ einfach und du kannst die Nullstellen dabei bequem ablesen. Du kannst es immer dann anwenden, wenn der Term aus zwei Summanden besteht und beide die Variable x beinhalten. Wann dies nicht zutrifft, zeige ich dir nun im letzten Video am Beispiel x² - 3x + 6 = 0. Folge dazu einfach meinen Erklärungen. Viel Spaß dabei und danke für deine Aufmerksamkeit!

Transkript Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3)

Hallo, das Verfahren des Ausklammerns, um quadratische Gleichungen zu lösen, das ist einfach und du kannst die Nullstellen schnell ablesen, aber du kannst es nicht immer anwenden, und jetzt zeig ich, wann du es nicht anwenden kannst: zum Beispiel wenn hier die Gleichung steht x²-3x+6, dann funktioniert das nicht. Warum funktioniert das nicht? Ich kann ja trotzdem hier aus diesen beiden Summanden das x ausklammern, das mach ich jetzt auch mal, angewandtes Distributivgesetz: x×(x-3)+6=0. Ja, und jetzt könnte man auf die Idee kommen: ich möchte hier die 6 nicht mehr haben, ich möchte einfach nur x×(x-3) haben, dieses Produkt hatte ich in den anderen Sachen, in den anderen Gleichungen auch, als ich das ausgeklammert habe und die Gleichung dadurch gelöst habe. Ja. Dann steht hier also, wenn wir auf beiden Seiten -6 rechnen, steht hier x×(x-3)=-6. So. Und jetzt können wir fragen: Warum funktioniert das nicht? Ganz einfach: Wir hatten argumentiert: Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird und hatten also die Situation, das hier eine 0 steht. Dann ist diese Argumentation sinnvoll. Das ist ein Produkt, das Produkt soll =0 sein, es wird nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, das heißt, dann kann man die Nullstellen ablesen, x müsste gleich 0 sein oder x müsste =3 sein, aber dieses Produkt soll ja gar nicht =0 werden, damit die Gleichung richtig ist, es soll =-6 werden, und damit ist diese ganze schöne Argumentation hinfällig. Es soll eben -6 werden und nicht 0. Fertig. Man könnte sagen "Ja, hier steht aber die 0". Nun, richtig, aber das hier ist eine Summe, nicht, die letzte Rechnung, die hier gemacht wird, ist ja eine Strichrechnung und deshalb ist es eine Summe. Dieses Produkt wird weiterhin nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, aber das soll ja gar nicht 0 werden, damit die Gleichung richtig ist, sondern dieses Produkt hier müsste =-6 sein, damit -6+6=0 ist. Und, ja, damit funktioniert das halt nicht. Es gibt einen weiteren Fall, wo das auch nicht funktioniert. Der kommt nicht ganz so häufig vor, aber ich möchte ihn trotzdem zeigen, nämlich wenn da steht, das ist dann noch nicht einmal eine quadratische Gleichung, sondern wir haben zum Beispiel x-x/1=0 oder vielleicht doch was Verklausulierteres, dann könnte man jetzt auch auf die Idee kommen, okay, ich klammer das x aus. Das kann ich hier und hier ausklammern, das kommt ja in beiden Summanden vor, also steht hier x, ja weil hier 1×x steht, steht dann hier auch die 1-1/1, das wissen wir so, das ist gleich 1, ja und dann können wir schon mal sehen, dass da jemand sagt okay, das Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, das x könnte also =0 sein, und hier ist ja gar kein x drin, also lass ich das, betrachte ich gar nicht weiter. Ja. Und das funktioniert so nicht. Und zwar deshalb, weil hier ja sowieso schon 0 steht. 1/1 ist 1, 1-1=0, das bedeutet also wir haben hier stehen x×0=0. Die Argumentation: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, ist immer noch richtig, nur kann man daraus nicht schließen, dass man für x 0 einsetzen muss, denn x×0 ist immer 0, egal was man für x einsetzt, das heißt man kann hier für x jede Zahl einsetzen, und deshalb ist eben hier der Schluss nicht ganz richtig, dass x nur =0 sein kann, außerdem ist das ja auch gar keine quadratische Gleichung, ich wollte nur drauf hinweisen, so was kann auch passieren, da musst du dann wieder mit Überblick vorgehen und nicht einfach irgendwelche Methoden auf irgendwas anwenden, wenn das x mit 0 multipliziert wird, kannst du alles für das x einsetzen und es kommt immer 0 raus, damit ist die Lösungsmenge hier alle reellen Zahlen. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Irgend ein Beispiel das eh nie vorkommt

    Von Stiegersmile, vor fast 7 Jahren
  2. Können sie mir bei einer ganz einfachen Aufgabe helfen ?

    a) X (x-2) = 0

    Wie rechne ich dass am besten aus ? Also können sie mir dich Rechenschritte sagen ? oder am besten die Lösung + Rechenweg ? :)

    Von Koray E., vor etwa 8 Jahren
  3. klasse

    Von Bernadette W., vor fast 9 Jahren
  4. Einfach immerwieder Klasse! Super wie die typischen Schülergedanken (Fehler..) aufgegriffen werden!

    Von Bernadette W., vor fast 9 Jahren

Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen durch Ausklammern lösen (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, warum Ausklammern bei der Lösung der Aufgabe $x^2-3x+6=0$ nicht hilft.

    Tipps

    Ein Produkt ist ein Term der Form $a\cdot b$. Wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist, wird das gesamte Produkt $0$.

    Man kann aus einer Summe eine Zahl oder eine Variable ausklammern, wenn sie in beiden Summanden als Faktor vorkommt.

    Zum Beispiel ist

    $3a+ab=a(3+b)$.

    Dies kann durch Ausmultiplizieren der Klammer - dies geschieht mit dem Distributivgesetz - überprüft werden.

    Lösung

    Kann man die Gleichung $x^2-3x+6=0$ mit Ausklammern lösen?

    Man kann zunächst auf der linken Seite $x$ ausklammern und erhält damit

    $x(x-3)+6=0$.

    Nun kann auf beiden Seiten $6$ subtrahieren zu

    $x(x-3)=-6$.

    Auf der linken Seite steht ein Produkt. Dieses wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Man könnte also die Gleichung lösen, wenn auf der rechten Seite $0$ stünde. Dies ist hier nicht der Fall. Also kann diese Gleichung nicht durch Ausklammern gelöst werden.

    Zum Lösen solcher Gleichungen verwendet man die p-q-Formel.

  • Gib an, wie du die angegebene Gleichung lösen.

    Tipps

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist:

    Wenn $a\cdot b=0$ und $a=0$, dann kann $b$ irgendeinen Wert haben. Das Produkt ist trotzdem $0$.

    Es gilt zwar $0\cdot 0=0$, aber auch $0\cdot 3=0$.

    Man kann einen Faktor aus einer Summe ausklammern, wenn dieser Faktor in jedem Summanden vorkommt.

    Zum Beispiel ist $4\cdot x-c\cdot x=(4-c)\cdot x$.

    Lösung

    Ein besonderer Fall liegt vor, wenn links und rechts Null steht:

    $x-\frac x1=x(1-\frac11)$.

    Da $1-\frac11=0$ ist, ist das gesamte Produkt bereits $0$. Dann muss man $x$ ja nicht mehr betrachten.

    Das ist nicht richtig.

    Richtig argumentiert man wie folgt: Da der eine Faktor bereits $0$ ist, ist es egal, was man für den anderen Faktor einsetzt. Das Produkt ist auf jedem Fall $0$.

    Das bedeutet, dass jedes beliebige $x$ die obige Gleichung löst.

    Hinweis: Es handelt sich bei der Gleichung nicht um eine quadratische, sondern um eine lineare Gleichung.

  • Entscheide, ob das Ausklammern sinnvoll ist, um die quadratische Gleichung zu lösen.

    Tipps

    Forme jede der Gleichungen so um, dass auf der rechten Seite $0$ steht.

    Wenn auf der linken Seite dann kein Term mehr ohne $x$ steht, ist Ausklammern sinnvoll, ansonsten nicht.

    Lösung

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    Das bedeutet: Wenn auf der einen Seite der Gleichung ein Produkt steht, muss auf der anderen $0$ stehen. Ansonsten hilft Ausklammern nicht weiter.

    Ausklammern hilft weiter bei den folgenden Beispielen:

    • $x^2+3x+3=3$. Wenn man auf beiden Seiten $3$ subtrahiert, erhält man nach Ausklammern von $x$: $x\cdot (x+3)=0$.
    • $2x^2-4x=0$. Hier kann direkt $x$ ausgeklammert werden zu $x\cdot (2x-4)=0$.
    • $-x^2-x-1=-1$. Addition von $1$ auf beiden Seiten sowie Ausklammern von $x$ führt zu $x\cdot (-x-1)=0$.
    Ausklammer hilft nicht weiter bei den folgenden Beispielen:
    • $x^2+3x+3=-3$. Hier führt Subtraktion von $3$ sowie Ausklammern von $x$ zu $x\cdot (x+3)=-6$. Auf der rechten Seite steht nicht $0$.
    • $2x^2-4x-4=0$. Addition von $4$ und Ausklammern von $x$ führt zu $x\cdot (2x-4)=4$. Auch hier steht auf der rechten Seite nicht $0$.
    • $-x^2-x-1=1$. Addition von $1$ und Ausklammern von $x$ führt zu $x\cdot (-x-1)=2$. Auch hier steht auf der rechten Seite nicht $0$.

  • Bestimme die Lösungen der Gleichung durch Ausklammern.

    Tipps

    Du kannst bei Gleichung Äquivalenzumformungen durchführen:

    • die Subtraktion oder Addition einer Zahl oder Variablen auf beiden Seiten.
    • das Multiplizieren mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten.
    • das Dividieren durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten.

    Wenn auf einer Seite der Gleichung eine $0$ steht und auf der anderen ein Produkt, dann wird das Produkt $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    Löse gegebenfalls die Gleichung, welche du erhältst, wenn ein Faktor $0$ sein soll.

    Lösung

    Die Gleichung $x^2-3x+6=6$ sieht so ähnlich aus wie $x^2-3x+6=6$. Dieses Mal steht auf der rechten Seite die $6$. Wenn also auf beiden Seiten die $6$ subtrahiert wird, erhält man die folgende Gleichung

    $x^2-3x=0$.

    Auf der linken Seite steht ein quadratischer Term. Sowohl in dem Minuend als auch in dem Subtrahend steht der Faktor $x$, welcher ausgeklammert werden kann. Auf der rechten Seite steht die $0$:

    $x(x-3)=0$.

    Nun kann verwendet werden, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    • Entweder ist $x=0$. Dann ist man bereits mit diesem Faktor fertig.
    • Oder es ist $x-3=0$. Dies ist äquivalent zu $x=3$.
    Die beiden Lösungen dieser Gleichung sind
    • $x=0$ oder
    • $x=3$.
    Dies kann man auch noch überprüfen, indem man diese Lösungen in der Ausgangsgleichung einsetzt:
    • $0^2-3\cdot 0+6=6$ $\surd$
    • $3^2-3\cdot 3+6=6$ $\surd$

  • Fasse zusammen, was Ausklammern bei der angegebenen quadratischen Gleichung bewirkt.

    Tipps

    Auf der einen Seite der Gleichung muss ein Produkt stehen und auf der anderen $0$. Dann kann man den sogenannten Satz vom Nullprodukt anwenden.

    Ausklammern ist sinnvoll, wenn die obige Situation möglich ist:

    Wenn in einem Produkt $a\cdot b$ zum Beispiel $a=0$ ist, so ist das gesamte Produkt $0$.

    Lösung

    Bei dem Term $x(x-3)+6=0$ könnte man sagen, dass auf der rechten Seite eine $0$ steht und dann argumentieren, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Aber der obige Term ist eine Summe.

    Wenn man auf beiden Seiten die $6$ subtrahiert, dann lautet die entsprechende Gleichung

    $x(x-3)=-6$.

    Die rechte Seite der Gleichung ist nun nicht mehr $0$.

  • Ermittle die Lösungen der Gleichung $x^2-3x-4=0$ mit Hilfe der p-q-Formel.

    Tipps

    Überlege dir, was $p$ und was $q$ ist:

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ ist der Term, welcher alleine steht.
    Das Vorzeichen ist jeweils zu berücksichtigen.

    Hier ist $p=-3$ und $q=-4$.

    Setze diese $p$ und $q$ in der Formel ein. Achte auf die Vorzeichen.

    Lösung

    Zur Lösung einer quadratischen Gleichung kann man die p-q-Formel verwenden. Dafür macht man sich zunächst klar, was $p$ und was $q$ ist.

    Bei der Gleichung

    $x^2-3x-4=0$

    ist $p=-3$ und $q=-4$. Diese können nun in der p-q-Formel eingesetzt werden:

    $\begin{align*} x_{1,2}&=-\frac{-3}2\pm\sqrt{\left(\frac{-3}2\right)^2-(-4)}\\ &=1,5\pm\sqrt{1,5^2+4}\\ &=1,5\pm2,5 \end{align*}$

    Damit lauten die Lösungen $x_1 =1,5+2,5=4$ und $x_2=1,5-2,5=-1$.

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